精品解析：四川省南充高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

四川省南充高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从数据的产生方式看，下列数据一般是通过试验获得的是（ ） A. 某自然保护区内野生大熊猫的数量 B. 2024年南充市的降雨量 C. 2025年全国交通事故发生数量 D. 某种特种轮胎的配方 【答案】D 【解析】 【详解】从数据产生方式看，A，B，C均属于调查/观测类数据. A选项的野生大熊猫数量通过实地计数调查获得； B选项的降雨量通过气象观测记录获得； C选项的交通事故数量通过事件统计调查获得； D选项的特种轮胎配方一般是在人为控制条件下开展性能测试试验、反复调整参数获得的，所以可通过试验获得. 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线斜率等于其倾斜角的正切值求解即可. 【详解】已知直线经过两点，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角满足，解得，故B正确. 3. 下列随机试验中，属于古典概型的是（ ） A. 测量一根绳子的长度 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数 C. 射击一次，观察是否命中目标 D. 在区间任取一个数，判断是否大于0.5 【答案】B 【解析】 【详解】A项：测量绳子的长度，样本空间包含无限个样本点，不满足有限性，不属于古典概型，故A错误； B项：掷骰子出现的点数共有种有限结果，且由于骰子质地均匀，每个点数出现的可能性相等，满足有限性和等可能性，属于古典概型，故B正确； C项：射击一次结果有“命中”和“不命中”两种，通常两者概率不相等，不满足等可能性，故C错误； D项：在区间内任取一个数，样本点有无限个，不满足有限性，不属于古典概型，故D错误. 4. 如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，点G为的重心，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，几何体是三棱柱，由点G为的重心， 得， 所以. 5. 某连锁咖啡馆为分析经营状况，绘制了一年中各月日均咖啡销售量与日均蛋糕销售量的雷达图．图中实线表示日均咖啡销售量（单位：杯），虚线表示日均蛋糕销售量（单位：块）．根据该雷达图，下面叙述不正确的是（ ） A. 各月的日均蛋糕销售量都在50块以上 B. 日均咖啡销售量不低于300杯的月份有6个 C. 三月和十一月的日均咖啡销售量基本相同 D. 八月的咖啡与蛋糕日均销售量之差比一月大 【答案】B 【解析】 【详解】由雷达图知，虚线最靠近圆心的是一月份，且在0与100之间更靠近100，所以在50块以上， 因此各月的日均蛋糕销售量都在50块以上，故选项A说法正确； 日均咖啡销售量不低于300杯的有五月、六月、七月、八月、九月，共5个月，故选项B说法不正确； 三月和十一月的日均咖啡销售量均在200杯附近，基本相同，所以选项C说法正确； 八月的咖啡日均销售量在400杯附近，蛋糕日均销售量小于300块，所以差大于100， 一月的咖啡日均销售量大于100杯，且小于150杯；蛋糕日均销售量小于100块，且大于50，所以差小于100， 故八月的咖啡与蛋糕日均销售量之差比一月大，所以选项D说法正确. 6. 如图，正方体的棱长为1．若点在正方体的内部，且满足，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系写出各点坐标，利用向量表达式确定；求平面的法向量，代入空间点到平面距离公式计算. 【详解】以A为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正方体棱长为1，则，，，， 所以，，. 由，代入得，于是. 设平面的一个法向量为，取平面内向量，， 由，得，即， 令，则法向量. 由点到平面的距离公式，得 ， 故点到平面的距离为. 7. 袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球．从中有放回地依次摸出2个球，记录编号．甲表示事件“第一次摸出的球编号为2”，乙表示事件“第一次摸出的球编号为偶数”，丙表示事件“两次摸出的球编号之和为偶数”，丁表示事件“两次摸出的球编号均为奇数”．则下列结论正确的是（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁相互独立 C. 乙包含于丙 D. 甲与丙相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】A和C用事件所发生的结果进行判断；B和D利用事件发生结果以及独立公式进行判断. 【详解】有放回摸两次，样本空间共有种等可能的结果， 甲：设为事件，第一次摸出编号为，共个结果，； 丙：设为事件，两次编号之和为偶数，即同为奇数或同为偶数，共种结果，； A选项：甲第一次摸出为，为偶数，因此不互斥； B选项：丁发生时两次均为奇数，即两次之和必为偶数，所以丁包含于丙，不独立； C选项：乙只要求第一次为偶数，第二次可能为奇数，此时和为奇数，故乙不包含于丙； D选项：甲与丙同时发生时，第一次为，第二次也必须为偶数，即共有种结果，， 而.所以甲与丙相互独立. 8. 设，过定点的动直线，与过定点的动直线交于点（和A，B不重合），则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的最大值为16 C. 的最大值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数求动直线所过定点.A，用两点间距离公式计算；B，利用两直线垂直公式得，进而得到直角三角形模型，结合勾股定理与基本不等式求乘积的最大值；C，法 1：用柯西不等式直接放缩求最值；法 2：通过三角换元，借助辅助角公式求最值；D，法 1：利用基本不等式链放缩求最值；法 2：换元构造函数，借助单调性求最值. 【详解】动直线，变形得，令，得定点. 动直线，变形得，令，得定点 选项A：，A正确； 选项B：由，得，即对任意都有恒成立， 由勾股定理得. 由基本不等式，得， 当且仅当时取等号，故最大值为16，B正确； 选项C：法1：用柯西不等式得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号，C错误； 法2：设，则， 所以， 所以的最大值为， 当且仅当时取等号，C错误； 选项D：法1：因为，所以， 所以，即， D正确； 法2：令，由B知，因为， 所以. 因为在上单调递减， 所以，即，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据：1，3，7，8，10，11，11，13，下列说法正确的有（ ） A. 该样本的众数大于极差 B. 该样本的第70百分位数是11 C. 该样本的平均数小于中位数 D. 将样本中每个数据扩大为原来的2倍，则样本标准差不变 【答案】BC 【解析】 【详解】该样本的众数为11，极差为，所以该样本的众数小于极差，故A错误； 因为，所以该样本的第70百分位数是11，故B正确； 该样本的平均数为，中位数为， 所以该样本的平均数小于中位数，故C正确； 将样本中每个数据扩大为原来的2倍，则样本数据的方差变为原来的4倍，对应标准差变为原来的2倍，故D错误. 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是的一个方向向量 B. 若，则的取值唯一 C. 若，则或 D. 当时，始终不过第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算斜率结合方向向量计算，判断选项A；利用两直线平行的系数关系求出a，判断选项B；利用两直线垂直的系数关系求出a，判断选项C；把化为斜截式，根据判断斜率与纵截距正负，确定直线经过的象限，判断选项D． 【详解】对于A，当，直线：的斜率为，则是的一个方向向量，A正确； 对于B，由两直线平行的系数关系得，解得或，经检验，两个值均能取，B错误； 对于C，由两直线垂直的系数关系得，解得或，C正确； 对于D，当时，：，因为，， 所以直线经过第一、二、三象限，故始终不过第四象限，D正确． 11. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不小于5”，记事件“得到的点数为质数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立，事件与事件也相互独立 B. 事件与事件相互独立，且B，C不互斥 C. ，且事件与事件互斥 D. ，事件不两两相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件与相互独立事件的定义，计算古典概型的概率，对选项逐一分析即可. 【详解】事件，事件，事件， 对于A：，故A正确； 对于B：，不互斥，故B正确， 对于C：正确，但，不互斥，故C错误， 对于D：三者积等式成立；但，不两两独立．故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小明同学抛掷一枚质地均匀的硬币200次，结果102次正面朝上．如果再抛掷一次，则正面朝上的概率为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据概率的计算公式进行计算. 【详解】掷一次硬币有种情况：正面朝上和反面朝上，所以正面朝上的概率为. 13. 已知直线和直线相互平行，M，N为动点，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由直线平行得系数成比例，即，解得， 于是：， 将化为同系数形式，即， 两平行线间的距离为的最小值，即. 14. 如图，将边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折得到空间四边形ABCD，E，F分别为AD，BC的中点，是原正方形ABCD的中心．若折纸后，则二面角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由求得，则，取中点，求出，结合二面角的定义，构造直角三角形，求出二面角的余弦值即可. 【详解】以为原点，分别为x，y轴正方向，竖直向上为轴建系， 由得， 设二面角的大小为，即， 则为中点：为中点： ，且， 故，得，所以， 所以平面平面ADC．此时， 而，故与都是边长为的正三角形， 取中点，连接AG、CG，则， 故是二面角的平面角，， 又都在折痕上，不变， 由余弦定理得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为1，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接， 如图，因为E，F分别为的中点，所以 又多面体为正方体，所以， 所以， 因为平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行的传递性可得，进而可证结论； （2）建立空间直角坐标系，进而求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 正方体中，可以以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 得， 设平面的法向量为， 则由，得，令，得， 得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以与平面所成角的正弦值是． 16. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组［50,60），［60,70），［70,80），［80,90），［90,100］． （1）求图中的值，并估计样本数据的众数； （2）从样本成绩在［60,70），［70,80），［80,90）三个小组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10名学生，求这10名学生成绩的平均值（同一组内的数据用该组区间中点值代表）； （3）若用样本估计总体，将学生成绩由高到低排序，位次排在后60％的学生淘汰，位次排在前40％的学生晋级下一轮竞赛，试估计晋级分数线． 【答案】（1），众数为 （2） （3）73 【解析】 【小问1详解】 由频率直方图可知，每组的组距为10， ，解得， ［70,80）这一组矩形面积最大，频率最大，故估计样本数据众数为； 【小问2详解】 由频率直方图知， ［60,70），［70,80），［80,90）频率之比为， 抽10人时，［60,70）组抽取4人，［70,80）组抽取5人，［80,90）组抽取1人， 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表， 这10名学生的平均成绩为； 【小问3详解】 由题意，即求样本数据第60百分位数， 前两组的频率和为， 前三组的频率和为， 故第60百分位数在第三组， 第60百分位数为70+， 故估计晋级分数线是73. 17. 已知两条直线与的交点为，圆的圆心为． （1）求过点，且与直线在轴上的截距相等的直线的方程； （2）已知平面内的动点与两个定点A，B的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状． 【答案】（1） （2），曲线是圆心为，半径为2的圆 【解析】 【分析】（1）联立直线方程求交点，确定直线的截距，再应用点斜式写出直线方程； （2）化圆的一般方程为标准方程并确定圆心，设，利用及两点距离公式求轨迹方程，进而得到曲线的形状. 【小问1详解】 由，解得，所以， 又直线在轴上的截距为7，即所求直线过， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 圆的标准方程为，所以圆心， 设，由，得，化简得， 即，故曲线是圆心为，半径为2的圆. 18. 某班级联欢活动举行摸球闯关计分游戏：箱子里装有大小和质地完全相同的2个红球，3个白球．游戏分两关，第一关：参与同学从箱子里不放回地随机摸出两个球，如果摸出的两个球颜色相同，则计1分，游戏结束；如果摸出的两个球颜色不同，不计分，进入第二关：从剩余3个球中随机摸出一球，如果摸出的为白球，则计2分；如果摸出的为红球，则计3分．已知每次摸出各个球可能性完全相等． （1）列出游戏第一关的样本空间，并计算进入第二关的概率； （2）求参加游戏的同学计3分的概率； （3）甲、乙两位同学独立参加游戏，求甲、乙两人合计得4分的概率． 【答案】（1）样本空间为，进入第二关的概率 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用枚举法求得样本空间，进而得，可求得进入第二关的概率； （2）设事件“某同学在游戏第二关中取到红球”，则，设事件“某同学参加游戏计3分”，则，利用条件概率公式求解即可； （3）记“甲同学计i分”为事件，“乙同学计分”为事件，“甲、乙两人合计得4分”为事件，则，利用互斥事件的和事件概率加法公式与独立事件概率乘法公式求解即可. 【小问1详解】 记事件“某同学在游戏中进入第二关”， 箱子里红球编号为1，2，白球编号为3，4，5， 则样本空间为 ，所以， 进入第二关的概率； 【小问2详解】 由（1）可知 设事件“某同学在游戏第二关中取到红球”，则， 设事件“某同学参加游戏计3分”，则， 则， 所以参加游戏的同学计3分的概率. 【小问3详解】 记“甲同学计i分”为事件，“乙同学计分”为事件， “甲、乙两人合计得4分”为事件，则， 易知， ， 根据题意可得 ， 故甲、乙独立参加游戏合计得4分的概率为． 19. 如图，在三棱锥中，平面． （1）若三棱锥的四个表面都是直角三角形，则此三棱锥称为“鳖臑”，判断三棱锥是否为“鳖臑”？ （2）若为PC的中点，求平面与平面所成夹角余弦值； （3）在（2）的条件下，棱PB上是否存在点，使得面积最小，若存在，求此时三棱锥体积与三棱锥体积之比；若不存在，说明理由． 【答案】（1）是“鳖臑” （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理判断. （2）法一：作出两个平面的夹角，利用几何法求解；法二：建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解. （3）法一，作图并确定面积取最小值的条件，再结合等体积法求解；法二：利用空间点到直线距离公式确定面积取最小值的条件，再结合等体积法求解. 【小问1详解】 在三棱锥中，由平面ABC，平面ABC， 得，则是直角三角形， 由，得，是直角三角形，而， 平面PAC，则平面PAC，又平面PAC，所以， 因此是直角三角形，所以三棱锥的四个面都是直角三角形，是“鳖臑”. 【小问2详解】 法一：取AC的中点为，过点作于点，连接MG、MH， 由是PC中点，得，而平面，则平面， 又平面，于是，又平面MGH 则平面，又平面，因此， 为平面与平面的夹角，在Rt中，， ，，， 所以平面与平面所成夹角的余弦为. 法二：在平面内过作，由（1）知直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ， 设为平面ABM的法向量，则，取，得， 显然为平面ABC的一个法向量，设平面与平面所成夹角为， 则， 所以平面与平面所成夹角的余弦为. 【小问3详解】 法一：在Rt中，为PC的中点，则， 由（1）知平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 则，， 当且仅当时，长度最小，面积最小， 由平面，得平面， 因此点到平面的距离为，而Rt， 则，， ， 又，则， 所以当面积最小，三棱锥体积与三棱锥体积之比为. 法二：若棱上存在一点使取最小，设， 由（2）知， 方向的单位向量，因此点到直线的距离 ， 当且仅当时，取得最小值，此时也取得最小值， 由为的中点，得，又当取最小值时，， 因此，， 所以当面积最小，三棱锥体积与三棱锥体积之比为. 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B. C. D. 3. 下列随机试验中，属于古典概型的是（ ） A. 测量一根绳子的长度 B. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数 C. 射击一次，观察是否命中目标 D. 在区间任取一个数，判断是否大于0.5 4. 如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，点G为的重心，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 某连锁咖啡馆为分析经营状况，绘制了一年中各月日均咖啡销售量与日均蛋糕销售量的雷达图．图中实线表示日均咖啡销售量（单位：杯），虚线表示日均蛋糕销售量（单位：块）．根据该雷达图，下面叙述不正确的是（ ） A. 各月的日均蛋糕销售量都在50块以上 B. 日均咖啡销售量不低于300杯的月份有6个 C. 三月和十一月的日均咖啡销售量基本相同 D. 八月的咖啡与蛋糕日均销售量之差比一月大 6. 如图，正方体的棱长为1．若点在正方体的内部，且满足，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球．从中有放回地依次摸出2个球，记录编号．甲表示事件“第一次摸出的球编号为2”，乙表示事件“第一次摸出的球编号为偶数”，丙表示事件“两次摸出的球编号之和为偶数”，丁表示事件“两次摸出的球编号均为奇数”．则下列结论正确的是（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁相互独立 C. 乙包含于丙 D. 甲与丙相互独立 8. 设，过定点的动直线，与过定点的动直线交于点（和A，B不重合），则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的最大值为16 C. 的最大值为 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据：1，3，7，8，10，11，11，13，下列说法正确的有（ ） A. 该样本的众数大于极差 B. 该样本的第70百分位数是11 C. 该样本的平均数小于中位数 D. 将样本中每个数据扩大为原来的2倍，则样本标准差不变 10. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是的一个方向向量 B. 若，则的取值唯一 C. 若，则或 D. 当时，始终不过第四象限 11. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不小于5”，记事件“得到的点数为质数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立，事件与事件也相互独立 B. 事件与事件相互独立，且B，C不互斥 C. ，且事件与事件互斥 D. ，事件不两两相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 小明同学抛掷一枚质地均匀的硬币200次，结果102次正面朝上．如果再抛掷一次，则正面朝上的概率为__________． 13. 已知直线和直线相互平行，M，N为动点，，则的最小值为__________． 14. 如图，将边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折得到空间四边形ABCD，E，F分别为AD，BC的中点，是原正方形ABCD的中心．若折纸后，则二面角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正方体的棱长为1，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 16. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组［50,60），［60,70），［70,80），［80,90），［90,100］． （1）求图中的值，并估计样本数据的众数； （2）从样本成绩在［60,70），［70,80），［80,90）三个小组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10名学生，求这10名学生成绩的平均值（同一组内的数据用该组区间中点值代表）； （3）若用样本估计总体，将学生成绩由高到低排序，位次排在后60％的学生淘汰，位次排在前40％的学生晋级下一轮竞赛，试估计晋级分数线． 17. 已知两条直线与的交点为，圆的圆心为． （1）求过点，且与直线在轴上的截距相等的直线的方程； （2）已知平面内的动点与两个定点A，B的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状． 18. 某班级联欢活动举行摸球闯关计分游戏：箱子里装有大小和质地完全相同的2个红球，3个白球．游戏分两关，第一关：参与同学从箱子里不放回地随机摸出两个球，如果摸出的两个球颜色相同，则计1分，游戏结束；如果摸出的两个球颜色不同，不计分，进入第二关：从剩余3个球中随机摸出一球，如果摸出的为白球，则计2分；如果摸出的为红球，则计3分．已知每次摸出各个球可能性完全相等． （1）列出游戏第一关的样本空间，并计算进入第二关的概率； （2）求参加游戏的同学计3分的概率； （3）甲、乙两位同学独立参加游戏，求甲、乙两人合计得4分的概率． 19. 如图，在三棱锥中，平面． （1）若三棱锥的四个表面都是直角三角形，则此三棱锥称为“鳖臑”，判断三棱锥是否为“鳖臑”？ （2）若为PC的中点，求平面与平面所成夹角余弦值； （3）在（2）的条件下，棱PB上是否存在点，使得面积最小，若存在，求此时三棱锥体积与三棱锥体积之比；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $