13.1 勾股定理及其逆定理 解答题训练 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1勾股定理及其逆定理 解答题训练 1．看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 2．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 3．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 4．如图，在中，过点作于点，已知，，． (1)求的长； (2)试判断线段与之间的位置关系，并说明理由． 5．如图1，中，，于点，，． (1)求，的长； (2)若点是射线上的一个动点，作于点，连结． ①当时，求的长． ②设直线交直线于点，若，求的长． 6．在中，于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，补全图形，则的长为________； (2)如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 7．在四边形中，是上一点，，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由． (2)如图2，延长，交于点，， ①求证：； ②如图3，延长至，使，，点在上，求的最小值． 8．如图，四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？ 10．在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中画一个，使得和全等； (2)在图2中画一个等腰，使得和的面积相等． 11．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上． (1)旋转中心是点______，旋转角是______和______； (2)若，，求的长； (3)连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由） 12．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可） (2)图2中，在网格内画出点，使得； (3)图3中，将的某一个顶点沿网格线平移一次得到点，使得点与的另两个顶点围成新的三角形，且该三角形的周长、面积都是有理数．画出平移一个顶点后得到的新三角形． 13．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，，（正方形四边相等，四个角都是直角），连接． (1)过点C作的垂线，分别交，于点D，G；求证：G为的中点； (2)连接，，若，，则六边形的面积为__________． 14．如图，等腰和等腰中，，D点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 15．如图，在锐角中，是 边上一点，，于点，与 交于点． (1)求证：； (2)若，，为的中点，求的长． 16．在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3） 如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 17．如图，某小区有一块四边形空地，其中，为了绿化小区环境，该小区计划在这块四边形空地上种各种花卉，为了方便小区内居民出入，设计了过点的小路，且于点，已知，，，小路AE的宽度为． (1)小路的面积是多少？ (2)通过市场调查，绿化每平方米空地需要200元的费用，若小区要完成这块空地绿化，预计需要花费多少元？ 18．如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 ，线段，，之间的数量关系是 ． 拓展探究： (2) 如图2，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 19．石室联合中学以“差异教育，扬长发展”为理念，构建了涵盖品德与人文、信息与科学、体育与健康、艺术与审美、劳动与实践五大板块的博雅课程体系．如图，学校准备开垦一块荒地用于劳动与实践课程的教学，测得，．为了方便师生进行使用，学校计划在荒地上铺设石板路，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种铺设方案： 八（1）班方案：如图1，过点作于点；沿线段铺设一段石板路． 八（2）班方案：如图2，先过点作于点，再过点作于点，于点；沿线段，铺设两段石板路． (1)求的长； (2)若铺设石板路的造价为120元/米，请求出各个方案所花费用，并说明哪个班的方案更划算？ 20．古今中外，验证勾股定理的方法众多，常见的方法是通过图形的分割与拼接来证明．例如古印度的“无字证明”：如图所示，用两条互相垂直的线段，将正方形分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，就可以证明勾股定理．     (1)若，则的长是__________； (2)若，则正方形的边长是__________；（用含m、n的代数式表示）； (3)某同学发现：将正方形按图1的方式分割，当所得到的四个图形不全等时，也可以证明勾股定理．如图2，将分割所得的图①移到正方形中的指定位置，请你在正方形中画出②、③、④、⑤四个图形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．机器人行走的路程是． 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到，从而将已知量和未知量集中到中，就可利用勾股定理建立方程来求解．由题意可知，若设，则， ，这样在中，利用勾股定理就可建立一个关于“”的方程，解方程即可求得结果． 【详解】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即， 设，则， ， ∵， ∴由勾股定理可知， 又∵， ， ∴， 解方程得出． 答：机器人行走的路程是． 2．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 3．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 4．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，， ∴， ∴在中，； （2）解：，理由如下： ，，， ∴， 是直角三角形，， ∴． 5．(1)； (2)①；②或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，合理作出辅助线结合分类讨论思想是解题的关键． （1）运用勾股定理运算求解即可； （2）①证出，再利用全等的性质求解即可； ②分类讨论点的位置，过点作于点，证出，结合勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，过点作于点如图所示： ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 当点在线段延长线上时，过点作于点如图所示： ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 同上同理可证， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为或． 6．(1)补图见解析， (2)，见解析 【分析】（1）先作出图形，取的中点M，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理即可求解； （2）取的中点M，连接，延长至N，使，连接，延长交于P，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， 取的中点M，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 取的中点M，连接，延长至N，使，连接，延长交于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 7．(1)是等边三角形，理由见详解 (2)①见详解；② 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解； （2）①由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； ②由题意易得，，，则有，，过点作，作点关于的对称点，连接，如图，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的最小值即为线段的长，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 过点作，作点关于的对称点，连接，如图，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的最小值即为线段的长， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论； （2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理得到的长，即可得到的长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． （2）解：在和中， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 9．(1)是直角三角形，理由见解析 (2)一辆货车从处经过点到处的路程是 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用等知识． （1）利用勾股定理逆定理判断即可． （2）先根据三角形面积计算出，再根据勾股定理求出，再计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∵， ∴，， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ． 在中，， 一辆货车从处经过点到处的路程． 故一辆货车从处经过点到处的路程是． 10．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，同底等高面积相等，平行线间的距离，勾股定理等知识： （1）根据“”可作，使得和全等； （2）过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰． 【详解】（1）解：如图，即为所作： 由图，得， ∴． （2）如图，等腰即为所作． 11．(1)，，； (2)； (3)添加或． 【分析】本题考查了旋转定义与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转定义即可求解； （）通过勾股定理得，由旋转性质可得，然后由线段和差即可求解； （）根据“一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定方法即可求解． 【详解】（1）解：根据旋转定义可得，旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴， 由旋转性质可得， ∴； （3）解：添加， 由旋转性质可得， ∵， ∴是等边三角形； 添加， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 12．(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理是解题的关键． 借助网格作出与对应边相等的三角形即可； 分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点使得； 把点向左平移格，得到，把点向右平移格，得到，即可得到符合要求的三角形． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格作出与对应边相等的三角形即可； （2）解：如下图所示，分别作线段、的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点使得； 下图点即为所求： （3）解：如下图所示，把点向左平移格，得到， 由图可知、，， ， 的周长是，面积是； 把点向右平移格，得到， 由图可知、，， ， 的周长是，面积是； 点为所求作点． 13．(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）分别过点作，垂足分别为，由题意易得，则有，然后可得，则有，同理可得，进而通过证明可得答案； （2）分别过点作，垂足分别为，由题意易得，，则有，同理可得：，然后根据割补法可求解面积． 【详解】（1）证明：分别过点作，垂足分别为，如图所示： 在正方形，中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴G为的中点； （2）解：分别过点作，垂足分别为，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“边角边”证明即可； 对于（2），先根据勾股定理求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴． ∵， ∴． ∵等腰， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2)的长为16． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． （）根据垂直定义可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质得，再根据中点定义得，再证明，根据全等三角形的性质得出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为16． 16．（1）；（2）①图形见解析；②3；（3）19 【分析】（1）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理分别画出，即可； （3）利用构图法求解即可． 【详解】解：（1）的面积； （2）①如图，即为所求； ； ②的面积； （3）如图所示， ∴六边形的面积 ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是熟练掌握勾股定理，结合网格求得三角形的面积是解题的关键． 17．(1) (2)元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，分别算出和的面积即可得出四边形空地，减去小路面积即可得出绿化面积进而求出绿化需要费用． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 在中， 即 ． ∴ 小路的面积    答：小路的面积． （2）∵，， ∴，即：， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 需要绿化面积为 小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元 答：小区要完成这块空地绿化，预计需要花费元． 18．(1)； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：；． （2）解：，理由如下， ∵在中，，， ∴， 同（1）可证，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即， ∴． 19．(1) (2)八（1）班方案所需费用为1440元，八（2）班方案所需费用为1728元；八（1）班方案更划算 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三线合一是解题的关键： （1）三线合一，结合勾股定理进行求解即可； （2）等积法求出，的长，再根据总价等于单价乘以长度，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 答：的长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由题意，八（1）班方案所需费用为（元）； 八（2）班方案所需费用为（元）； 故八（1）班方案更划算． 20．(1)1 (2) (3)图见解析 【分析】本题考查了正方形的四边相等，掌握全等的性质是解题的关键． （1）根据全等的性质可得，，进而即可得解； （2）由图可得，，则，，进而即可求解； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：∵将正方形分割成四个全等的四边形， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：1； （2）解：由图可得，， ∴， ∴， ∴正方形的边长 ， 故答案为：； （3）解：如图所示： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $