专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·云南昆明·期中）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 例2（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 例3（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 例4（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 例5（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    例2（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 例3（25-26八年级上·北京·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ． 例4（25-26八年级上·四川南充·月考）如图，是内部的一条射线．若于点于点． (1)证明：； (2)猜想三条线段的数量关系，并证明你的猜想． 例5（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）问题情境：如图①，在中，，于点．由同角的余角相等可知：； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点，可证明：，则之间有怎样的数量关系：______； (2)归纳证明：如图③，点在的边、上，点在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，，．点在边上，，点在线段上，．若的面积为24，则与的面积之和为______．（直接写结果） 1．（辽宁省大连市金普新区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，，，．若，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，要求的面积，则只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的面积 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，点A，B，C在直线l上，，于点，于点C，且，若，，则的值为（    ） A．8 B．10 C．6 D．9 6．（25-26八年级上·重庆江北·阶段练习）在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作和，使得，连接与的延长线交于点G，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）． A． B．8 C． D． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，中，，，交于，，，则以下结论：①；②；③；④中，正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③ 9．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，为了测量一幢楼房的高度，在木棍与这幢楼房之间选定一点P，若，点P到楼底的距离与木棍的高度相等，都为，量得木棍与这幢楼房之间的距离，且与均垂直于，则这幢楼房的高度是 m． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 11．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，中，，，，点P从B出发．以的速度沿向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以的速度，沿向A运动，当与全等时， ． 12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，于点D，于点E，，则 ． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，C为线段上一点，满足，若，则的长为 15．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 16．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，，，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 17．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 18．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 19．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； (2)如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 20．（25-26八年级上·吉林·月考）已知，中，，，一直线过定点，过，分别作其垂线，垂足分别为，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，则的面积是 ． 21．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； 【变式运用】（3）如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； 【拓展迁移】（4）如图5，在中， ，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 22．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）如图1、2、3，中，，，直线经过点，，垂足为，，垂足为E．探究图中线段、、之间的数量关系． (1)如图1，请写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)直接写出下列结论： ①如图2，线段、、之间的数量关系是______； ②如图3，线段、、之间的数量关系是______． 23．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， °． (2)在（1）条件下，求证： (3)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 24．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 25．（25-26七年级上·山东泰安·期中）像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·云南昆明·期中）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 【答案】C 【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和． 【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a， ∵a＝8cm， ∴7a＝56cm， ∴DE＝56cm， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 例2（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 例3（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 【答案】13 【分析】先根据AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可． 【详解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB ∴∠DAC=∠ECB， ∴△DAC≌△ECB（AAS）， ∴CE=AD=5，CD=BE=8， ∴DE=CD+CE=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 例4（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等．证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵，， ， ∵， ∴， ． 例5（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【答案】全等，理由见解析 【分析】首先证明，即可证明，即可解题． 【详解】全等，理由如下： ，， ∴，． ∴； 在和中， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键． 例2（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．根据题意可证，可得，，再根据，由此即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：7． 例3（25-26八年级上·北京·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线之间的距离处处相等，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作地面于点，过点作地面于点，可证，然后证明，得到，接着算得的长度，最后算得，即可得出答案． 【详解】解：过点作地面于点，过点作地面于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故此时小丽距离地面的高度是； 故答案为：． 例4（25-26八年级上·四川南充·月考）如图，是内部的一条射线．若于点于点． (1)证明：； (2)猜想三条线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用同角的余角相等证明即可； （2）证明，再利用即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 例5（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）问题情境：如图①，在中，，于点．由同角的余角相等可知：； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点，可证明：，则之间有怎样的数量关系：______； (2)归纳证明：如图③，点在的边、上，点在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，，．点在边上，，点在线段上，．若的面积为24，则与的面积之和为______．（直接写结果） 【答案】(1) (2)详见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用同角的余角相等得出，证出，进而即可得证； （2）先证出得出，进而即可得证； （2）先计算出面积，再利用等面积转换即可得解． 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图， ，，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，的面积为24，， 的面积， 由（2）可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积是8， 故答案为：8． 1．（辽宁省大连市金普新区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）如图，，，．若，，则的长为（  ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键。 先证明，，得到，继而证明，得到，，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则． 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，垂直定义，同角的余角相等，由，，得，通过同角的余角相等得，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，要求的面积，则只需知道（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的面积 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为：． 故选：A． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等角的余角相等，根据等角的余角相等得到，再证明得到即可求解，利用全等三角形的性质求解线段长是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图，点A，B，C在直线l上，，于点，于点C，且，若，，则的值为（    ） A．8 B．10 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；由已知条件可证明，可得，所以，即可得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴，， ∴. 故选：A. 6．（25-26八年级上·重庆江北·阶段练习）在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作和，使得，连接与的延长线交于点G，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．①由已知条件可证明，可得到；②设和交于点R，可知结合对顶角和三角形内角和定理，可得到；③过D作交的延长线于H，过E作于M，根据余角的性质得到，求得，证得，根据全等三角形的性质得到，同理，等量代换得到，根据全等三角形的性质的得到，即可得到结论；④根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①∵和为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设交于点R，交于N，如图1， 由①可知，且， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③过D作交的延长线于H，过E作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的中线；故③正确； ④∵， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：A． 7．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）． A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点E作于点G，则，先证明得到，，则有，进而推出得到，再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，中，，，交于，，，则以下结论：①；②；③；④中，正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可. 【详解】解：∵，， ， ， ， ，故①正确； 在和中，， ， ，，故结论②正确 ，故结论③正确， 在中，， ，故结论④错误 综上所述，正确的结论是：①②③. 故选：D． 9．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，为了测量一幢楼房的高度，在木棍与这幢楼房之间选定一点P，若，点P到楼底的距离与木棍的高度相等，都为，量得木棍与这幢楼房之间的距离，且与均垂直于，则这幢楼房的高度是 m． 【答案】15 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：15. 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：18． 11．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，中，，，，点P从B出发．以的速度沿向C运动，设P运动时间为t秒，当P从B开始运动的同时，Q从C出发以的速度，沿向A运动，当与全等时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． 分两种情况①当时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点P从点B出发，以的速度沿BC向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴ 解得：，； ②当， 时，， ∵， ∴ ∴， 解得：， 则 ∴， 综上所述：当或时， 与全等， 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，于点D，于点E，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，得出，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：1． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】8.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点E作于点G，则，证明，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：在中，，，D是线段上一点， 过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 14．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，C为线段上一点，满足，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 由可证，可得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 【答案】1 【分析】先根据证明，则可得，，求出的长，则可知的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 16．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，，，． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离为 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ， ∴，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 17．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【答案】（1）见详解； （2），证明见详解； （3），证明见详解． 【分析】（1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2），， ， 在和中， ， ，， ； （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 18．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）63 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 19．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． (1)如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； (2)如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 【答案】(1)证明见解析；证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴； （2）解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·吉林·月考）已知，中，，，一直线过定点，过，分别作其垂线，垂足分别为，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，则的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据即可证明； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， 理由如下： ， ， ， 又 ∵， ， ， ， 即； （3）解：由（2）得且， ， ， ，， ． 21．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； 【变式运用】（3）如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； 【拓展迁移】（4）如图5，在中， ，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明； （2）证明，，，得到； （3）过点作于点，证明，则，证明，则，即可得到； （4）为直角边，和 为直角边，，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ （4）当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴ ∴ 当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴ 综上可知，的面积为或． 22．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）如图1、2、3，中，，，直线经过点，，垂足为，，垂足为E．探究图中线段、、之间的数量关系． (1)如图1，请写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)直接写出下列结论： ①如图2，线段、、之间的数量关系是______； ②如图3，线段、、之间的数量关系是______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）利用已知得出，进而利用得出则，即可得出； （2）①利用已知得出，进而利用得出则，即可得出与之间的数量关系． ②利用已知得出，进而利用得出则，即可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：． 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图2所示：结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ②如图3所示：结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 23．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， °． (2)在（1）条件下，求证： (3)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； （3）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； 【详解】（1）解：， ； 故答案为：90； （2）证明：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：， 理由：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 24．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2），证明见解析    （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，即可； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 25．（25-26七年级上·山东泰安·期中）像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，得到，，即可得到、、之间的数量关系； （2）过D作交的延长线于点F，证明，得到，，进而得到，即可证明； （3）作交于，作交于，证明，得到，进而得到，则，根据得到，得到关于的一元一次方程，求出，进而可求出秋千悬挂处O与地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，作交于，作交于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $