精品解析：上海市宝山区淞谊实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上海市宝山区淞谊实验学校九上期中考试数学试卷 一、单选题 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ） A. 15° B. 45° C. 30° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵tanB=， ∴∠B=60°， 故选：D． 【点睛】考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提． 2. 如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应周长之比是， ∴它们的对应边之比为， 故选：A． 3. 在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【详解】如图， 可假设， ∵ ∴，故A选项错误， ，故D选项错误； 反过来，当时，不能得到，故B选项错误； 当时，能得到，故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 4. 给出下列四个命题，其中真命题有（　　） （1）等腰三角形都是相似三角形（2）直角三角形都是相似三角形 （3）等腰直角三角形都是相似三角形（4）等边三角形都是相似三角形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法对各命题逐条进行分析判定，即可得出结果． 【详解】解：（1）等腰三角形不一定是相似三角形，如两底角30度与底角为45度的两等腰三角形不相似，所以此命题是假命题； （2）直角三角形只有一个直角相等，还不能确定都是相似三角形，所以此命题是假命题； （3）等腰直角三角形，两底角都等于45度，所以它们有三对角对应相等，都是相似三角形，所以此命题是真命题； （4）等边三角形每个角都等于60度，所以它们有三对角对应相等，都是相似三角形，所以此命题是真命题； 综上，（3）（4）是真命题，共2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查命题真假有判定，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质． 5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　） A. S1＝S3 B. S2＝2S4 C. S2＝2S1 D. S1•S3＝S2•S4 【答案】B 【解析】 【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合,，即可判断D选项． 【详解】与等底同高，则 即 故A选项正确； 即 故B选项不正确； 过点，作于，交于， 即 故C正确 , 故D正确 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，，，然后根据等边对等角得出，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出，设，根据勾股定理得出，根据线段的和差及勾股定理得出，最后再化简即可得出答案． 【详解】四边形为矩形 ， 将矩形沿翻折， ，， 设 在中， 故选B． 二、填空题 7. 在比例尺为的地图上，某两地图距为3厘米，则这两地的实际距离是_____千米． 【答案】15 【解析】 【分析】根据比例尺为，即可求解． 【详解】解：设这两地的实际距离是厘米，则： ， 解得． 厘米千米． 故答案为15． 【点睛】本题考查比例尺．注意1千米厘米． 8. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简．根据题意可得，再代入，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 9. 已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，其中较短，， ， ， 故答案为：． 10. 已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______．（用含向量式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解． 【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知，cm，cm，cm，那么___________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，再求出即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵cm，cm， ∴，即， cm， ∴，即， ， 故答案为：． 12. 如图，中，点D、E分别在边上，平分，，若，则___________. 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，先根据平分，，求出是等腰三角形，即可求出的值，再根据，证明，然后根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵平分， ， 又∵， ， ， 是等腰三角形． 即． ∵， ∴， ， ， 故答案为：24． 13. 如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即=___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算及平行四边形的性质得到，即可得到，根据平行四边形的性质得到，结合点E是的中点推出，得到，所以，进而得到结论． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接矩形，其中、分别在边、上，点、在边上，，是的高，，，那么矩形的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是的内接矩形，可得，，证明四边形是的矩形，可推导出，是的高，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：设交于点， ∵是的高， ∴， ∵四边形是的内接矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，即是的高， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，点是的重心，连接、，如果，，那么的余切值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，过作于，可证，得，根据为的重心，可知，又因为，可得：，可知，在中利用勾股定理可得：，进而即可求解． 【详解】解：如下图所示，过作于，延长交于点， ，， ， ， ， ， 为的重心， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 16. 如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处________海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，（海里），（海里），进而得出（海里），计算即可．此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数解答． 【详解】解：如图 根据题意，得，海里， ∴（海里），（海里）， （海里）， （海里）， 故答案为：． 17. 如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”， 则 ∴ ∴ ∴； 当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线， 作于E，则， ∵，∴，∴， ∵，，，，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得，解得． 综上，的长等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．分当点在左侧时和当点在右侧时，两种情况讨论，先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解． 【详解】解：当点在左侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ； 当点在右侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解：原式= = 故答案为： 20. 如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键． （1)由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出; （2)作交于H，在直角三角形中由勾股定理求出长，从而求出的正弦值． 【小问1详解】 解：在中，， ∵点D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为点H． ∵在中，，， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 21. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． （1）如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； （2）利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴小明的画法是正确的； （2）如图所示，则点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了无刻度网格作图，相似三角形的性质与判定，求正弦； （1）根据得出，进而得出，勾股定理求得，即可得证； （2）取格点，连接交于点，则点即为所求，根据（1）的方法证明即可求解；取格点，连接，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点，连接交于点； 连接， ∵ ∴ ∴ ∴， 如图所示，取格点，连接， 在中， ∴ ∴ 22. 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）不会， 过点作，交于点，            ，， ， 不会碰到头部； （2）7米 【解析】 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 23. 如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且 （1）求证： （2）联结，如果，求证： 【答案】（1） 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点，准确找准相似三角形是解题的关键． （1）证明即可； （2）先证明，则，，则，再证明，则，故，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC． （1）求证：； （2）求的值； （3）点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标． 【答案】（1） 证明：令，则， ∴， 令，则， ∴A， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）D点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）分别求出两个三角形的三边，根据三角形的三边对应成比例进行证明即可； （2）过点C作交于F点，分别求出的长，即可求； （3）先判断出，再分两种情况讨论：当时，，根据平行线分线段成比例可求；当时，由，可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作交于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 综上所述：D点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为． （1）如图，当时，求的长； （2）设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2）（且） （3）当是等腰三角形时，的长是6或． 【解析】 【分析】（1）过作，利用求出，根据勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，再根据，求出，从而求出； （2）根据题意证明，得到，故，在同理可得，则，在中，由勾股定理即可求出答案； （3）分三种情况，根据y与x的函数关系与三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过作，垂足为， 在中，，且，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴在中，， ∵，且，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，过点C作交延长线于T， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即（且）； 【小问3详解】 解：当时，则 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于H，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∵， ∴，这与点E在上且与A、C不重合矛盾，即此种情况不存在； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市宝山区淞谊实验学校九上期中考试数学试卷 一、单选题 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ） A. 15° B. 45° C. 30° D. 60° 2. 如果两个相似三角形对应周长之比是，那么它们的对应边之比是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列四个命题，其中真命题有（　　） （1）等腰三角形都是相似三角形（2）直角三角形都是相似三角形 （3）等腰直角三角形都是相似三角形（4）等边三角形都是相似三角形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（　　） A. S1＝S3 B. S2＝2S4 C. S2＝2S1 D. S1•S3＝S2•S4 6. 如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 在比例尺为的地图上，某两地图距为3厘米，则这两地的实际距离是_____千米． 8. 若，则___________． 9. 已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则___________ 10. 已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______．（用含向量式子表示） 11. 如图，已知，cm，cm，cm，那么___________cm． 12. 如图，中，点D、E分别在边上，平分，，若，则___________. 13. 如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即=___________． 14. 如图，四边形是的内接矩形，其中、分别在边、上，点、在边上，，是的高，，，那么矩形的周长是__________． 15. 如图，在中，，点是的重心，连接、，如果，，那么的余切值为____________． 16. 如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处________海里．（结果保留根号） 17. 如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 三、解答题 19. 计算： 20. 如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． （1）求线段的长； （2）求的值． 21. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． （1）如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； （2）利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 22. 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 23. 如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且 （1）求证： （2）联结，如果，求证： 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC． （1）求证：； （2）求的值； （3）点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标． 25. 已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为． （1）如图，当时，求的长； （2）设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $