专题09 全等三角形模型之半角模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 5 15 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形，， ，E、B、N三点共线， ，，，，， ，，，， ；故答案为：； （2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，，E在上， 四边形是正方形，，， ，，，， ，，； （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ，， E、B、N三点共线， ，，，，． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究]． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 例2（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 例3（24-25七年级下·广东·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． （4）【实际应用】如图，海警船甲在指挥中心（处）北偏西的处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的处，并且两艘船到指挥中心的距离相等，可疑船只沿北偏东的方向以海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从点向正东方向以海里/小时的速度追击，两船前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达，处，且两船和指挥中心形成的夹角为，，此时甲、乙两船之间的距离DE为______海里． 【答案】（1） ；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3） ； （4） ． 【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）延长到点，使，连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“SAS”可证，可得，可得，即可求解； （4）由题意得，，，延长到，使，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）． 证明：延长到点，使，连接， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 又， ， ． ． ； （3）如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 的周长； （4）由题意得，，， ， 延长到，使， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， （海里），（海里）， （海里）． 例4（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）①5②（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差等内容，解题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． （1）①先根据条件证明，再证明即可； ②延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可； （2）延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可． 【详解】解：（1）①∵四边形为正方形， ， 又， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； ②如图延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ， 又∵， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 例5（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）的结论成立，证明见解析；（3）的周长为 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （1）延长线段到点，使，连接，证明，可得，，再证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，证明，可得，，可证明，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 3．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 4．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．（24-25八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 10．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析． 【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等， （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF 【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG， 在与中， ； （2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下， 证明：如图，延长CB到M，使BM=DF， 在与中 即 在与中 即 ； （3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下， 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， 在与中 ． 【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，． （1）求的度数； （2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）见详解 【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根据∠ECF＝45°，即可得出答案； （2）如图，连接DE，先证明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再证明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS证明△EFG≌△EDA，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵CA⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°−∠ECF＝45°； （2）△EFG是直角三角形，理由如下： 如图，连接DE， 由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°， ∵∠ACD＝∠BCF， ∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠ECD， 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴DE＝EF， 在△CAD和△CBF中， ， ∴△CAD≌△CBF（SAS）， ∴AD＝BF，∠CAD＝∠B， ∵FG＝BF， ∴FG＝AD， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°， 在△EFG和△EDA中， ， ∴△EFG≌△EDA（SSS）， ∴∠EGF＝∠EAD＝90°， ∴△EFG是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题． 12．（2024九年级·全国·专题练习）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF． 【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解； （2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解； （3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可． 【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下： ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠C=90°， ∵AB=BC，AE=CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴， ∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴， 故答案为：AE+CF=EF； （2）如图2，（1）中结论成立；理由如下： 延长FC到H，使CH=AE，连接BH， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCH=90°， ∴△BCH≌△BAE（SAS）， ∴BH=BE，∠CBH=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°， ∴∠HBC+∠CBF=60°， ∴∠HBF=∠MBN=60°， ∴∠HBF=∠EBF， ∴△HBF≌△EBF（SAS）， ∴HF=EF， ∵HF=HC+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF； （3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下： 在AE上截取AQ=CF，连接BQ， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCF=90°， ∵AB=BC， ∴△BCF≌△BAQ（SAS）， ∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ， ∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE， ∴∠CBE+∠ABQ=60°， ∵∠ABC=120°， ∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN， ∴∠FBE=∠QBE， ∴△FBE≌△QBE（SAS）， ∴EF=QE， ∵AE=QE+AQ=EF+CF， ∴AE=EF+CF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 13．（24-25八年级下·广东广州·期末）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【答案】（1）全等，理由详见解析；（2）5 【分析】（1）由题意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，进而问题可求解． 【详解】解：（1）全等．理由如下 ∵∠D＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝90°＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△GAB≌△FAD（ASA）； （2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF， ∴∠GAB+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS） ∴EF＝GE ∵△GAB≌△FAD， ∴GB＝DF， ∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：；          （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）延长到点G,使，连接，首先证明，则有，，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证； （2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点，根据轴对称的性质有，，当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可； （3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使，连接， 在和中， ． ，， ，， ． ， 在和中， ． ，； （2）解：如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点． 由对称的性质可得，， 此时的周长为． 当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值． ， ． ，， ； （3）解：如解图，旋转至的位置， ， ，． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 16．（2024九年级·全国·专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 【答案】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题； （2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ， ∴是等边三角形，，则， ∵是顶角的等腰三角形， ， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ，， ∴的周长． （2）如图，延长至点，使得，连接， ∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ∵， ， 在和中， ． ， 又∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 【答案】见解析． 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得GD=BE，AG=AE，∠DAG=∠BAE，然后求出∠FAG=∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG，即可得出结论． 【详解】如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合． ∴，． ∵． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形． 18．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 【答案】（1）DF；（2）见解析 【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法； （2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在△AGE和△AFE中0 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴GE=EF， ∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型． 19．（2024年级·全国·专题练习）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）CM＝AN+MN，详见解析；（2）CM＝MN﹣AN，详见解析 【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论； （2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答． 【详解】解：（1）CM＝AN+MN， 理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD， ∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OA＝OC， 在△CDO和△ANO中， ， ∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∵∠MON＝60°， ∴∠COD+∠AOM＝60°， ∵∠AOC＝120°， ∴∠DOM＝60°， 在△DMO和△NMO中， ， ∴△DMO≌△NMO， ∴DM＝MN， ∴CM＝CD+DM＝AN+MN； （2）补全图形如图2所示： CM＝MN﹣AN， 理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD， 在△CDO和△ANO中， ， ∴△CDO≌△ANO（SAS） ∴OD＝ON，∠COD＝∠AON， ∴∠DOM＝∠NOM， 在△DMO和△NMO中， ， ∴△DMO≌△NMO（SAS） ∴MN＝DM， ∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理． 20．（2024九年级·全国·专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 21．（24-25八年级上·黑龙江伊春·期末）如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1）AE+CF=EF，证明见解析；（2），理由见解析. 【分析】（1）由题干中截长补短的提示，再结合第（1）问的证明结论，在第二问可以用截长补短的方法来构造全等，从而达到证明结果． （2）同理作辅助线，同理进行证明即可，直接写出猜想，并证明． 【详解】（1）图2猜想：AE+CF=EF， 证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D， ∵∠DAB=∠BCD=90°， ∴∠DAB=∠DCA'=90°， 又∵AD=CD，AE=A'C， ∴△DAE≌△DCA'（SAS）， ∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC， ∵∠ADC=120°， ∴∠EDA'=120°， ∵∠EDF=60°， ∴∠EDF=∠A'DF=60°， 又DF=DF， ∴△EDF≌△A'DF（SAS）， 则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE； （2）如图3，AE+CF=EF， 证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D， ∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180° ∴∠DAB=∠DCA'， 又∵AD=CD，AE=A'C， ∴△DAE≌△DCA'（SAS）， ∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC， ∵∠ADC=2α， ∴∠EDA'=2α， ∵∠EDF=α， ∴∠EDF=∠A'DF=α 又DF=DF， ∴△EDF≌△A'DF（SAS）， 则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE． 【点睛】本题是常规的角含半角的模型，解决这类问题的通法：旋转（截长补短）构造全等即可，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 22．（25-26八年级上·四川·阶段练习）（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，则可证明，得到；进一步证明，得到，则可证明，再根据三角形周长计算公式求解即可； （2）延长到H，使得，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明； （3）延长到G，使得，连接，证明，得到；再证明，得到；根据周角的定义可推出，即． 【详解】解：（1）如图所示，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：；； （2）如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 25．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接， …… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2 【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论； （2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论； ②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8． 【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵绕点旋转至， ∴ ∴，，， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）①如图2， 由题意： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ②的周长不随时间的变化而变化， 如图3，延长到，使，连接， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 在和 中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4 ∴的周长 ∴的周长是定值8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 5 15 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    例2（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 例3（24-25七年级下·广东·阶段练习）（1）如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． （4）【实际应用】如图，海警船甲在指挥中心（处）北偏西的处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的处，并且两艘船到指挥中心的距离相等，可疑船只沿北偏东的方向以海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从点向正东方向以海里/小时的速度追击，两船前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达，处，且两船和指挥中心形成的夹角为，，此时甲、乙两船之间的距离DE为______海里． 例4（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 例5（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 3．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 4．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 7．（24-25八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 8．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 10．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系； （3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，． （1）求的度数； （2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 12．（2024九年级·全国·专题练习）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 13．（24-25八年级下·广东广州·期末）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 15．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：；          （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 16．（2024九年级·全国·专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 17．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 18．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 19．（2024年级·全国·专题练习）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系． 方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题； 问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明； （2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明． 20．（2024九年级·全国·专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 21．（24-25八年级上·黑龙江伊春·期末）如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 22．（25-26八年级上·四川·阶段练习）（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 23．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 24．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接， …… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 26．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $