专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 例2（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 例4（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 例5（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 模型2.截长补短模型 例1（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，平分，． (1)若的面积为3，，求的长． (2)若，求证：． 例2（25-26八年级上·全国·期中）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 例3（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 例4（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图， ，平分，平分，点在上，求证：． 例5（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为(　　) A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，中，，，，为边的中点，则 ． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）． 11．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 12．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 13．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 14．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日  星期五今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则边上的中线的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点．使，连接，可证得，进而可求得中线的取值范围． 该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边，为边分别向外作等腰和等腰，其中，，．是的中点，连接，．当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是__________． (2)图1中，的取值范围是__________． (3)求图2中的长． 15．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 16．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 17．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 18．（24-25八年级上·吉林·期中）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 19．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数．   ∵平分， 20．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 21．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 22．（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 23．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 例2（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 例4（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据证明； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：延长 到点， 使 连接， 是 的中点， ， 在 和  中， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，延长 交 的延长线于点，    ，， ，      是 的中线， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 例5（25-26八年级上·广东汕头·阶段练习）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）6；（3）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）过点D作，根据全等三角形的判定和性质得出，，求解即可； （3）证明，得出；延长，截取，连接，证明，得出，，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型2.截长补短模型 例1（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，平分，． (1)若的面积为3，，求的长． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）过点作于点，证明，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 平分， ， ，， ， ， 的面积为3， ， ； （2）证明：由（1）可知，， ， ，， ， ，， ， ， ． 例2（25-26八年级上·全国·期中）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 例3（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE． 【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得，，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG，进而证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，再结合等腰三角形的性质可证明，最后根据全等三角形的性质解题即可； （2）在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明得到，据此方法再证明，最后根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】（1）和是等腰三角形， 延长AB至G，使得BG=CF，连接DG 在和中， BG=CF， ， 在和中， DE=DE， ， （2）在CA上截取CG=BE,连接DG 是等腰三角形， 在和中， CG=BE， 在和中， FD=FD， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 例4（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图， ，平分，平分，点在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及角平分线定义等知识，在上取点，使，连接．利用全等三角形的性质证明即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】证明：在上取点，使，连接，如图所示： 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ． ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， 例5（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（    ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论． 【详解】解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD 又∠BDE=∠CDA ∴△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=3 由三角形三边关系得， 即： 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可． 【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数． 【详解】如图，在AC上截取AE=AN， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， 在△AME与△AMN中， ， ∴△AME≌△AMN（SAS）， ∴ME=MN． ∴BM+MN=BM+ME， 当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小， ∴MN⊥AB ∵∠BAC=68° ∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°， ∴∠BMN=180°-112°=68°． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，中，，，，为边的中点，则 ． 【答案】 【分析】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到使，连接，如图所示： 在和中， ， ≌， ，， ， 在中，， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 【答案】；；；；；； 【分析】本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴①， 在和中， ②，，． ∴（③）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 故答案为：；；；；；；． 12．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 13．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由平行四边形的判定定理可得出答案； （2）延长到点F．使．连接，．证明四边形是平行四边形． 从而可证得四边形是矩形，由矩形的性质得到，继而可得出结论． （3）延长到点N，使，连接，．证明四边形是平行四边形．得到，．从而有．再证明，得出，继而可求解． 【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）证明：如图，延长到点F．使．连接，． ∵点E为的中点． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵． ∴． ∴． （3）解：如图，延长到点N，使，连接，． ∵点M是的中点， ∴． 又∵． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∵四边形和四边形都是正方形 ∴，．． ∴，． ∴． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明，直角三角形斜边 中线等于斜边的一半性质的证明，全等三角形的判定与性质． 本题是四边形综合题，熟练掌握“倍长线段法”是解题的关键． 14．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日  星期五今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则边上的中线的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点．使，连接，可证得，进而可求得中线的取值范围． 该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边，为边分别向外作等腰和等腰，其中，，．是的中点，连接，．当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是__________． (2)图1中，的取值范围是__________． (3)求图2中的长． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，进而可得出答案； （2）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得． 【详解】（1）解：如图1，延长至点E，使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至点E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为； （3）解：如图，延长至点G，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及四边形内角和，等腰三角形的判定和性质，利用倍长法作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）思路1：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；思路2：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：思路1：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 思路2：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 16．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 【答案】(1)B (2)C (3)见解析 【分析】（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到F，使，连接，证明， 得出，，证明，得出，证明即可． 【详解】（1）解：是中线， ， 在与中， ， 故选：B； （2）解：由知：， ，， 由三角形三边之间的关系可得：， 即， 解得：， 故选：C； （3）证明：延长到F，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在与中， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，平行线的判断和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理． 17．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·吉林·期中）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 19．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【详解】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 22．（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 23．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，见解析 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； （2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $