第三十章 二次函数（单元测试·提升卷）数学冀教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）抛物线与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，则．由图象可知，当时，即，进而可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间， ∴， ∴，故排除B、C选项； 由图象可知，当时，， ∴， ∴b，c的取值可能是，． 故选：A． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 3．（2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查要根的判别式，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据一元二次方程最多有一个根，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出m值即可． 【详解】解：∵一元二次方程最多有一个根， ∴， 化简得， 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为， ∵的最小值为3， ∴， 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时m无解； 当时，∵，y随t增大而减小， ∴，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：A． 4．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围为（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称轴为直线．得出到的距离为，到的距离为，进而根据，，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∵，， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵到的距离为，到的距离为， ∴ 解得：或 故选：B． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 6．（2025·河北唐山·三模）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 根据二次函数与轴的交点问题可得关于的一元二次方程有两个不相等的实根，再利用根的判别式可判断①；先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴、与轴的交点位置可得的符号，由此可判断②；根据二次函数的对称轴可判断③；根据时，可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，此二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 因此其根的判别式， 即，结论①正确； 此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， ，结论②错误； 二次函数的对称轴为， ，结论③正确； 当时，， ，结论④错误； 综上，正确的结论有2个， 故选：B． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理．利用二次函数的性质求得，，，利用勾股定理求得，，结合题意，列式计算即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，得， ． 令，得， ， ， ， ，． ， ， ， 故选：B． 8．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线，可得抛物线向上平移m个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，则，解得②当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，构建方程求出m的值可得结论． 【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则有， ∴， ∴关于x的一元二次方程的解为，； ∴抛物线， 抛物线向上平移m个单位后解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，则， 解得， ②当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得， ∴时满足题意． 综上所述， 或． 故选：A． 9．（2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 图像过点，则代入得，说明此时二次方程至少有一个实根，即可判断①；根据图像与x轴有两个不同交点，说明方程有两个不等实根，得到，即可判断②；把点代入得得到求解即可判断③；由题意可得，解得，代入化简即可判断④． 【详解】解：①图像过点，则代入得，此时二次方程至少有一个实根（），故判别式，原说法正确； ②图像与x轴有两个不同交点，说明方程有两个不等实根，故，原说法正确； ③图像过点，代入得，即，则或，原说法错误； ④若是方程的根，则，解得，代入， 则，原说法正确． 综上，错误的是③， 故选：C． 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 11．（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可． 【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误； B．方程的解是或． 当时，，故B错误； C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确； D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误． 故选C． 12．（2025·河北廊坊·一模）如图，直线，E为上的一定点，P 为上的一动点，Q为平面内直线与之间的一点(点Q 不在直线和直线上)，连接．在点 P的运动过程中，若始终有，则下列说法正确的是（  ） 结论Ⅰ∶为定值． 结论Ⅱ：的面积为定值． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的应用， 根据题意可知不变，延长交于点F，根据平行线的性质得，即，即可说明结论I；设，，先表示，进而表示，再根据得出关系式，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可知不变，延长交于点F， ∵， ∴， ∴， 即． 过点E作，于点H，点Q作，于点G， ∴， 即． ∵是定值， ∴是定值． 所以结论I正确； 设，， ∵， ∴． 在中，． ∴， 由为定值， ∴随着x的变化而变化，即的面积随着的变化而变化， 所以的面积不是定值． 则结论II不正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：令，由解得，， 令，则， ∴，， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：． 14．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 【答案】10 【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可． 【详解】解：根据题意，得，代入解析式， 解得， 故一次函数的解析式， 当时， ， 故点， 把代入解析式， 解得（舍去）， 故抛物线的解析式为， 当时， ， 解得， 故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 15．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线的图象及性质．根据抛物线经过点和，得到抛物线的对称轴为，根据增减性得到，从而，进而得到对称轴为，．根据抛物线与矩形的边有两个交点，求出抛物线过各个临界点时c的值，即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线开口向上，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是， ∴，解得， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴抛物线为． 如图，当抛物线经过原点时，， 如图，当抛物线经过点时， ，解得， ∴当时，抛物线与矩形的边有两个交点； 如图，当抛物线顶点在x轴上时， ，解得， 如图，当抛物线顶点在上时， ，解得， ∴当时，抛物线与矩形的边有两个交点； 或． 16．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则 ； （2）最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）过点F作于点H，证明是等腰直角三角形得，由旋转性质得，，进而可证明，由此依据“”判定和全等得，，再根据得，则，继而得，由此可得x的值； （2）过F作于点H，过点G作于点P，同证明和全等，是等腰直角三角形得，，，则，设，则，进而得，再证明和全等得，，则，在中，由勾股定理得，由此得当时，的值为最小，最小值为，继而即可得出BG的最小值． 【详解】解：（1）过点F作于点H，如图1所示： ， 在中，，， ，， ∴， ∴， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点F作于点H，过点G作于点P，如图2所示： 同证明： ，是等腰直角三角形， ，，， ， 设，则， ， ， ，， ， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 当时，的值为最小，最小值为， 的最小值为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，理解等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用勾股定理构造二次函数是解决问题的关键． 3、 解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分,共72分） 17．（本题6分）（2025·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． (1)求点的横坐标； (2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； (3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 【答案】(1)2 (2)6或 (3)或 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征，有一定的综合性，运用数形结合、分类讨论的思想是解决第(2) (3)小题的关键． （1）将化成顶点式即可求解； （2）将点代入求出，进而可得其对称轴为， 当时，即时，，当时，即，，分别求解即可； （3）分两种情况：①当时，抛物线经过点时，可得；②当时，抛物线过点时结合性质可得，又，即可求解． 【详解】（1）解： 的坐标为， 点的横坐标为2； （2）解：当时，， 解之得，， 所以其对称轴为， 由题意知最大值为， 当时，即时， ， 解得（舍去）， 当时，即，， 解得不合题意舍去． 综合以上可得的值为6或． （3）解：①当时，由题意，即， 当抛物线经过点时， ，解得． 又点、分别位于抛物线对称轴右半部分的两侧， ； ②当时，抛物线过点时可得，又，即， 综上所述：的取值范围为或． 18．（本题6分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）将、代入抛物线得方程组求解即可得到答案； （2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将、代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式； （2）解：①由（1）知二次函数的关系式， 点是抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得， ，解得， 直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为， 、， 的面积为， 、， ； ②由①知，， ， ，满足， 的面积有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 19．（本题8分）（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)的最高点坐标为，，； (2)符合条件的n的整数值为4和5． 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 20．（本题8分）（2025·河北唐山·二模）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为，为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求锅口直径的长及抛物线的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)此时水面的直径为 (3)锅盖能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， （1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； （3）将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 解得，， 点坐标为，点坐标为 锅口直径 设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得 解得 抛物线的解析式为 （2）解：将代入中，解得， 点的坐标为 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， ， 此时水面的直径为； （3）解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上． 21．（本题10分）（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【答案】(1)点B的坐标为， (2)①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②， 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：； （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：， 22．（本题10分）（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 23．（本题12分）（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； (3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）令，则，解方程即可得解； （2）求出点P坐标是，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质即可得解； （3）先求出抛物线的顶点坐标是，当点在抛物线上时求出 ，求出，再利用待定系数法得出直线的表达式为．当点在线段上时，求出，结合题意即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的表达式为， ∴令，则． 解得，． ∴A点坐标是，B点坐标是； （2）解：令，则， ∴点P坐标是． ∵抛物线与x轴交于点和点． ∴设抛物线的表达式为． 当点P，N重合时，将点代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为，即． 当时，． ∴抛物线的顶点坐标是； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴其顶点坐标是． 当点在抛物线上时，， 解得． 令，则． ∴， 设直线的表达式为， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为． 当点在线段上时，， 解得． ∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界）， ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24．（本题12分）（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)_______，______； (2)点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； (3)点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 【答案】(1) (2)①，；②1或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的最值等知识，熟练掌握数形结合思想是解答本题的关键． （１）运用待定系数法求出ｃ的值，令解方程求出点Ａ的坐标，再把点Ａ的坐标代入，可求出； （2）①根据题意得，表示出，根据二次函数的性质可得结论； ②由列方程求解即可； （3）设过K且与x轴平行的直线为，则可得，，整理后由根与系数关系得由可得绪论． 【详解】（1）解：把点代入，得， 令，则， 解得，，， ∵点在点左边， ∴， 把点代入 中，得： ， 解得：； （2）解：①由（1）得：，， ∵点为线段上一点（不与点重合），横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为； ②∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得，（舍去），或； （3）解：设过K且与x轴平行的直线为，则可得，， 整理得，，， 由根与系数关系得， 而， 又， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·能力提升（参考答案） 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A A B A B B A C C C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13． 14．10 15．或 16． 三 解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，共72分） 17．（本题6分）【详解】（1）解： 的坐标为，点的横坐标为2；--------------------------------2分 （2）解：当时，， 解之得，， 所以其对称轴为， 由题意知最大值为， 当时，即时， ， 解得（舍去）， 当时，即，， 解得不合题意舍去． 综合以上可得的值为6或．--------------------------------4分 （3）解：①当时，由题意，即， 当抛物线经过点时， ，解得． 又点、分别位于抛物线对称轴右半部分的两侧， ； ②当时，抛物线过点时可得，又，即， 综上所述：的取值范围为或．---------------------------------6分 18．（本题6分）【详解】（1）解：将、代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式；--------------------------------------2分 （2）解：①由（1）知二次函数的关系式， 点是抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得， ，解得， 直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为， 、， 的面积为， 、， ；-------------------------------------------------4分 ②由①知，， ， ，满足， 的面积有最大值，为．----------------------------------6分 19．（本题8分）【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则；----------4分 （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得；当经过时，， 解得；∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5．--------------------8分 20．（本题8分）【详解】（1）解：将代入中，得 解得，，点坐标为，点坐标为 锅口直径设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得解得 抛物线的解析式为---------------------------2分 （2）解：将代入中，解得， 点的坐标为 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， ， 此时水面的直径为；-------------------------------5分 （3）解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上．---------------------------------------8分 21．（本题10分）【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ，整理得：；---------------------------------3分 （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ，，由（1）得， 抛物线的解析式为：，水流恰好经过着火点A， 代入得：，解得：，， 抛物线的解析式为：，对称轴为直线，------7分 ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：， 综上可得：，，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为故答案为：，----------------------------10分 22．（本题10分）【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴，∴；------------------------2分 （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和∴不能经过点,-------------------4分 （3）①∵，当重合时，则∵是的中点， ∴,∵点恰好落在上，经过点 ∴解得：；----------------------6分 ②∵直线交于点，， ∴，∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴，∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得，，由，则， 整理得，，则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或，当时，代入②解得， 或，当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故---------------------------------------10分 23．（本题12分）【详解】（1）解：∵抛物线的表达式为， ∴令，则． 解得，． ∴A点坐标是，B点坐标是；-------------------------4分 （2）解：令，则， ∴点P坐标是． ∵抛物线与x轴交于点和点． ∴设抛物线的表达式为． 当点P，N重合时，将点代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为，即． 当时，． ∴抛物线的顶点坐标是；--------------------------------8分 （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴其顶点坐标是． 当点在抛物线上时，， 解得． 令，则． ∴， 设直线的表达式为， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为． 当点在线段上时，， 解得． ∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界）， ∴m的取值范围是．------------------------------12分 24．（本题12分）【详解】（1）解：把点代入，得， 令，则，解得，，， ∵点在点左边，∴， 把点代入 中，得： ，解得：；-------------------------------------4分 （2）解：①由（1）得：，， ∵点为线段上一点（不与点重合），横坐标为， ∴， ∴， ∵∴当时，有最大值，最大值为； ②∵，， ∴， ∵∴ ∴ 解得，（舍去），或；-----------------------------------8分 （3）解：设过K且与x轴平行的直线为，则可得，， 整理得，，， 由根与系数关系得， 而， 又，∴．------------------------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）抛物线与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 3．（2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围为（  ） A． B．或 C．或 D． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 6．（2025·河北唐山·三模）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 9．（2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 12．（2025·河北廊坊·一模）如图，直线，E为上的一定点，P 为上的一动点，Q为平面内直线与之间的一点(点Q 不在直线和直线上)，连接．在点 P的运动过程中，若始终有，则下列说法正确的是（  ） 结论Ⅰ∶为定值． 结论Ⅱ：的面积为定值． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 14．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 15．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是 ． 16．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则 ； （2）最小值为 ． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，共72分） 17．（本题6分）（2025·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． (1)求点的横坐标； (2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； (3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 18．（本题6分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 19．（本题8分）（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 20．（本题8分）（2025·河北唐山·二模）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为，为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求锅口直径的长及抛物线的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 21．（本题10分）（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 22．（本题10分）（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 23．（本题12分）（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； (3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围． 24．（本题12分）（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)_______，______； (2)点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； (3)点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第三十章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）抛物线与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在与之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 3．（2025·河北·一模）已知一元二次方程最多有一个根，且二次函数的最小值为3，则m的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围为（  ） A． B．或 C．或 D． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 6．（2025·河北唐山·三模）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 9．（2025·河北邯郸·三模）关于的二次函数的四种说法：①若二次函数的图像与轴交于点，则；②若二次函数的图像与轴有两个不同的交点，则方程必有两个不相等的实数根；③若二次函数的图像与轴交于点，则一定有；④若二次函数的图像与轴交于点，则，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 12．（2025·河北廊坊·一模）如图，直线，E为上的一定点，P 为上的一动点，Q为平面内直线与之间的一点(点Q 不在直线和直线上)，连接．在点 P的运动过程中，若始终有，则下列说法正确的是（  ） 结论Ⅰ∶为定值． 结论Ⅱ：的面积为定值． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 14．（2025·河北唐山·二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ． 15．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为．抛物线经过点和．当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是 ． 16．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则 ； （2）最小值为 ． 三、解答题（本大题共8题，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，24题12分，共72分） 17．（本题6分）（2025·河北邢台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，过作平行轴的直线交轴于点，已知点． (1)求点的横坐标； (2)若抛物线经过点，当时，抛物线的最大值为，求的值； (3)若点、位于抛物线对称轴右侧图象的两侧．确定的取值范围． 18．（本题6分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 19．（本题8分）（2023·河北·中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 20．（本题8分）（2025·河北唐山·二模）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为，为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求锅口直径的长及抛物线的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 21．（本题10分）（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 22．（本题10分）（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 23．（本题12分）（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标； (3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围． 24．（本题12分）（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)_______，______； (2)点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； (3)点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $