专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于，则， ∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， ∵，，∴，∴米，，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴米，即此时甲、乙两人的距离为米．故答案为：50． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1)(2)见解析；(3)平方米． 【详解】（1）解：平分，，， 又，，故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， 平分，，，， 又，，，，， ，，； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，，，米， 和是等高三角形，米，， 面积为20平方米，平方米，平方米， 答：划出的的面积为平方米． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若的面积为70，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）证明即可得到结论； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵的面积为70， ∴， ∴． 例2（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 例3（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，已知，，，是的角平分线，于点D，证明：的周长等于的长． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用角角边证明三角形全等是解题的关键． 先证，根据全等三角形的性质可得，再结合可得；再将的周长转化为，进而证明结论． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴，     ∵， ∴， ∴的周长． 例4（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且. (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证，即可得出结论； （2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：设， ， ，， 则， 在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，在中，， ， ， ， ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明和是解题的关键． 例5（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2）∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积等知识，延长交于点E，可证明得，从而得出，，可得从而可求出的面积． 【详解】解：延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 例2（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 例3（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 例5（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接． (1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________； (2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系； (3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，得到，即可解答； （2）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可． （3）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可． 【详解】（1）∵是的角平分线， ∴， ∵, ∴ 在和中： ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵, ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 延长、交于点，如图所示： 由（2）同理可证：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴∴， ∵∴∴ ∵∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴∴∵∴． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴． （3）解：，证明如下：如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：，∴， ∵对角线平分，，∴， ∴是等边三角形，∴，又∵，，∴． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 【答案】（1）（2）详见解析（3） 【详解】（1）证明：射线平分，， 又，，，，故答案为：； （2）证明：在上截取，连接，如图2所示： 平分，，又，， ，，，，，， 又，，，，， ，； （3）解：在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，如图3所示： 是边的中点，，， 平分，，又，， ，，．同理可证：， ，，，，， ，，， ，是等边三角形，，． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 【答案】B 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于， 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ，即； ∵， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，BD是△ABC的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则∠CDE的度数为（    ） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=100，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：∵∠ABC=30°，∠C=50°， ∴∠BAC=100°． ∵BD是△ABC的角平分线， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由题易得平分，进而根据得到，所以，进而再根据角平分线构造全等，在上截取，证，进而得，然后利用线段的和差运算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，在上截取， 是和的角平分线的交点， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图1，在中，，是角平分线，，相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，，分别是角平分线和边延长线上的点，，．证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理得，据此计算即可求证； （3）连接，利用证明，推出，由角平分线的定义可得，进而根据三角形内角和定理即可求证． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ； （3）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，，D、E分别为、上的点，且、交于点F．若、为的角平分线． (1)若，的度数为______． (2)请用含α的代数式表示． (3)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线和三角形内角和定理得到，代入数据求解即可； （2）根据角平分线得到，由三角形内角和定理可得，然后再由三角形内角和定理的，再代入求解即可； （3）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵ ∴由（2）得， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②；证明过程见详解 【分析】本题考查三角形全等（）、角平分线性质及直角三角形内角和，解题思路是通过角的推导证明三角形全等，将线段转化后推导关系；解题关键是利用角平分线和角度关系构造全等三角形，易错点是忽略角度等量代换及全等条件的验证． （1）由角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解. （2）①根据题意画出图形即可.②过点作于 ，于，于,得四边形是正方形,再利用全等三角形的判定和性质即可求解. 【详解】（1）解：在 中，，故 因为 是角平分线， 所以， 则 （2）解：①如图所示： ②之间的数量关系为 证明：过点作于 ，于，于 又∵、是角平分线，是角平分线交点，故（角平分线性质）； 由得四边形是正方形，故； 设，因为则，； 在和中： 因为，，所以； 则； 同理可证：，则 因为，；所以; 因为,且共线， 则, 所以，即； 故答案为． 7．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，都是的角平分线，相交于点O，且． (1)求证； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由（1）知，可得，再根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵都是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义，即可求得； （2）先求出，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． （3）由，，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 、分别平分、， ，， ， ； （2）证明：， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3），， ∴， ∴， 9．（24-25七年级下·山东青岛·期中）是的角平分线，是的高． (1)如图，，，求； (2)若，，则_____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）行三角形内角和求得，再由三角形角平分线定义求得，然后由直角三角形两锐角互余求得，即可由求解． （2）分三种情况：①当在内部时，求得，②当在外部时，求得；③当是的边时，，求得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵是的高． ∴ ∴ ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高． ∴， ∴， ∴， ①当在内部时，如图， ∴， ∴； ②当在外部时，如图， ∴； ③当是的边时，即点E与点D重合，如图， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形角平分线、高，三角形内角和定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理和分类讨论是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 【答案】(1)证明详见解析； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质； （1）证明即可得证； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，和的角平分线的交点恰好落在边上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 如图，在上截取，使，连接，证明，则，由，可得，同理，则，由，可得，进而可证． 【详解】证明：如图，在上截取，使，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，已知为的角平分线，延长到E，使得，连接，若，且． (1)求证：平分； (2)求的取值范围； (3)若延长相交于点H，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)60° 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）在上截取，连接，证明，得到，进而证明，即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，，即可得出结果； （3）根据等角的补角相等，对顶角相等，全等三角形的对应角相等，推出，根据周角为，平角为，推出，，进而得到，即可得出结果． 解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）中，角平分线，相交于点O． (1)如图1，已知，．求的度数； (2)如图2，若．求证：； (3)如图3，若．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和： （1）根据角平分线的定义得，，结合三角形内角和，列式即可作答； （2）由三角形内角和和角平分线的定义，得，再由等边对等角，得，因为三角形内角和，所以，即可作答； （3）在上截取，连接，根据角平分线以及三角形内角和，证明，然后再证明，根据全等三角形的对应边相等，即可作答； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵中，，是角平分线， ∴， 在中，． （2）证明：由（1）知， 则 ∴ ∵ ∴ 即， ∴； （3）证明：在上截取，连接，如图所示： 由（2）可知，，， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 则 又∵平分， ∴ 由， ∴， ∴， 即． 14．（24-25七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ， ， ； 应用：延长、交于点，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，在角平分线上任取一点，连接，则，且它们关于所在直线对称． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点． ①的度数为___________． ②请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点A重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①，②，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可求是的外角，根据外角的性质计算求解；根据图的作法，在上截取，则；根据证明≌，得，故判断； 在的延长线上，截取，使，连接，判定≌，即可得到，进而得出，再根据，可得． 【详解】（1）解：①如图2，． ， ∵、分别是和的平分线， ． ． 故答案为：； ②，理由如下： 如图，在上截取，连接． 是的平分线， ， 在和中， ， ≌， ， ． 又， ， 在和中， ， ≌， ． ． （2）． 如图所示，在的延长线上，截取，使，连接， 是的角平分线， ， 又， ≌， ， ， 是射线上的一个动点， ， ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正确构造全等的三角形，理解两个小题之间的联系是本题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过D点作于E点，于F点，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过D点作于E点，于F点，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据“”判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 过D作于点E，作交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （3）过D作交延长线于点M，作于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． (2)【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． (3)【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)16 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用，证明，即可得证； （2）证明，得到，证明，得到，根据，根据线段的转化，进行求解即可． （3）过点作，得到，根据三角形内角和定理，推出，进而得到：，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）解：过点作，交于点， ∵平分交于点D，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19．（24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）①3；②6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 20．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ 【答案】[类比解答]；[拓展延伸]，证明见解析；[实际应用]的面积是10 【分析】[类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证，得，再由[问题情境]可知，，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】解：[类比解答] 如图2，延长交于点， ∵平分，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：； [拓展延伸] ，证明如下： 如图3，延长、交于点， 则，                       ， ， ， ， 又， ，            ， 由[问题情境]可知，，， ； [实际应用] 如图4，延长交于， 由[问题情境]可知，， ∴，， ， ∵， ， ， 答：的面积是10． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 21．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线． (1)求证：． (2)求证： (3)如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形面积比与线段比的关系及角平分线定理的拓展应用，运用面积法、比例推导思想； （1）（2）通过作高结合面积公式和角平分线性质证明比例关系； （3）利用角平分线定理及线段比例推导，解题关键是熟练运用面积法和角平分线定理，易错点是比例推导时的逻辑或公式应用失误． 【详解】（1）证明：如图，过分别作于点，于点. ，. 在和中，，. 而（已证），. （2）证明：设在边上的高为， 则，，. 又由（1）知，，. （3）解：. 在上截取，，使得，. 设，， 对角线、相交于点，且分别平分和 ，， ，，，， ，. 平分，，，. 平分，，. 平分，. 22．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 23．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 （24-25七年级下·山东青岛·期末） 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． （24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则．(1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，，求证：． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点作交于点．已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若的面积为70，，，求的长． 例2（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 例3（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，已知，，，是的角平分线，于点D，证明：的周长等于的长． 例4（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且. (1)求证：； (2)求证：； 例5（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．14 例2（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 例3（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 例4（24-25七年级下·江西吉安·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 例5（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接． (1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________； (2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系； (3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1（24-25山东·八年级专题练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25四川广元·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，射线平分，在射线，上分别截取线段．；使；在射线上任取一点D，连接，．则与的数量关系为______． （2）如图2，在中，，平分，求证：； （3）如图3，在四边形中，，，，C为边中点，若平分，平分，，求的值． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为（  ） A． 10   B．12.5 C．17.5 D．25 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，BD是△ABC的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则∠CDE的度数为（    ） A．50° B．45° C．40° D．35° 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，和的角平分线交于点，若，，则点与点的距离为 ． 4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图1，在中，，是角平分线，，相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，，分别是角平分线和边延长线上的点，，．证明：． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，，D、E分别为、上的点，且、交于点F．若、为的角平分线． (1)若，的度数为______． (2)请用含α的代数式表示． (3)若，，，求的长． 6．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，，的角平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)点在的延长线上，连接交于点．若满足． ①依题意补全图形； ②写出线段之间的数量关系，并证明． 7．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，都是的角平分线，相交于点O，且． (1)求证； (2)若，求的度数． 8．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 9．（24-25七年级下·山东青岛·期中）是的角平分线，是的高． (1)如图，，，求； (2)若，，则_____． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 11．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，和的角平分线的交点恰好落在边上，，求证：． 12．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，已知为的角平分线，延长到E，使得，连接，若，且． (1)求证：平分； (2)求的取值范围； (3)若延长相交于点H，求的度数． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）中，角平分线，相交于点O． (1)如图1，已知，．求的度数； (2)如图2，若．求证：； (3)如图3，若．求证：． 14．（24-25七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    15．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，在角平分线上任取一点，连接，则，且它们关于所在直线对称． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点． ①的度数为___________． ②请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点A重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 18．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． (2)【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． (3)【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 19．（24-25七年级下·山西运城·期末）问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 20．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ 21．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线． (1)求证：． (2)求证： (3)如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为______． 22．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 23．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $