专题10 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互 补模型(90°+90°型对角互补模型、120°+60°型对角互补模型、+(180°-)型对角互补模型)进行梳理 及对应试题分析，方便掌握。 目录导航 例题讲模型 1 模型来源 1 真题现糢型… 提炼模型 4 模型运用… ,6 模型1.全等模型-对角互补模型(90°+90°) 6 模型2.全等模型-对角互补模型(60°+120°） …11 模型3.全等模型-对角互补模型(a+180°-a) 15 习题练模型 4.20 例题讲模型 模型来源 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对 角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何 本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” 1/94 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 真题现模型 (2425八年级上吉林校考期末)如图，己知∠DCE与∠A0B,OC平分∠A0B. (1)如图1，∠DCE与∠A0B的两边分别相交于点D、E,∠A0B=∠DCE=90°，试判断线段CD与CE的数 量关系，并说明理由 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD=CE. 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC,交OB于点F,则0CF=90°， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分.(2)若∠A0B=120°，∠DCE=60°. ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，写出线段OD、OE、OC的数量关系-； ②如图4，∠DCE的一边与A0的延长线相交时，写出线段0D、OE、OC的数量关系-： 若0D:0C=2:5,△OCD的面积为a,则△OCE的面积=-（用含a的代数式表示）. -B E FB E B 图1 图2（备用） 图3 图4 【答案】四见详解2)0E+0D=0C,0E-0D=0C,召 【详解】(1)解：过点C作CF⊥0C,交OB于点F,如图，则L0CF=90°， 02 F B 图1 :0C平分∠A0B,∠1=∠2=45°， ∠3=90-∠2=45°，.∠1=L2=∠3,0C=FC, 又∠4+∠5=∠6+∠5=90°，.∠4=∠6， ∠1=∠3 在△CDO与△CEF中， OC=FC.ACDO≌△CEF(ASA),CD=CE. ∠4=∠6 (2)①0E+OD=0C,理由如下：方法一：过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N,如图， 2/94 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠CMD=LCNE=90°，又：OC平分∠A0B,∴CM=CN, 在四边形0DCE中，∠A0B+∠DCE+∠1+∠2=360°， 又：∠A0B+∠DCE=60°+120°=180°，∠1+∠2=180°，又：L2+∠3=180°，∠1=∠3， ∠1=∠3 在△CMD与△CNE中， ∠CMD=∠CNE,∴.aCMD≌△CNE AAS,.CD=CE,DM=EN. CM=CN .OE+0D=0E+OM +DM =0E+0M+EN =ON +0M. 在R1△CM0中，∠4=90°-∠5=90°-∠A0B=30°， “0M=0C,同理0N=0C,0E+0D=0C+0C=0C. 方法二：以CO为一边作∠FC0=60°，交OB于点F,如图， :0C平分∠A0B,∠1=L2=60°，.∠3=180°-∠2-∠FC0=60°， :∠1=∠3，∠3=∠2=∠FC0,△C0F是等边三角形，C0=CF, :LDCE=∠4+∠5=60°，∠FC0=∠6+∠5=60°，.∠4=∠6， 「∠1=∠3 在△CDO与△CEF中， CO=CF..ACDOCEF ASA), ∠4=∠6 .CD=CE,OD=EF..0E+0D=0E+EF=OF=0C. ②有0E-0D=0C结论成立.以0C为一边，作L0CF=60°与OB交于F点，如图， :∠A0B=120°，0C为∠A0B的角平分线，.∠C0B=∠C0A=60°， 又：∠0CF=60°，.aC0F为等边三角形.0C=0F, :L0CF=LOCD+LDCF=60°，LDCE=LDCF+LFCE=60°，L0CD=LFCE, 又：∠C0D=180°-∠C0A=180°-60°=120°，∠CFE=180°-∠CF0=180°-60°=120°， :∠COD=∠CFE,aCOD≌aCFE(ASA),CD=CE,OD=EF, .0E=0F+EF=0C+0D,即0E-0D=0C. 过点C作CM⊥OA,CN⊥OB垂足分别为M,N,如图，则LCMD=LCNE=90°， 3/94 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：0C平分∠AOB,CM=CN,设0D=2x, 0D:0C=2:5,∴0C=5x,则0E=0C+0D=7x, S.c-OD-CM-a,S.o-OE-CN, _7a E=0Cw=7,则soc2 S.OCD 提炼模型 1.全等模型-对角互补模型(90°+90°) 1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） NE B 条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②Sce=S.c0E+S.cD=)0C2, 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又.∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;.CD=CE, _10C2 AMCDANCE,SAMCD-SANCE SODCE=S.ONCD+.CNE=S.ONCD+S.CMD=S.ONCM=7 2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 0 B OK B O FEB 0 D 条件：如图，己知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②S.coE-S.coD=0C2. 2 证明：过点C作CM⊥OD,CW⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，∴.∠MCD=∠NCE,.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE, 0c2 AMCDANCE,SAMCD-SANCE S.COE-S.cOD=S.CNE+S.coN-(S.CMD-S.CMO)=S.coN+S.CMo= 4/94 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.全等模型-对角互补模型(60°十120°) 1)“等边三角形对120°模型”（1) 条件：如图，己知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②OD十OE=OC。 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又：∠AOB=2∠DCE=120°，.∠AOB+∠DCE=180°，.∠CDO+∠CE0=180°， ,'∠CDO+∠CDM=180°，∴.∠MDC=∠CEO,∴.△MCD≌△NCE;.CD=CE,MD=WE, :OC平分∠AOB,÷∠CON=∠COM=60°，：ON-OM=0C,C-MC 2 又.'OE+OD=ON+NE+OM-DM,∴.OE+OD=ON+OM=OC, 2)“等边三角形对120°模型”(2) 条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB,∠DCE的一边与BO的延长线交于点D,. 结论：①CD=CE,②OD-OE=OC. 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=2∠DCE=120°，∴.∠AOB+∠DCE=180°，∠AOB+∠MCW=180°，.∠DCE=∠MCN=60 '.∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE,∴.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE, :OC平分∠AOB,:.∠CON=∠COM=60°，.ON=OMOC,NCMC 又，OD-OE=OM+DM(NE-ON),∴.OD-OE=ON+OM-OC, 3.全等模型-对角互补模型(a十180°-a) 1)“a对180°-a模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 M M 图1 图2 证明：过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,.∠AEP=∠BFP-90°， 5/94 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE-180°，.∠EAP=∠B。 AP=BP,.△PAE≌△PBF,.PE=PF,∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP,②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB,以上三个条件可知二推一。 2)“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补) 条件：AP=BP,∠AOB=∠APB,结论：OP平分∠AOB的外角。 P 0 B 图3 A 图4 证明：过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,.∠AEP=∠BFP=90°，：∠AOB=∠APB,∴.∠A=∠B。 ,AP=BP,∴.△PAE≌△PBF,.PE-=PF,.OP平分∠AOB。 模型运用 模型1.全等模型-对角互补模型(90°+90°) 例1(25-26八年级上·重庆阶段练习)(1)用直尺和圆规，以AD为边在四边形ABCD外部作 ∠DAF=∠BAC,延长CD交AF于点E(要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论)： (2)已知：如图，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AG⊥CD于G,AG=5,BC=3,S图边形HBCD=25,求CD的 长 证明：：∠BAD=∠BCD=90 ∠B+① =180°， 而∠ADC+② _=180°， ∠B=∠ADE, 在ABC与ADE中 ∠B=∠ADE AB=AD ∠BAC=∠DAE △ABC≌△ADE(ASA, :③ 又：AG=5,AG⊥CD, 6/94 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S四边形HBCD=S.ABc+SAcD=S.4DE+SACD=S.ACE=25, ce46=25 CE=④ :CE=CD+DE=CD+⑤ CD=⑥ D 【答案】(1)见详解；(2)见详解 【分析】该题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作图. (1)根据题意作图即可. (2)证明△ABC≌△ADE(ASA),得出BC=DE,根据S四边形4BcD=S4CE=25,求出CE=10,即可求解. 【详解】(1)解：如图，即为所求。 B D (2)证明：：∠BAD=LBCD=90°， ∠B+①∠ADC=180°， 而∠ADC+②∠ADE=180°， LB=∠ADE, 在ABC与ADE中 ∠B=∠ADE AB=AD ∠BAC=∠DAE 7194 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AABC≌△ADE ASA, :③BC=DE, 又：AG=5,AG⊥CD, .S西边形4BcD=S.ABc+S.4CD=S.ADE+S。4cD=S.4CE=25, .CE.AG=25, CE=④10， :CE=CD+DE=CD+⑤BC, CD=⑥Z. A E 例2(25-26八年级上重庆阶段练习)【初步探索】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=LADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 BE+FD=EF,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系， 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明aAEF≌△AGF,可得出结论，他的结论是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,LB+∠ADC=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 BE+FD=EF,上述结论是否仍然成立，请说明理由. 【拓展延伸】 (3)己知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3，仍然满足BE+FD=EF;若∠C=66°，直接写出∠EAF的度数. 8/94 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E E 图1 图2 图3 【答案】(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF;(2)成立，理由见解析；(3)∠FAE=123° 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和等知识，正确添加辅助线，构造全等 三角形成为解题的关键】 (1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出 ∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠AF=∠BAE+∠DAF, 据此即可得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠B=∠DAG,AE=AG, 再判定△AEF≌△AGF得出LEAF=LGAF=∠DAG+∠DAF=LBA+LDAF: (3)先根据四边形的内角和以及己知条件可得∠DAB的度数，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE, 连接AG,先判定△ADG≌△ABE,再判定△AEF≌△AGF得出∠FAE=∠FAG,最后根据 LFAE+LFAG+LGAE=360°，推导得到2LFAE+∠DAB=360°，然后将∠DAB代入计算即可. 【详解】解：(1)如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G D 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90°， BE=DG ∴△ABE≌△4DG(SAS, AE=AG,∠BAE=LDAG, EF BE+DF, .EF=DF +DG=FG, 9/94 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AEF和△AGF中， 「AE=AG AF=AF, EF=GF △AEF≌△AGF(SSS), :∠EAF=LGAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, 故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF: (2)成立，理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G B E :∠ADG+∠ADF=180°，∠B+∠ADC=180°， ∠B=LADG, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG, BE=DG ∴△ABE≌△ADG(SAS, :AE AG Z BAE Z DAG 在△AEF和△AGF中， 「AE=AG AF=AF, EF=GF △AEF≌△AGF(SSS), ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, 故上述结论仍然成立； 10/94 专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°+90°型对角互补模型、120°+60° 型对角互补模型、 α+（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 6 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 11 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 15 20 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” （24-25八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 例1（25-26八年级上·重庆·阶段练习）（1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）： （2）已知：如图，于，求的长． 证明： ①___________， 而②___________， ， 在与中 ， ， ③___________， 又， ， ④___________， ⑤___________， ⑥___________． 例2（25-26八年级上·重庆·阶段练习）【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3，仍然满足；若，直接写出的度数．    例3（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 例4（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 例5（24-25七年级下·四川达州·期末）问题发现：如图1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．探究发现PE=PF(可以这样想：作PMOA于点M，PNOB于点N，易得PM=PN，∠PME=∠PNF=90°，∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN，所以△PNM△PNF，所以PE=PF) 变式拓展：如图2，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF=60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F． (1)PE与PF还相等吗？请说明理由； (2)试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 例1（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 例4（24-25八年级上·全国·期末）【问题引领】 （1）问题：如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明≌，再证明≌．他得出的正确结论是___________． 【探究思考】 （2）问题：如图，若将问题的条件改为：四边形中，，，，问题的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）问题：如图在问题的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，则问题的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段、、之间存在什么样的等量关系？并说明理由． 例5（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 例1（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在四边形中，过点作于点，且，． (1)若，，求的长； (2)若和的面积分别为和，求的面积． 例2（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：如图，平分，． (1)若的面积为3，，求的长． (2)若，求证：． 例3（25-26八年级上·北京·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：． 例4（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在四边形中，，．E、F分别是边、上的点． (1)若，，在“求证：”的过程中，嘉琪发现此题可以利用转化思想解决，并给出了下面的框图（部分内容省略）． 第一步：延长至点，使，连接， …… ∴，→① 第二步：由全等的性质可知， …… ∴？°→② 第三步：…… ，得出． ， ． 上面的框图中，过程①的判定依据是_____（用字母表示）；过程②“？”处应填_____； (2)若．请探究、、之间的数量关系； (3)如下图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，则（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 例5（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 1．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在四边形中，，．若，则的长不可能是（     ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，平分，，则下列结论中正确结论的序号是 ． ① ② ③ ④ 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系． 实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离 ． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，点E，F分别是上的点，且，连接．延长到点G，使，连接AG．若，则的度数为 °．    7．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在四边形中，，．求证：． 8．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 9．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知在四边形中，，． (1)如图，，分别是边上的点，线段之间的关系是 ； (2)如图，，分别是边上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； (3)如图，，分别是边延长线上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 11．（25-26八年级上·全国·期中）问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 12．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题． 如图，在中，为外一点， (1)如图1，若平分，于点，，求证：； (2)如图2，若平分，，，连接，求面积的最大值． 13．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 14．（24-25七年级下·四川雅安·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 15．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 16．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知在四边形中，，， (1)如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______； (2)如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 17．（24-25九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 18．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 19．（24-25七年级下·四川达州·期末）【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 20．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在四边形中，，分别是边上的点．若．求证：． 21．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）如图①，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件，“”改为“”，其他条件都不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图③，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点、且，请写出三者之间的关系并证明． 22．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 23．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $