第三十章 二次函数（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（2025·河北保定·一模）点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 3．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·河北石家庄·三模）点在函数（k为常数）的图象上，则点A与点B的位置描述正确的是（   ） A．点A在点B的右侧 B．点A在点B的左侧 C．点A离y轴远 D．点B离y轴远 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）对于抛物线下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 7．（2025·河北邯郸·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 10．（2025·河北·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图象，使得图象的顶点落在线段上．关于的取值，三人的说法如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．只有甲和乙对 B．只有甲和丙对 C．只有乙和丙对 D．甲、乙、丙都对 11．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（    ） A．5米 B．9米 C．4米 D．8米 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（   ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北唐山·一模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 ． 14．（2025·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 15．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 16．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 18．（2025·河北·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 20．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 21．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 22．（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； (4)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·基础通关（参考答案） 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A D B C B B B D A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．2 14．4 15． 16．2或4 2、 解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分共72分） 17．（本题6分）【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为；-------------------------------------2分 （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为．-------------------------------------6分 18．（本题6分）【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ；--------------------------------------------------2分 （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ．-----------------------------------------------6分 19.（本题8分）【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为----------------------------------2分 （2）由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为；-----------------------------------------------5分 （3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小．-----------------8分 20．（本题8分）【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为；----------------------------------------2分 （2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为；-------------------------------------5分 （3）能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求．----------------------------------------8分 21．（本题10分）【详解】（1）解： ．--------------------------3分 （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为．-----------------------------6分 （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数．----------------------10分 22．（本题10分）【详解】（1）解：抛物线经过点，， 对称轴为直线， ， ， 的解析式为． 将代入，得， 即． ， 点的坐标为．-----------------------------------------5分 （2）解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为．-------------------------7分 ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． 点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ．-----------------------------------------------------------------------10分 23．（本题12分）【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：；------------------------------------------4分 （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线，-----------------------------------8分 ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：，-----------------------------------------------12分 24．（本题12分）【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴ ，解得， 抛物线的解析式为； ， 抛物线的顶点坐标为；------------------------------------------3分 （2）抛物线的顶点坐标为，点． 当时，令，解得，． 观察图象可得当时，图象的最大值为9，最小值为5， 图象的最大值与最小值的差为4； 当时，图象的最大值为5，最小值为， 令， 解得，（舍去）． 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为4；-----------6分 （3），， ， 线段的两个三等分点坐标为，． 设平移后的抛物线解析式为， 将，代入，得 解得，， 平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 抛物线的顶点为， 平移前、后抛物线的顶点之间的距离为， 抛物线平移的最短路程为；-----------------------------------------9分 （4）解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图， 当时，，此时图象与直线有且只有两个公共点，如图， 当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点， 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点．--------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（2025·河北保定·一模）点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质， 根据抛物线的开口方向和函数值的大小，可知点比点离对称轴远，再分两种情况讨论得出答案. 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，， ∴点比点离对称轴远， ∴当点在对称轴左侧时，； 当点在对称轴右侧时，， ∴． 故选：C． 2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 3．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可． 【详解】解：令，则和， 解得或或或， 不妨设， ∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴与原点关于点对称， ∴， ∴或（舍去）， ∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4．（2025·河北石家庄·三模）点在函数（k为常数）的图象上，则点A与点B的位置描述正确的是（   ） A．点A在点B的右侧 B．点A在点B的左侧 C．点A离y轴远 D．点B离y轴远 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由得出抛物线开口向下，y的值越小的点离对称轴越远，而其对称轴为直线，即y轴，再由点在函数（k为常数）的图象上，且即可得出点B离y轴远． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，y的值越小的点离对称轴越远，而其对称轴为直线，即y轴， ∵点在函数（k为常数）的图象上，且 ∴点B离y轴远， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征， 根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线， 点、、在函数图象上， 且 ∴． 故选：B． 6．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）对于抛物线下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标是，当时，随的增大而减小，由此逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，抛物线的开口向下，故A正确，不符合题意； B、，对称轴为直线，故B正确，不符合题意； C、，抛物线的顶点坐标是，故C错误，符合题意； D、抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意； 故选：C． 7．（2025·河北邯郸·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据新定义，得完美点的坐标为，分别代入解析式计算判断即可． 本题考查了新定义问题，正确解方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点， 故完美点的坐标为， 当完美点为时，得，解得，符合题意； 当完美点为时，得，解得，符合题意； 当完美点为时，得，整理得， 解得，舍去， 当完美点为时，得，整理得， 解得，舍去， 故符合题意的m值有3个，分别为1，，， 故选：B． 8．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 9．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象平移，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离，再根据，即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线平移前的顶点纵坐标为， 平移后抛物线的顶点的纵坐标为， 平移的距离为， ， 平移后抛物线的顶点在线段的垂直平分线上， 平移得到的点的纵坐标为． 故答案为：B． 10．（2025·河北·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图象，使得图象的顶点落在线段上．关于的取值，三人的说法如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．只有甲和乙对 B．只有甲和丙对 C．只有乙和丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，顶点式的特点，坐标点的平移，掌握二次函数化为顶点式，顶点坐标的平移规律是解题的关键． 将二次函数一般式化为顶点式得到顶点坐标，结合题意的平移规律进行判定即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 对于甲说法，将)先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后，平移后顶点的坐标为，甲正确； 对于乙说法，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，平移后顶点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴线段的中点坐标为，即， ∴平移后该点恰好在的中点处，乙正确； 对于丙说法，将先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后，平移后点的坐标为，丙正确． 故选：D． 11．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（    ） A．5米 B．9米 C．4米 D．8米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后再把代入函数解析式求出y值即可． 【详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为， 则，解得， 则抛物线的表达式， 由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 故选：A 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（   ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北唐山·一模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-平移，由二次函数的图象交y轴于点P，可得，又将点P向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解． 【详解】解：∵二次函数的图象交y轴于点P， ∴， ∴将点P向右平移4个单位得到， 又∵此时在二次函数上， ∴， 解得． 故答案为：2． 14．（2025·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力． 将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解． 【详解】解：， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 故答案为：4. 15．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 16．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分,共72分） 17．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 18．（2025·河北·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 19．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，(4，2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴二次函数的解析式为 （2）由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； （3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 20．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； （3）能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 21．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y有最大值，最大值为 (3)见解析 【分析】此题考查了配方法的应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据题意利用配方法分解因式即可； （2）由配方法得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）利用配方法得到，即可证明结论． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，y有最大值，最大值为． （3）证明：， 则不论，取何值，多项式的值总为正数． 22．（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)①3，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 对称轴为直线， ， ， 的解析式为． 将代入，得， 即． ， 点的坐标为． （2）解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． 点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【答案】(1)点B的坐标为， (2)①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②， 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：； （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：， 24．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； (4)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查二次函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，函数图象的平移及二次函数的基本性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意分情况分析：当时，当时，当时，当时，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出平移后的点的坐标为，，线段的两个三等分点坐标为，，设平移后的抛物线解析式为，然后求解即可； （4）根据题意得出分三种情况分析：当时，当时，当时，依次结合图象求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴ ，解得， 抛物线的解析式为； ， 抛物线的顶点坐标为； （2）抛物线的顶点坐标为，点． 当时，令，解得，． 观察图象可得当时，图象的最大值为9，最小值为5， 图象的最大值与最小值的差为4； 当时，图象的最大值为5，最小值为， 令， 解得，（舍去）． 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为4； （3），， ， 线段的两个三等分点坐标为，． 设平移后的抛物线解析式为， 将，代入，得 解得，， 平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 抛物线的顶点为， 平移前、后抛物线的顶点之间的距离为， 抛物线平移的最短路程为； （4）解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图， 当时，，此时图象与直线有且只有两个公共点，如图， 当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点， 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（2025·河北保定·一模）点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 3．（2023·河北·中考真题）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2025·河北石家庄·三模）点在函数（k为常数）的图象上，则点A与点B的位置描述正确的是（   ） A．点A在点B的右侧 B．点A在点B的左侧 C．点A离y轴远 D．点B离y轴远 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）对于抛物线下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 7．（2025·河北邯郸·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．如：函数的图象上的点到两个坐标轴的距离相等，我们就称点是函数的图象的完美点．若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，则满足要求的的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·河北张家口·模拟预测）点为抛物线上一点，在透明胶带上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移胶片，得到点和抛物线，如图所示，已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A．4 B． C．5 D． 10．（2025·河北·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图象，使得图象的顶点落在线段上．关于的取值，三人的说法如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．只有甲和乙对 B．只有甲和丙对 C．只有乙和丙对 D．甲、乙、丙都对 11．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（    ） A．5米 B．9米 C．4米 D．8米 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（   ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北唐山·一模）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 ． 14．（2025·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 15．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 16．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分,共72分） 17．（2025·河北邢台·二模）如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 18．（2025·河北·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 20．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 21．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式，例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式； (2)若，当x为多少时y有最值？最值为多少？ (3)求证：不论x，y取何值，多项式的值总为正数． 22．（2025·河北张家口·二模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 24．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为4？ (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程； (4)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $