精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

天津市滨海新区塘沽一中 2025—2026 学年度第一学期 高一年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分，共 150 分，考试时间 100 分钟， 试卷共 4 页.卷 I 答案用 2B 铅笔填涂在答题卡上，卷 II 答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定 区域内. 第 I 卷 (共 60 分) 一、选择题(每个小题 5 分，共计 60 分) 1 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义计算. 【详解】，. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】如果，比如，，，不存在，充分条件不成立； 如果，则有，所以，即，必要条件成立； 是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，则函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式. 【详解】因为 所以 所以，即. 故选：C. 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数定义可求解 【详解】 故选：D 5. 若，，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则. 故选：D. 6. 已知函数（，且）恒过定点，则在直角坐标系中函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质求得定点,即的值，再结合指数函数的图像结合选项进行判断即可. 【详解】根据指数函数的性质，可得函数，恒经过定点，即， 所以函数，当时，且在上函数为单调递减函数，所以函数的图象为D项， 故选：D. 7. 函数函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】设，其中，为的小数部分，则， 则， 所以函数的值域为：. 故选：A 8. 已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】将化为，展开后利用基本不等式即可求得的最小值，判断A；将平方后利用基本不等式即可判断B；利用基本不等式即可判断C；由基本不等式可推出，即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值为4，A错误； 对于B，，则， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，B正确； 对于C，，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，C错误； 对于D，因为， 即，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值，D错误， 故选：B 10. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果. 【详解】当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 11. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为， 故选：A. 12. 设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. 第II卷(共90分) 二、填空题(每个小题 5 分，共计 40 分) 13. 函数的定义域是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知命题：，，则命题的否定为_____. 【答案】， 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论. 【详解】命题：，是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题的否定为：，. 故答案为：， 15. 已知函数的定义域为[1，2]，函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为[1，2]， 所以，所以， 所以令，解得， 故答案为:. 16. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 17. 已知幂函数在上单调递减．的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 18. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 19. 已知，，若的最大值为，且不等式 的解集为， 则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式即可推得，然后根据一元二次不等式的解集以及“三个二次”之间的关系，即可得出的值. 【详解】根据不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为，所以. 所以不等式的解集为. 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知， 和是关于的方程的两个解， 所以有，所以，所以. 故答案为： 20. 若函数的最小值为0，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，讨论，求得时，取得最小值，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】当时，， 当时，取得最小值； 当时，， 当时，可得， 当时，， ， 当时，，当时，取得最小值0，此时； 当时，，由题意可得恒成立. 则取值范围为. 故答案为： 三、解答题(共 50 分) 21. 已知全集，集合，，. （1）分别求，； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，再根据集合的运算求解； （2）对集合， 分类讨论参数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，得， 所以，， ，. 【小问2详解】 因， 当时，即，即，符合题意； 当时，则，解得或， 综上，的取值范围为. 22. 已知二次函数（a，且），，若函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）； （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴，最值列方程组求解； （2）由对称轴与给定区间的关系分类讨论求得最小值； （3）不等式用分离参数法变形后转化为求新函数的最值． 【小问1详解】 由题意且，解得， ∴； 【小问2详解】 由（1）， 当，即时，， 当时，在上单调递增，， 当即时，在上单调递减，， 综上，． 【小问3详解】 ，恒成立，即，， 易知出函数在上是增函数，当时，取得最小值， 所以． 23. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上是增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证； （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. 【小问1详解】 函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； 【小问2详解】 在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数； 【小问3详解】 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 24. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，，求正数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式求解； （2）令，根据恒成立问题结合参变分离运算求解； （3）由二次函数的对称性分和两种情况，根据题意分析运算. 【小问1详解】 ∵不等式的解集为， 则方程的根为，且， ∴，解得， 故； 【小问2详解】 若，即， 令，则， 则， ∵的开口向上，对称轴为， 则在单调递减，在单调递增，且当时，， ∴，即， 故实数a的取值范围为； 【小问3详解】 的开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： 当时，在上单调递增， 则可得 ， 即，解得； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则可得， ∵，则， ∴，即； 综上所述：， 故正数a的最小值为4. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区塘沽一中 2025—2026 学年度第一学期 高一年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分，共 150 分，考试时间 100 分钟， 试卷共 4 页.卷 I 答案用 2B 铅笔填涂在答题卡上，卷 II 答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定 区域内. 第 I 卷 (共 60 分) 一、选择题(每个小题 5 分，共计 60 分) 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则函数的表达式为（ ） A. B. C D. 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ） A B. C. D. 5. 若，，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，且）恒过定点，则在直角坐标系中函数的图象为（ ） A. B. C. D. 7. 函数函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 10. 已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷(共90分) 二、填空题(每个小题 5 分，共计 40 分) 13. 函数的定义域是__________ 14. 已知命题：，，则命题的否定为_____. 15. 已知函数定义域为[1，2]，函数的定义域是___________. 16. 计算：______. 17. 已知幂函数在上单调递减．的值为_________． 18. 函数的单调递减区间为______． 19. 已知，，若的最大值为，且不等式 的解集为， 则 _____. 20. 若函数的最小值为0，则的取值范围为______. 三、解答题(共 50 分) 21. 已知全集，集合，，. （1）分别求，； （2）若，求a的取值范围. 22. 已知二次函数（a，且），，若函数最小值为. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）当时，恒成立，求k的取值范围. 23. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 24. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，，求正数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $