精品解析： 山西省晋中市介休市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

介休市2025—2026学年第一学期期中质量评估试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 已知实数a，b满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，对角线相交于点O．若，，则菱形的面积为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 3. 如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 4. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数为（ ） A. 4 B. 10 C. 20 D. 8 5. 如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（ ） A. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 三角形的中位线等于第三边的一半 D. 直角三角形两锐角互余 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（ ） A. 9支 B. 10支 C. 11支 D. 12支 10. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为_______． 12. 如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为，且为中点，则的长_____． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 14. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 15. 如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 17. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得……第一步 移项，得……第二步 配方，得，即……第三步 由此，可得……第四步 所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 18. 在国际数学日的“画数学”感受数学之美的环节，小亮提出了用科克曲线，阿基米德螺线，三叶玫瑰线，笛卡尔心形线（如图所示）这四种曲线，并在四张完全相同的卡片上分别画上这四种曲线，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． （1）从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是 ； （2）从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，用列表法或者画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 19. 中秋节前夕，某超市购进了一批月饼礼盒，进价为每盒元．根据市场调研，如果每盒售价定为元，那么平均每天可以售出盒．超市经理发现，每降价元，每天的销量就会增加盒．为了迎接中秋销售高峰，超市决定采取适当的调价措施．如果超市希望每天的月饼销售利润能够达到元，并希望尽可能让顾客得到实惠，那么每盒月饼的售价应降价多少元？ 20. 已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 22. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理 角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分并交于点，则．下面是这个定理的证明过程． 方法1：如图②，过点作，交的延长线于点． ， （依据），，． 平分， ， ， ， ． 方法2：如图③，过点作，交的延长线于点F…… 任务： （1）填空：方法1中的依据是 ； （2）请按照上面的证明思路，补充方法2证明的剩余部分； （3）如图④，在中，，，，平分交于点，求的长． 23. 综合与探究： 在学习了特殊的平行四边形后，“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．下面是他们对一张纸片的操作过程： 第一步：如图1，沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上，然后展平得到折痕，点D在边上； 第二步：如图2，折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕，点E在边上，点F在边上，连接，； 第三步：如图3，沿过点E的直线折叠使落在射线上，沿过点F的直线折叠使落在上，展平后分别得到折痕，，点P，Q在边上．请解答他们提出的问题： （1）在图2中，判断并证明四边形的形状； （2）在图3中，判断并证明，的数量关系； （3）若，，，请你直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 介休市2025—2026学年第一学期期中质量评估试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 已知实数a，b满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，即 ，代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：C． 2. 如图，在菱形中，对角线相交于点O．若，，则菱形的面积为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，即可求菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：C． 3. 如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可以得出，解分式方程即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， ， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 故选：B． 4. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数为（ ） A. 4 B. 10 C. 20 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率的计算是解题的关键．根据频率估计概率，摸到红球的概率为，设红球个数为x，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设红球有x个，则总球数为（个）， 摸到红球的频率稳定于， 其概率为， ， 解得， 袋中红球有8个． 故选：D． 5. 如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（ ） A. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 三角形的中位线等于第三边的一半 D. 直角三角形两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点， ∴． ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判定方程根的情况是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式来判断根的情况即可． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率． 首先根据题意列表，然后由表可得所有等可能的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 由表可得，一共有9种等可能的结果，其中配成紫色的结果有2种， 所以转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为． 故选：B． 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 9. 村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（ ） A. 9支 B. 10支 C. 11支 D. 12支 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有支球队，比赛场次共有场，再根据共有110场比赛活动来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x支球队参加， 依题意得，， 解得：，（舍去） ∴共有11支球队参加比赛． 故选：C． 10. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形是矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．通过因式分解得到，即可得到答案． 【详解】解：提取公因式 ，得， 或 ， 解得，． 故答案为：，． 12. 如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为，且为中点，则的长_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明，则，是等边三角形，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， E为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 14. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果， 小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为， 故答案为：． 15. 如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴AB==10， 过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∵是的角平分线， ∴∠CBE=∠GBE， ∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE， ∴△CBE≌△GBE， ∴BC=BG=6，EC=EG， 设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4, 在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得， 即， 解得x=3， ∴CE=3，AE=5， 过点F作FO⊥AC，垂足为O，， ∴FO∥BC， ∴， ∴即FO=2OE， ∵AD是中线，BC=6， ∴CD=3， ∵FO∥DC， ∴， ∴， 解得OE=， 在直角三角形OEF中，， ∴EF==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，，， ． ． ，； 【小问2详解】 解： ． ． 或 ，． 17. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得……第一步 移项，得……第二步 配方，得，即……第三步 由此，可得……第四步 所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：转化；完全平方公式（或填）；②等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；③三；，；任务二：， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： 任务一：①根据转化思想，完全平方公式进行作答即可；②根据等式的基本性质，进行作答即可；③第三步方程两边应该同时加1，而不是4，求出正确结果即可； 任务二：利用配方法的步骤解方程即可． 【详解】解：任务一：①体现的数学思想是转化；“配方法”所依据的数学公式为完全平方公式（或填）． ②变形依据为等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； ③第三步出现错误，方程两边应同时加1； 配方，得，即， 由此，可得， ∴，； 任务二： 解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 18. 在国际数学日的“画数学”感受数学之美的环节，小亮提出了用科克曲线，阿基米德螺线，三叶玫瑰线，笛卡尔心形线（如图所示）这四种曲线，并在四张完全相同的卡片上分别画上这四种曲线，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． （1）从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是 ； （2）从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，用列表法或者画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，轴对称图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）记科克曲线为，阿基米德螺线为，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列出表格，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种，然后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记科克曲线为，阿基米德螺线，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列表如下： 第二次抽取 第一次抽取 ∴由上表可知，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种， 则这两个图案都是轴对称图形的概率. 19. 中秋节前夕，某超市购进了一批月饼礼盒，进价为每盒元．根据市场调研，如果每盒售价定为元，那么平均每天可以售出盒．超市经理发现，每降价元，每天的销量就会增加盒．为了迎接中秋销售高峰，超市决定采取适当的调价措施．如果超市希望每天的月饼销售利润能够达到元，并希望尽可能让顾客得到实惠，那么每盒月饼的售价应降价多少元？ 【答案】每盒月饼的售价应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每盒月饼的售价应降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每盒月饼的售价应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）. 答：每盒月饼的售价应降价元． 20. 已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 21. 介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 【答案】“介子推”雕像的高度AB为7米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由，易证，，可得，，根据即可求解． 【详解】解：由题意，得， ， ，， ，． 米，米，米， （米）． ，， ， ，即， 米． 答：“介子推”雕像的高度为7米． 22. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理 角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分并交于点，则．下面是这个定理的证明过程． 方法1：如图②，过点作，交的延长线于点． ， （依据），，． 平分， ， ， ， ． 方法2：如图③，过点作，交的延长线于点F…… 任务： （1）填空：方法1中的依据是 ； （2）请按照上面的证明思路，补充方法2证明的剩余部分； （3）如图④，在中，，，，平分交于点，求的长． 【答案】（1）平行线分线段成比例 （2） ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线分线段成比例，进行作答即可； （2）证明，得到，平行结合角平分线推出，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，根据角平分线分线段成比例，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：依据为平行线分线段成比例； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：Rt中，，，， 由勾股定理得：， 平分， ， ， ， ， 中，，，， 由勾股定理得． 23. 综合与探究： 在学习了特殊的平行四边形后，“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．下面是他们对一张纸片的操作过程： 第一步：如图1，沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上，然后展平得到折痕，点D在边上； 第二步：如图2，折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕，点E在边上，点F在边上，连接，； 第三步：如图3，沿过点E的直线折叠使落在射线上，沿过点F的直线折叠使落在上，展平后分别得到折痕，，点P，Q在边上．请解答他们提出的问题： （1）在图2中，判断并证明四边形的形状； （2）在图3中，判断并证明，的数量关系； （3）若，，，请你直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 解：设与相交于点O， 沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上， ， 折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 解：； 证明： 沿过点E的直线折叠使落在射线上， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， 四边形是菱形， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，再证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质及三角形外角的性质证明，再根据平行线分线段成比例定理，即可得到结论； （3）先证明四边形是正方形，再用面积法列方程求出正方形的边长，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是菱形， 四边形是正方形， ，，， 解得 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $