精品解析：山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025级高一期中测试数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交运算即可求解. 【详解】，， 则. 故选：D 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可； 【详解】因为，所以或， 则可以推出，但不能推出． 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入点坐标求出解析式再代入值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即， 所以，则. 故选：D. 4. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 7. 已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将恒成立问题转化为求函数最值，再利用基本不等式求函数最值，最后解关于实数的不等式即可. 【详解】因为恒成立，所以. 又因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以 故选：A 8. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，把不等式的恒成立转化为“对任意的，恒成立”，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得为奇函数，且在上单调递增， 由恒成立，即恒成立， 又由， 所以，即， 把不等式的恒成立转化为“对任意的，恒成立”． 当时显然不成立， 当时，则满足，解得． 故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10. 若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由同域函数的定义，讨论选项中函数的定义域和值域即可. 【详解】对于A，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，A选项正确； 对于B，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，B选项正确； 对于C，对于函数，其定义域为，当时，，所以不是同域函数，C选项错误； 对于D，因为，由得， 所以的定义域与值域均为，所以是同域函数，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（ ） A. B C. 方程有3个实数根 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到判断B，利用赋值法求解零点个数判断C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可. 【详解】对于A：令,则，所以，故A正确； 对于B：令，， 所以，令，所以， 所以，所以为奇函数，故B错误； 对于C：令，所以，所以， 当时，所以，则， 当时，，所以，，又， 所以为奇函数，且定义域为，所以，又， 所以方程有3个实数根，故C正确； 对于D：由，， 又，若，则， 当时，所以，则，满足题意， 当时，，所以，，不满足题意， 当时，，， 又为奇函数，所以，满足题意， 当时，， 由为奇函数，所以，不满足题意， 所以，若，则或，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 13. 若不等式的解集为，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可得方程的两根，再利用根与系数关系可求得，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为：，得：， 即方程的两个根为和， 由根与系数的关系得，， 解得：，，所以：. 故答案为：. 14. ，若在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在定义域内单调递增即可得出，解出a的范围即可. 【详解】解：由于函数在和上递减，在的上递增， ∵在定义域内单调递增； ∴,解得； ∴实数a的取值范围为：. 【点睛】考查增函数的定义，二次函数和的单调性，复合函数的单调性，分段函数每一段的单调性需服从整体的单调性． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得（舍去）或， 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 已知函数. （1）求的定义域，并求，的值； （2）观察（1）中的函数值，请猜想具有的两个性质，并选择其中一个加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，代入求值，即得答案； （2）结合（1）的结果，猜测函数的奇偶性和单调性，结合定义，即可证明； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，结合指数函数性质以及解一元二次不等式，即得答案. 【小问1详解】 由，得，即函数定义域为， 则， ； 【小问2详解】 猜想性质1：为奇函数； 证明：函数定义域为， 则，故为奇函数； 猜想性质2：函数在定义域上单调递减， 证明：取， 则 ， 因为，故， 则，故， 即， 故在定义域上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知为奇函数，故即， 又在定义域上单调递减.， 故，解，即， 解，即， 解 得， 故的解集为. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. 【小问1详解】 在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为两根． 即的根，故，即存在“完美区间”. 【小问2详解】 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. 【小问3详解】 ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得,与a,b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 五、附加题：共10分． 20. 在中，，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先求，确定的取值范围，再利用两角和差的正余弦公式对变形整理，将分子和分母化成正弦型函数，令，分子分母同时除以，根据函数的单调性求出值域，求出答案. 【详解】因为，， 所以，所以，，， 因为，所以，且，且， 所以 因为，且，且， 所以，且，且 所以，且， 令， 所以， 令，易知在上是增函数， 所以在上单调递增， 所以， 故， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一期中测试数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 若，则大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A B. C D. 7. 已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（ ） A. B. C. 方程有3个实数根 D. 若，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 13. 若不等式的解集为，则的值为_______ 14. ，若在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2） 16. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 18. 已知函数. （1）求的定义域，并求，的值； （2）观察（1）中的函数值，请猜想具有的两个性质，并选择其中一个加以证明； （3）解不等式：. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 五、附加题：共10分． 20. 在中，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $