精品解析：福建省福九联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

2025-2026学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高中一年数学科试卷 命题学校：连江一中 命题教师：高一备课组 审核教师：高一备课组 考试日期：11月13日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 3. 设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）. A B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 对于变量和，若（且），则是的函数 B. 函数与函数是同一个函数 C. 已知函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 函数的最小值为2 B. 当时，函数的最小值为 C. 已知且，若，则的取值范围为 D. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ）. A. 当时， B. 当在上单调递增时，的取值范围为 C. 当时，的解集为 D. 要使方程有实数解，取值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 函数的值域为______. 14. 若集合，集合，，且满足集合中最大的数大于集合中最大的数，则称有序集合对为“兄弟集合对”．当时，这样的“兄弟集合对”有______对． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 17. 随着环马祖澳国家级滨海旅游度假区创建，连江县滨海民宿产业规模不断扩大.某村为增加村民收入，计划投资改造一批精品民宿.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，装修间民宿需另投入成本万元，且.经调研，估计每间民宿能带来30万元的收入. （1）求民宿带来的利润（万元）关于民宿间数的函数关系式； （2）投资多少间民宿时，带来的利润最大？并求最大利润. 18. 已知函数，. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，求不等式解集； （3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若存在，使不等式有解，求实数的取值范围； （3）设，对任意，，，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，都有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高中一年数学科试卷 命题学校：连江一中 命题教师：高一备课组 审核教师：高一备课组 考试日期：11月13日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可. 【详解】命题，的否定是：，. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据交集定义求解. 【详解】因为，则，可得， 所以，又， 则. 故选：A 3. 设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取反例判断ABD，利用不等式同向可加性判断C. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 因为，则，又， 所以，所以C正确； 取，则，，故D错误. 故选：C 4. 已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质确定在上单调递增对应的参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由的开口向上且对称轴为， 所以当且仅当时，在上单调递增， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性及函数值的范围，运用排除法求解． 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，又， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B； 当时，，，排除选项D； 当时， ，排除选项C． 故选：A 6. 已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数及其区间单调性得，不等式为，再解不等式求参数范围. 【详解】由题设，则，可得， 由，即，则， 所以. 故选：B 7. 已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及偶函数的对称性有在上单调递增，在上单调递减，且，不等式化为，应用分类讨论及偶函数的区间单调性列不等式求解集. 【详解】由题意在上单调递减，又在R上为偶函数， 所以在上单调递增，且， 由， 所以或，则或， 结合的区间单调性知，或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 对于变量和，若（且），则是函数 B. 函数与函数是同一个函数 C. 已知函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义判断A，由同一函数的定义域与对应法则相同判断B，根据函数解析式求得，即可判断C，由抽象函数的定义域求法判断D. 【详解】A：由题设且定义域为，对应值域为且每一自变量有唯一函数值与之对应，满足函数定义，对， B：由的定义域为R，的定义域为，不是同一函数，错， C：由，则，其中且，故，对， D：由的定义域为，则中，故定义域为，错. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ）. A. 函数的最小值为2 B. 当时，函数的最小值为 C. 已知且，若，则的取值范围为 D. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】当时，即可判断A；利用基本不等式可判断B；利用指数函数的单调性可判断C；不等式对任意恒成立，可得，结合基本不等式可判断D. 【详解】当时，，故A错误； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为，故B正确； 当时，由，可得，从而； 当时，由，可得， 所以或，故C错误； 不等式对任意恒成立，则，即， 因为（当且仅当时取等号），可知， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ）. A. 当时， B. 当在上单调递增时，的取值范围为 C. 当时，的解集为 D. 要使方程有实数解，的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知将自变量代入求函数值判断A，由的单调性，结合指数函数、二次函数的性质分析是否单调递增确定参数范围判断B，首先分析的区间单调性，再结合指数函数、二次函数的性质及，应用分类讨论求参数范围判断C，讨论参数，研究对应情况下的值域情况，分析是否有解求范围判断D. 【详解】A：由题设，则， 故，对； B：由在R上单调递增，其中在上单调递增， 要使时也单调递增，显然， 当时，在上单调递增，此时，满足题意； 当时，显然对称轴，即在上单调递增， 此时，满足题意； 所以，对； C：在上单调递增，而时的开口向下，且对称轴， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，,符合题意， 当时，恒成立， 当时， 若时，则，而，此时， 若时，恒成立，符合， 综上，或，错； D：在上，则时，有实数解， 当，在上 ，显然无实数解， 当，的开口向下且对称轴， 结合C分析，在上，显然有实数解， 当，的开口向上且对称轴， 结合B分析，在上单调递增，值域为，此时时有实数解， 综上，的取值范围为，对. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的性质进行计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 14. 若集合，集合，，且满足集合中最大的数大于集合中最大的数，则称有序集合对为“兄弟集合对”．当时，这样的“兄弟集合对”有______对． 【答案】14 【解析】 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理即可求解. 【详解】由题意可知，当时，． 当集合中最大的数为1，即时，此时无满足题意的集合； 当集合中最大的数为2，即或时， 此时只有一种满足题意的集合，故此时“兄弟集合对”有（对）； 当集合中最大的数为3，即或或或时， 此时满足题意的集合有，和三种可能， 故此时“兄弟集合对”有（对）． 故当时，这样的“兄弟集合对”有（对）． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），; （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再应用集合的交、并、补运算求集合； （2）讨论是否为空集，根据包含关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由，则， 当时，，所以， 且或，所以； 【小问2详解】 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】（1），； （2）函数在上单调递减，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质得到方程恒成立求得，再由已知列方程求得，即得； （2）应用单调性的定义，结合作差法判断函数的区间单调性. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即恒成立， 整理可得对于恒成立，只可能， 又，即，解得， 所以，； 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明如下： 由（1）函数，取任意，，且， 则 ， 因为，且， 所以，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 17. 随着环马祖澳国家级滨海旅游度假区的创建，连江县滨海民宿产业规模不断扩大.某村为增加村民收入，计划投资改造一批精品民宿.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，装修间民宿需另投入成本万元，且.经调研，估计每间民宿能带来30万元的收入. （1）求民宿带来的利润（万元）关于民宿间数的函数关系式； （2）投资多少间民宿时，带来的利润最大？并求最大利润. 【答案】（1） （2）投资12间民宿时获得的利润最大，最大利润为120万元. 【解析】 【分析】（1）利用利润等于收入减去成本求解函数关系即可； （2）根据二次函数性质及基本不等式求解最值即可. 【小问1详解】 根据题意得 当时，， 当时，， 所以; 【小问2详解】 当时，， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为80， 当时，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为120， 所以投资12间民宿时获得的利润最大，最大利润为120万元. 18. 已知函数，. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立求解； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. 【小问1详解】 不等式恒成立，即不等式恒成立， 所以，得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 ，. 当时，，或； 当时，； 当时，，或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 方程即， 当时，，，方程只有两根，不符合题意. 当时，关于方程根的判别式，， 方程只有两根，不符合题意. 当时，方程有四个不同的实数根， 则有解得，或. 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）若存在，使不等式有解，求实数取值范围； （3）设，对任意，，，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，都有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质有由此可求参数； （2）问题化为在上能成立，应用指数函数、分式型函数的性质求右侧取值范围的上界，即可得； （3）由题意，设，则，问题化为时，恒成立，应用基本不等式得求的上界，即可得. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为， 所以，即， 所以在上恒成立，则； 【小问2详解】 由（1）知， 存在，使不等式有解，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，则， 故，所以； 【小问3详解】 由题意得， 不妨设，则， 由，，为长度的线段可以构成三角形，则， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则，即恒成立， 综上，时，恒成立， 又，当且仅当时前一个等号成立， 所以，即， ，即，于是的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $