精品解析：天津市河西区2025-2026学年高三上学期期中质量调查数学试题

河西区2025—2026学年度第一学期高三年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题5分，共45分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C D. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D 若，且，则 9. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 第II卷 注意事项：本卷共11题，共105分. 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数，则__________. 11. 函数在上最小值是_______． 12. 在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 14. 在中，，，，且，，与交于点，则__________；__________. 15. 若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为_____. 三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列． 18. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 19. 已知数列是各项都为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）对于数列满足：当时，. （i）若，求； （ii）若，证明：对于任意正整数. 20. 已知函数， （1）时，求在处的切线方程； （2）若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2025—2026学年度第一学期高三年级期中质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题5分，共45分. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算可得. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词  的否定等价于存在量词 ，且结论取反. 【详解】命题 .命题  的否定为：. 故选：C 3. 已知向量，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行可得或，根据充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】已知向量， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像得为奇函数即可判断D，由在处有定义即可判断B，由图得进而判断C，利用排除法即可求解. 【详解】由图可得为奇函数，而为偶函数，故D错误； 由图可得在处有定义，而的定义域为，故B错误； 由图可得，而，故C错误， 故选：A． 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：, 解得， 即函数定义域，故选B. 考点：求函数定义域 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，由，得，而， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：D 7. 设函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合特殊角的三角函数值、诱导公式逐步计算即可得解. 【详解】因为，当时，， 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，考查了运算求解能力，属于基础题. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 9. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断. 【详解】由，时，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：B. 第II卷 注意事项：本卷共11题，共105分. 二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，所以. 故答案为：. 11. 函数在上的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的单调性可得. 【详解】， 因为， 所以最小值为. 故答案为：. 12. 在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量的加减法，结合已知条件计算求参. 【详解】因为， 且，， 所以， 又因，且线性无关，所以， 则. 故答案为：. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理及基本不等式可求得，从而可求解. 【详解】由题知，，由余弦定理得， 即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的周长取最大值为，此时的面积为. 故答案为：. 14. 在中，，，，且，，与交于点，则__________；__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. 15. 若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，要使函数在内有4个零点，须使.分和两种情况讨论，将零点个数问题转化为函数图象间的交点个数问题，结合一次函数与二次函数的性质可解. 【详解】由题意得. 因为当时，最多有两个零点， 所以要使函数在内恰有4个零点，须有两个零点. 因为的对称轴是，所以. 当时，令，则，即. 即与有两个交点. 所以，解得. 当时，有两个零点. 因为的图象开口向上，对称轴为. 所以，解是. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等比数列． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式；（II）根据（I）及等比数列的前 n项和公式可求，要证数列是等比数列⇔即可 【详解】（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d 依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5 所以{bn}中依次为7﹣d，10，18+d 依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去） 故{bn}的第3项为5，公比为2 由b3=b1•22，即5=4b1，解得 所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为 （II）数列{bn}的前和 即，所以， 因此{}是以为首项，公比为2的等比数列 18. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）答案见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）得到，1是方程的两根，由韦达定理得到a和b的值； （2）（i）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集； （ⅱ）变形，得到，则在上恒成立，故，求出解集即可. 【小问1详解】 由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． 【小问2详解】 （i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即， 解得或， 即x的取值范围为． 19. 已知数列是各项都为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）对于数列满足：当时，. （i）若，求； （ii）若，证明：对于任意正整数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据条件求得公比，进而写出通项公式； （2）（i）当时，，然后利用错位相减求和法计算； （ii）分为偶数和奇数分别研究的关系，然后证明. 【详解】（1）因为数列是各项都为正数的等比数列， 所以设公比，因为， 所以，即， 所以或，因为，所以， 因此 （2）（i）当时， 所以 所以 所以. （ii）设， 则. 若是偶数，则，则， 因为，于是. 所以. 若是奇数，则，设是中第一个为0的数， 则，， 所以， . 因为，所以即. 综上所述，对于任意正整数，. 20. 已知函数， （1）时，求在处的切线方程； （2）若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，分析函数在上的单调性，分析可知在上有唯一的变号零点，由此可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）由（2）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，结合极值点的定义可得出，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，由结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，， 则，所以切线斜率， 因为，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即 【小问2详解】 因为， 设，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 因为，且函数在上有唯一的极值点， 即在上有唯一的变号零点， 所以，即，故实数的取值范围是. 小问3详解】 因为是函数在区间上的极值点， 由（2）可知，故，即， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，， 所以函数在没有零点，在上存在唯一零点， 则，即. 因为 ， 令，， 所以， 即函数在上单调递增， 因为，所以，即， 所以，而，， 且在上单调递增，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $