精品解析：河南省郑州外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

郑州外国语学校2025-2026学年高一上期期中试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为9 D. 有最大值为 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 已知，且，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ） A. B. 关于点中心对称 C. 关于轴对称 D. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，那么=_________________. 13. 已知函数，若在定义域内存在实数x，使得，则称函数为定义域上的局部奇函数．若函数是上的局部奇函数，则实数m的取值范围是__________． 14. 如果对于任意的，总存在，使得，那么实数的取值范围是__________. 四、解答题（共5大题，15题13分，16，17题每题15分；18，19每题17分，共77分） 15. 设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数满足． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 18. （1）设，求在上的最小值，并求此时的值. （2）已知函数，，当，求的最值及对应的的值. 19. 设函数. （1）证明函数在上是增函数； （2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网列组卷网 郑州外国语学校2025-2026学年高一上期期中试卷 数学 (120分钟150分) 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1.已知集合4={xr2-x-2≤0，B={xy=lnx,则AnB=（) A.[0,] B.[0,2] c(0,] D.(0,2] 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合A,求函数的定义域求得集合B,由此求得A⌒B 【详解1由-x-2=(x-2x+)s0.解得-1≤x≤2，所以4=l,2] 由y=hx得x>0,所以B=(0,o）, 所以AnB=(0,2] 故选：D 2已知袋合A={3V扇}，B=九m以，则m=3”是UB=A的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解1①若m=3,则1={L3},B={红3}，UB={九3V5=A, 所以m=3”是“AUB=A”的充分条件： 第1页/共20页 6学科网列组卷网 ②若4UB=A,则m=3或m=Vm,解得m=3或m=0或m=l 当m=3时，A=135,B=九，3}，4UB=L,33}=A,符合题意， 当m=0时A=3,0时，B=L,0,4UB=L3,0=A,符合题意， 当m=1时，4=3,1以B=儿，1，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以m=3或m=0,所以m=3”是“AUB=A”的不必要条件， 所以由①②可知，m=3”是“AUB=A”的充分不必要条件， 故选：A 3.若命题rx∈[0,3]，-2x-3a>0为假命题，则实数a可取的最小整数值是() A.-1 B.0 C.1 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】写出原命题的否定，根据原命题的否定为真命题求实数的取值范围，再进行判断 【详解】因为命墅x∈0,3).-2x-3a>0为假命思， 所以原命思的香定3x∈0,3引，2-2x-3a≤0”为真命题 所以xe0,3引，使得3a≥2-2x,所以3a≥(r-2x)m,x∈0,3] 因为函数（四=-2x在【0，刂上单调递减，在L,3)上单调递增，所(~）=f0=」 1 由3a≥-1→a2 3,所以实数a可取的最小整数值为O. 故选：B 4已知*e(04).则f)-+16 x4-x的最小值为() 第2页/共20页 6学科网 命组卷网 49 17 19 25 A.3 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解1x∈(0,4)，-x∈(4,0)，4-xe(0,4) 4444 -44)34-空 4-x_16x.4 当且仅当x4-x’5时等号成立 故选：D 5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是() A.f(x)=log2(+1-x) B f(x)=In2-x 2+x a /(:) *-1 2 D.f(z)-i *+1 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出结果 【详解】A选项，函数()定义域为R, =lg:(+1-()-g1+=-be1--f,商数f为 奇函数， 第3页/共20页 命学科网命组卷网 u=√x2+1-x= 1 Vx2+1+x在R上单调递减，且y=log2u在(0，+o)上单调递增，所以函数f(x)在 R上单调递减，不符合题意： 2-x>0 B选项，2+x0,即-2<x<2,函数f(x)定义域为(-2,2) f(-x)=In 2=因-n2+:=-h3-f似，西数f(为奇酒数， 2+(-x)“2-x2+x -名2：在2列上该.y=在回)上单.阳付2(2列上年 调递减，不符合题意： c选顾，函数女定义战为R)2二=2为偶函数，不符合想富 D定树定取.-小品=-.内为有监 了E2-小，2，因为函数g8=2+1在R上单调递增，所以2中在D 减，所以()在R上单调递增，符合愿意 故选：D 6若定义在R上的态面数田在区同Q,回)上单调造蜡，且)=0，则满无x-2刃<0的产的取值 范围为( A.（-0,-0U(2,5) B（-0,-1U0,)c-l,0U2,5) D.（l,0U(5,+o) 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f(x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于 第4页/共20页 6学科网命组卷网 零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果 【详解】因为定义在R上的奇品数田在0，+切)上单调莲销，且)=0， 所以f)在←0,0)上也是单调递增，且f-3)=0,f0)=0 所以当e(,-3)u@,3》时，f<0,当e(-3,0U6tm)时.f>0 x<0 x>0 所以由f(x-2)<0,可得-3<x-2<0或0<x-2<3 解得1<x<0或2<x<5,即xel,0U2,5) 或 故选：C. 7,已知函数f()=2”-2+1,若f(@)+f(a-2)>2,则实数a的取值范围是（) A.（-o,1) B.（-2,) c（-0,-2U(1,+∞）D.(-1,2) 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数（冈=8(）+1，研究西数8（四的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式 【详解1令8()=2”-2，定义域为R,且8(-)=一8()， 所以函数8( 为定义域内的奇函数，且在R上单调递增； 则f()=8+1,则f(a)小+f(a-2)>2,即8(a）+g(a-2)>0,▣gd)>-ga-2), 又因为8()为定义域内的奇函数，所以8(@)>8(2-@ 又因为8)在R上单调递增，所以4>2-a, 解得a<-2或a>1, 故实数a的取值范国是（←0，-2U(1,+o) 第5页/共20页 6学科网6组卷网 故选：C 8存在实数a使得函数f(x)=2+2*-md2+a-3 唯一零点，则实数m的取值范围是() -4 B.（-o,0] 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数少=2+2 的性质确定唯一零点，然后由二次方程判别式得结论. 【话解】令1=2>0)是始两数，+立，面对勾商数性”=1+月 1 t在(0,1)上递减，在(L,+o)上 递增， 所以=1时，m=2,此时x=0,因此)有唯一零点，则零点为=0， f(0)=-ma2+a-1=0,m=0时，a=1有解，m≠0时，则△=1-4m≥0， 4且m≠0. 综上 4 故选：A 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） x,y 。x+y=1 9.设正实数满足 ,则() A.y有最大值为2 B.x2+y2有最小值为2 4.1 C.xy有最小值为9 D.Vx+1+Vy+1有最大值为V 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式 第6页/共20页 6学科网列组卷网 等号成立的条件判断D即可 对于A,由x>0,y>0,x+y=1,得少≤2)=4，当且仅当一2时取等 误： 对行+r-e+-2g21-生-3.n收-y9,m 当且仅当女方，即*=2y=名 4y x Γ3时取等号，C正确： 对于D.+1++1-+可+(+可+2x+i+ 因为2Vc+1y+1≤x+1+y+1=3 所以Vx+1+Vy+2=V(Wx+)2+(√y+I)2+2Wx+1√y+1 ≤V3+(Nx+I)2+(Wy+1)2=V3+x+1+y+1=V6 11 当且仅当Vx+1=V少+1，结合x+y=1,即x=2y= x= 2时取等号，D正确： 故选：BCD 10.下列选项正确的是() AVπ-4}+3-}=-1 2+1=2 B.已知2°=3=t,且ab2,则t=23 c.函数f(x)=Vx-2x-3的单调递增区间是，+o) 第7页/共20页 命学科网命组卷网 D.数了(x)=四父一 的图象关于点（山，-）对称 【答案】BD 【解析】 11 【分析】由指数的运算计算出结果判断A选项；由题意写出ab的代数式，代入方程求得t的值判断B选 项：由函数定义域即可判断C选项；验证1+)+1-)=-2是否成立即可判断D选项 【详解】A选项，V(π-4}+3-=π-4+3--4-元+3--7-2元，A选项不正确： B选项，2°=3=t,则a=l0g21,b=log3t,则a 1-log,2 =log,3 b 2+=2log,2+log,3=log,12=2,即r=12,∴1=2=25，B选项正确： .a b C选项，x-2x-3≥0，即(x-3x+≥0，“x≥3或x≤-1，函数定义域为0，-小U[3,+0）, 由二次函数的图像可知函数的单调递增区间为B,+切）：C选项错误： D选项， *动0-小-h文1h1t=}2= 1-x ,D选项正 确。 故选：BD. 1已知对于意零实数，运数f的满足)=/图).f八)=2-f)】 下列结论正确的有 () A.f(1)=1 B.f(2）关于点(0，)中心对称 第8页/共20页 6学科网命组卷网 C.f2）关于x=1轴对称 D.f(2)+f(22)+f(2)++f(2)=10 【答案】ABD 【解析】 【分标1由=2-图 中令x=1可得A正确；由f(2)+f(2)=2可得B正确；由 f(2)(2)可得c错误：换元法求出f(2）=2)可得D正确 【年1对于A2-)弱0=2-0÷0-1， 对B.由创-2-f日加每创+日=2，mf)+）=2. 所以f(2）关于点(0，)中心对称，敢B正确 对Tc.内-f)万青f)=g.质)关于时称.改c特： 对T.由-目)+令x1可得0-=， 8=f)=f（2是)=8-)，0 x8)=f)=2-f2=2-g(-).@ 由02可得8(1-)=2-g(-) 所以8(1+x=2-g(),即8(+2)=2-8(x+)=2-[2-g(x]=g(x) 第9页/共20页 命学科网命组卷网 所以f2）=f(22）.所以f(2)=f(2）=f(2）=… 所以f(2)+f(2)+f(2)++f(2)=10,故D正确： 故选：ABD 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12已log,x=2log,x=3og.x=6,3么k logabe x 【答案】1 【解析】 【分析】依题意利用换底公式及对数的运算法则计算可得： 1 1 【详解】解：因为log.x=2,log6x=3,10g。x=6,所以 logx a= 10gb=c 所以 log,a+log:b+log,c=1og.abc=2T36,所以l0gx1 故答案为：1 18已知居数微’/闭，若在定义返内在布实数天使御人-=- ,则称函数'=f() 为定义域上 的局部奇函数. 若函数()=og,(x+m是-2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 【答案】 (25 【解析】 【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解 【详解】由f)=1og,（x+m是[-2,2习上的局部奇函数，所以x+m>0在-2,2]上恒成立，所以 m-2>0,即m>2, 由局部奇函数的定义，存在x∈[-2,2]，使得1og,(-x+m=-l10g,(c+m 即存在xe2,2),使得og,(-x+m+log,(c+m=log,m2-x)=0, 第10页/共20页 6学科网列组卷网 所以存在xe2,2列，使得m2-2=1,即㎡=2+1， 又因为x∈[-2,2]，所以2+1e[,5],所以m2∈[l,5],即m∈[-5，-小U[1,5], 综上m∈(2,5] 故答案为： (2,5] 【点睛】关健点点睛：木题注意隐含条件，f9=log,(x+m是一2,2]上的局部奇函数，必须 f)=log,(x+m在-2,2]上有意义恒成立 14如哭对于任意的xL,3),总存在yc-2-少，使得4(x+)m-x+),那么实数m的取值 范围是 【答案)(2,4 【解析】 4 【分析】整理可得x x+_ 产网，m儿小-中兰，)-来相脑，生合世 4 意可得4,5]s[m,m+3), 根据包含关系列式求解即可 【详解】由题意可知y≠0，且4(x+y)=y(m-x+y),可得+x 4 +m y 4+m 构盗6)=+至，g0)-y y 可知f()小=x x在山，2]内单调递减，在(2,3列内单调递增。 且f0-5,f=4,f)-号. 第11页/共20页 命学科网命组卷网 5s13 因为3>3，可知f(x)在，3)内的值域为[4,5]， 又为0列-ym2-内华腿地， 且8(-2)=m,(-)=m+3,可痴3)在【2-内的值拨为mm+3列 原思意等价于对于任意的xe[,3),总存在y[-2,-),使得f()=8(）, m≤4 则[4,5]s[m,m+3),可得m+3>5,解得2<m≤4 所以实数m的取值范围是(2,4 故答案为： (2,4] 四、解答题（共5大题，15题13分，16,17题每题15分：18,19每题17分，共77分） 15.设集合P={-2<x<3).卫={x2a≤x≤a+3} PUO=P (1)若 求实数“的取值范围： (2若Png= ,求实数的取值范围。 【答案】(1)-1<a<0或a>3: (2)a≤-5或≥2 【解析】 【分折1山由条什可知，DcP,分0=和0* 两种情况列式求解： (2)分Q=乃和Q≠⑦两种情况，结合数轴，比较端点值，列式求解。 【小问1详解】 第12页/供20页 学科网 命组卷网 QCP 由条件可知， 当2=⑦时，2a>a+3,得a>3, [2a≤a+3 当 时 2a>-2 ,得 Q≠0 a+3<3 -1<a<0 综上可知，-1<a<0或a>3； 【小问2详解】 当=⑦时，2a>a+3,得a>3, 2a≤a+3 2a≤a+3 当Q≠⑦时， 2a≥3或a+3≤-2， 3 ≤a≤3 得2 或a≤-5， 综上可知，a≤-5或心 16已知幂函数f(x=(p2-3p+3)x 2满足f(3)<f(5) 1)求f()的解折式： 2)者6-a小>f2a-),求实数“的取值范围， 【答案】(1)f(x)=x2 abi 【解析】 第13页共20页 6学科网6组卷网 【分析】1)根据幂函数的定义，结合(3)<(5)求出解折式： (2)根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可： 【小问1详解】 由)=(p2-3p+3列x2是器两散. 可得p-3p+3=1,解得D=1或D=2, 当P=l时，)=x'在(0，+o)上单调递减，不满足(3)<f5), 当p=2时，f(x)=x2在[0，+o)上单调递增，满足f(3)<f(5), 故f)=x 【小问2详解】 由(1)知f(x)=x2,则函数f(x)的定义域为[0，+o),且函数f(x)在[0，+o)上单调递增， 又f(3-a)>f(2a-)】 3-a≥0 所以 2a-1≥0 3-a>2a-1 _sa-3 解得1‘4， 2 [14 所以实数a的取值范围是2'3· 17.（山己知函数f(似=n(2--3+a）在+切)上单调递增，求a的取值范国， (2)若函数f(x)=e*+m在区间(2，+o)上单调递增，求实数m的取值范围， 【答案】(1)（0，-) 2)【-2,0) 【解析】 第14页/供20页 命学科网命组卷网 【分析】(1)需结合对数函数与二次函数的单调性，利用复合函数同增异减原则求解： (2)结合指数函数和反比例型函数的单调性，利用复合函数同增异减原则求解. 【详解】()函数f()=lh(t-r-3+a)是复合函数， 由对数函数y=hW与二次函数4()=t-c-3+a 复合而成， 根据复合函数“同增异减”的原则，因为对数函数'=血 单调递增， 所以要使f四在凸+o 上单调递增，需满足两个条件： u(x)[1,+00) 内层函数 在 上单调递增；内层函数 数（田在山，+o)上恒大于0 在 a 4()是开口向上的二次函数，对称轴为=2， a 若(x)在山，+o)上单调递增，则对称轴需在区间左侧，即2一，解得a≤2， 因为（在【l,+o 上单调递增，所以x=1时（ 最小，即40>0 因为0=-al-3+a2=ad2-a-2 所以4-a-2>0 或0>2 解得a< 综上：a<-1: m （2)令=x+m,则原函数f()=e,外层函数y=e在R上单调递增， f(x)(2,+o) 根据复合函数“同增异减”的性质，要使 在 上单调递增， m W= 内层函数“一x+m需在(2，+oo)上单调递增； 第15页/供20页 6学科网命组卷网 m m u=- 将u变形为x+m(x+m),其为反比例函数经过平移得到的函数， 2,+0) 要使其在 上单调递增，则需满足分子分母的系数关系： 当m<0时，函数”x+m在区间(-o0,-m)和(-m,+o)上单调递增。 (2,+0) 为保证其在 上单调递增，需满足-m≤2，即m之-2 当m=0时，u=0,f(闭=©°=l,为常函数，不满足在2，+o)上单调递增，合去： m = 当m>0时，x+m在(-o,-m)和(-m,+∞)上单调递减，不满足在(2，+o)上单调递增，舍去： 综合以上分析，m需满足-2≤m<0 18(1)设8(=4+4-82-2），求8(y在[L,+∞）上的最小值，并求此时x的值 安已班西数付=e,闲=（信.当*}康的民在对应的x的生 【答案】(1)x=log,(2+V5),g(x)=-14 1 2)x=22g③=-4，xF2,e 【解析】 【分析】（山）设2”-2，再通过换元可得一个二次函数，进而可得最小值： (2)通过 =0g,x,换元可得一个二次函数，进而可得二次函数在闭区间的最值 【详解】(1)设1=2-2，因为y=2在R上单调递增， y=2=(写 在R上单调递减， 第16页/共20页 6学科网列组卷网 3 所以t=2-2在山，+o)上单调递增，所以2 又4+4=(2-2Y+2=+2.所以8=-81+2=《-42-14 g(x 是一个开口向上，对称轴为=4 的抛物线， 所以在可上单润递藏，在4，网上单调递郑 所以1=4时，8(x)mn=-14 而当2-2=4时，得2-4：2-1=0，解得2=2+5或2=2-5（合去)， 再由2=2+V5,得x=log2(2+V5) 故x=lbg,(2+V5)时，g(m=-l4 （2)由f()-log,x,得f哼-=log,哼=log,x-1.f学=lg,(宁=1logx-2 及1-.5闪所=g,在写到限3原，-1s163 国=停停=-e-习=0-}-子，是-个子nm拖w线 )在【一1，上单调递 上单调递增 3 当-2，即ogx= Γ2，得x=22=22时.8(mm=- 23 1 当t=-1,即 log2x=-1,x= 2时，8(x)max=(-1-10(-1-2)=6 第17页/供20页 6学科网6组卷网 故r=22时，8(6n=-} 1 4, 2时，g(x)max=6. 19.设函 f四=2*+ 21 (1)证明函 f四在0，+w 上是增函数： (2)若8o)=1og。2+2+1(a>),是否存在常数m,n(0,0),（m<,使函数g [m,川上的值域为1+mlog。2,1+nog。2),若存在，求出Q的取值范围；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) 任取西∈0，+0），且<3 )-)-2+分+1-2*+女+刊-g-2)0 因为<，则25<2，因为，西∈0，+0），则25-1>0， 所以(x)f(:)<0,即()f(), 所以函数f四在0，四 上是增函数： (2) 不存在，理由如下： 由(1)知：f9=2*+ +2+在0，+o)上是增西数，又a>1, 在(0，+o)上是增函数， 假设存在常数m,n∈(0，+o),(m<川，使函数8)在[m,川上的值域为+mlog。2,1+nlog,2] 第18页/共20页 6学科网组卷网 2”+1 +1=a2m 所以 ,即 2”+ +1=a2" 2 则m,n是方程 2+1=a2 的两个不同的正根， 则m,是方程(a-(2广-2-1=0的两个不同的正根， 设1=2>1，则(a-)P-1-1=0有两个大于1的不等根， 设h)=(a-1)r-t-1 因为h(0)=-1<0,a>1, 所以方程（a-)r-1-1=0有一个大于0，一个小于0的根， 所以（a-rP-1-1=0不存在两个大于1的不等根， 则不存在常数”，n∈(0，+o) 满足条件 【解析】 【分析】(1)利用函数单调性定义证明； 1 (②)作结合复合画数的单调胜得到3网=。2+2+在0+切上是带后致，从面有 loga 2m+ -+1 =1+mlog 2 转化为m,n是方程 的两个不同的正根求解， 1og2” 2+1=1+nlog。2 (a-10(2）2-2-1=0 【小问1详解】 略 第19页/供20页 6学科网命组卷网 。 【小问2详解】 略 第20页/共20页