精品解析：河南省郑州外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

郑州外国语学校2025-2026学年高一上期期中试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为9 D. 有最大值为 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 已知，且，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ） A. B. 关于点中心对称 C. 关于轴对称 D 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12 已知，那么=_________________. 13. 已知函数，若在定义域内存在实数x，使得，则称函数为定义域上局部奇函数．若函数是上的局部奇函数，则实数m的取值范围是__________． 14. 如果对于任意的，总存在，使得，那么实数的取值范围是__________. 四、解答题（共5大题，15题13分，16，17题每题15分；18，19每题17分，共77分） 15. 设集合，． （1）若，求实数取值范围； （2）若，求实数取值范围． 16. 已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 18. （1）设，求在上的最小值，并求此时的值. （2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值. 19. 设函数. （1）证明函数在上是增函数； （2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年高一上期期中试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得. 【详解】由，解得，所以. 由得，所以， 所以. 故选：D 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】写出原命题的否定，根据原命题的否定为真命题求实数的取值范围，再进行判断. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以原命题的否定“，”为真命题. 所以，使得，所以，. 因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，所以实数a可取的最小整数值为0. 故选：B 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出结果. 【详解】A选项，函数定义域为， ，函数为奇函数， 在上单调递减，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，不符合题意； B选项，，即，函数定义域为， ，函数为奇函数， ∵在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，不符合题意； C选项，函数定义域为，为偶函数，不符合题意； D选项，函数定义域为，，函数为奇函数， ，因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，符合题意. 故选：D. 6. 若定义在上奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且， 所以在上也是单调递增，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得或 解得或，即， 故选：C. 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 8. 存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的性质确定唯一零点，然后由二次方程判别式得结论． 【详解】令（）是增函数，，由对勾函数性质在上递减，在上递增， 所以时，，此时，因此有唯一零点，则零点为， ，时，有解，时，则，且． 综上． 故选：A． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为9 D. 有最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 因为， 所以 ， 当且仅当，结合，即时取等号，D正确； 故选：BCD 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 已知，且，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的图象关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】由指数的运算计算出结果判断A选项；由题意写出的代数式，代入方程求得的值判断B选项；由函数定义域即可判断C选项；验证是否成立即可判断D选项. 【详解】A选项，，A选项不正确； B选项，，则，，则，， ∴，即，∴，B选项正确； C选项，，即，∴或，函数定义域为， 由二次函数的图像可知函数的单调递增区间为∴C选项错误； D选项，，D选项正确. 故选： BD. 11. 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ） A. B. 关于点中心对称 C. 关于轴对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由中令可得A正确；由可得B正确；由可得C错误；换元法求出可得D正确. 【详解】对于A，由可得； 对于B，由可得，即， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误； 对于D，由中令可得， 设，① 又，② 由①②可得， 所以，即， 所以，所以 所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，那么=_________________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用换底公式及对数的运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以 所以，所以， 故答案为： 13. 已知函数，若在定义域内存在实数x，使得，则称函数为定义域上的局部奇函数．若函数是上的局部奇函数，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解. 【详解】由是上的局部奇函数，所以在上恒成立，所以，即， 由局部奇函数的定义，存在，使得， 即存在，使得， 所以存在，使得，即， 又因为，所以，所以，即， 综上. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题注意隐含条件，是上的局部奇函数，必须在上有意义恒成立. 14. 如果对于任意的，总存在，使得，那么实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，构造，，求相应的值域，结合题意可得，根据包含关系列式求解即可. 【详解】由题意可知，且，可得， 构造，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，， 因为，可知在内的值域为， 又因为在内单调递增， 且，，可知在内的值域为， 原题意等价于对于任意的，总存在，使得， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5大题，15题13分，16，17题每题15分；18，19每题17分，共77分） 15. 设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）由条件可知，，分和两种情况列式求解； （2）分和两种情况，结合数轴，比较端点值，列式求解. 【小问1详解】 由条件可知，， 当时，，得， 当时，，得， 综上可知，或； 【小问2详解】 当时，，得， 当时，或， 得或， 综上可知，或. 16. 已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合求出解析式； （2）根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． 【小问2详解】 由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 17. （1）已知函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）需结合对数函数与二次函数的单调性，利用复合函数同增异减原则求解； （2）结合指数函数和反比例型函数的单调性，利用复合函数同增异减原则求解. 【详解】（1）函数是复合函数， 由对数函数与二次函数复合而成， 根据复合函数“同增异减”的原则，因为对数函数单调递增， 所以要使在上单调递增，需满足两个条件： 内层函数在上单调递增；内层函数在上恒大于；  是开口向上的二次函数，对称轴为， 若在上单调递增，则对称轴需在区间左侧，即，解得， 因为在上单调递增，所以时最小，即， 因为， 所以，解得或， 综上：； （2）令，则原函数，外层函数在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的性质，要使在上单调递增， 内层函数需在上单调递增； 将变形为，其为反比例函数经过平移得到的函数， 要使其在上单调递增，则需满足分子分母的系数关系： 当时，函数在区间和上单调递增。 为保证其在上单调递增，需满足，即， 当时，，，为常函数，不满足在上单调递增，舍去；  当时，在和上单调递减，不满足在上单调递增，舍去； 综合以上分析，需满足. 18. （1）设，求在上的最小值，并求此时的值. （2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值. 【答案】（1）；； （2），；， 【解析】 【分析】（1）设，再通过换元可得一个二次函数，进而可得最小值； （2）通过，换元可得一个二次函数，进而可得二次函数在闭区间的最值. 【详解】（1）设，因为在R上单调递增，在R上单调递减， 所以在上单调递增，所以. 又，所以， 是一个开口向上，对称轴为的抛物线， 所以上单调递减，在上单调递增， 所以时， 而当时，得，解得或（舍去）， 再由，得. 故时，. （2）由，得，. 设，，所以在单调递增，所以. 所以，是一个开口向上的抛物线 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即，得时，； 当，即时，. 故时，，时，. 19. 设函数. （1）证明函数在上是增函数； （2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）详见解析； （2）不存在，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性定义证明； （2）由（1）结合复合函数的单调性得到在上是增函数，从而有，转化为m，n是方程的两个不同的正根求解. 【小问1详解】 证明：任取，且， 则， 因为，则，因为，则， 所以，即， 所以函数在上是增函数； 小问2详解】 由（1）知：在上是增函数，又， 由复合函数的单调性知在上是增函数， 假设存在常数，，，使函数在上的值域为， 所以，即， 则m，n是方程的两个不同的正根， 则m，n是方程的两个不同的正根， 设，则有两个大于1的不等根， 设， 因为，， 所以方程有一个大于0，一个小于0的根， 所以不存在两个大于1的不等根， 则不存在常数，，满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $