精品解析：浙江省杭州市富阳区2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷

浙江省杭州市富阳区2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷 注意事项： 1．全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号等，并用2B铅笔填涂有关信息． 3．选择题的答案必须用2B铅笔在答题卡上正确填涂，填空题和解答题请在答题卡的指定区域内作答，否则作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数的定义． 无理数就是无限不循环小数，结合该定义对选项逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，是无理数，符合题意，选项正确； 选项，是有限小数，是有理数，不是无理数，不符合题意，选项错误； 选项，是有理数，不是无理数，不符合题意，选项错误； 选项，是分数，是有理数，不是无理数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 3. 根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为万辆，其中“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万． 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 5. 在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数分别为6，5，4，7，6，8，则这6位同学投篮进球数的中位数为（ ） A. 5次 B. 5．5次 C. 6次 D. 7次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据由小到大排列为4，5，6，6，7，8， ∴中位数为 ． 故选C． 6. 如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选D． 7. 利用“配方法”解方程 ，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，将绕点B顺时针旋转 得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转前后对应角相等，可得 ，结合，可得，可证结论D正确． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转 得到， ，， 又，， ， ， 故选项D结论一定正确， 现有条件，不能证明选项A，B，C中结论一定正确， 故选：D． 9. 如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为， ，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是 ， 故选A. 10. 在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重量的读数为，然后小浦在书上面又放上质量为的砝码，显示重量的读数为．根据实验数据可以发现，这一叠书的实际重量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例关系的运用、一元一次方程的实际应用，解题关键是理解物品实际重量与电子称读数总保持一定比例的关系． 设这叠书的实际重量为 ，由物品实际重量与电子称读数总保持一定比例列出方程求解即可． 【详解】解：设这叠书的实际重量为 ， 由题意得：， 解得， 即这叠书的实际重量为． 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得． 12. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有2个红球和3个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率． 故答案为：． 13. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 14. 已知点，在反比例函数（k是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数（k是常数）的图象上，， ∴， ∵， ∴反比例函数图象上分布在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ．据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 16. 如图，点O是对角线的中点，沿过点O的直线将折叠，使点A，B分别落在，处，交于点E，交于点F，若点E是的中点，且，则与四边形的面积比为________． 【答案】 【解析】 【分析】 连接 ，先根据三角形的中位线性质得到， ，证明，得到，，由折叠的性质得，易证，推出，求出，设 中边上的高为，进而可求解． 【详解】解析：连接 ， 四边形是平行四边形， ， 点E是的中点，点O是对角线的中点， ， ， ， ∴， 点O是对角线的中点， ∴ ， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ， ， 设 中边上的高为， ∴， ∴， ∴， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练拿握相关知识的联系与运用，得到面积之间的关系是解答的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，算术平方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，算术平方根和零指数幂，然后计算加减即可． 【详解】原式 ． 18. 先化简，后求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握同分母分式减法是关键．利用同分母分式减法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，于点D，，． （1）求的长； （2）若，求 的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）在中，利用，即可解答． （2）在中，利用勾股定理求出的长，由，求出的长．再根据，求解即可． 【小问1详解】 ∵于点D，，， ∴； 【小问2详解】 由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A．少于 B． （不含 ） C． （不含 ） D．不少于 （1）求参加问卷调查的人数和m的值； （2）补全条形统计图； （3）若该校有1000名学生，估计该校每天睡眠时长少于 的学生约为多少人？ 【答案】（1）人数为40人， （2） 补全条形图如下： （3）100人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，读懂条形统计图、扇形统计图是解题的关键． （1）先根据C组的人数和占比求出总人数，再根据B组的人数除以总人数进而可求出m的值． （2）补全条形统计图即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解： （人）， B组的人数为： （人）， ， 则 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人） 该校每天睡眠时长少于 的学生约为100人 21. 尺规作图问题： 已知，是钝角， ，请用尺规作的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接交于点P，则点P为的中点． 小明：如图2，作的中垂线，垂足为点M，作的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，为半径作弧，交边于点P，则点P为的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦……我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：由作法得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵点为与的交点， ∴P是的中点， ∴小聪的作法是正确的． （2） 解：如图，以点为圆心，为半径作弧，与边可能交于两点、， ∴小明的作法存在问题． 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由作法得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得解； （2）以点为圆心，为半径作弧，与边可能交于两点、，由此即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】（1），表示桐桐从地步行到地所用的时间 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； 【小问2详解】 设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； 【小问3详解】 由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 23. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点 ． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可； （3）根据题意点关于对称轴对称，则，由，得出，即，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移5个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2； 【小问3详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，， 当时，， 的取值范围是． 【点睛】题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换、二次函数的性质等知识点，掌握平移的规律以及二次函数的对称性是解题的关键． 24. 如图，已知 是的直径，，都是的弦，于点G，交 于点F，且，连结，分别交，于点H，K． （1）求证： ． （2）若 ，求的直径． （3）若点F在半径上， ，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：连结， ∵ 为直径， ∴ 又∵ ∴ ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，等量代换得，进而可证结论成立； （2）先证明 ，进而可证 ，求出 ，再证明 ，利用相似三角形的对应边成比例可得结论； （3）证明 得 ，证明 是 的中位线得 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ， ，证明 ，可求出 ，再证明 求出 ，然后证明 ，利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 是直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴． 【小问3详解】 ． 连结 ．可证： ， 又∵ ， ∴ 是 的中位线， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ， 设交于点N， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， 可证： ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市富阳区2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷 注意事项： 1．全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号等，并用2B铅笔填涂有关信息． 3．选择题的答案必须用2B铅笔在答题卡上正确填涂，填空题和解答题请在答题卡的指定区域内作答，否则作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为万辆，其中“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数分别为6，5，4，7，6，8，则这6位同学投篮进球数的中位数为（ ） A. 5次 B. 5．5次 C. 6次 D. 7次 6. 如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 利用“配方法”解方程 ，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点B顺时针旋转 得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（ ） A. B. C. D. 10. 在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重量的读数为，然后小浦在书上面又放上质量为的砝码，显示重量的读数为．根据实验数据可以发现，这一叠书的实际重量是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是______． 12. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 13. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 14. 已知点，在反比例函数（k是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是________． 16. 如图，点O是对角线的中点，沿过点O的直线将折叠，使点A，B分别落在，处，交于点E，交于点F，若点E是的中点，且，则与四边形的面积比为________． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，后求值：，其中 19. 如图，在中，于点D，，． （1）求的长； （2）若，求 的值． 20. 睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A．少于 B． （不含 ） C． （不含 ） D．不少于 （1）求参加问卷调查的人数和m的值； （2）补全条形统计图； （3）若该校有1000名学生，估计该校每天睡眠时长少于 的学生约为多少人？ 21. 尺规作图问题： 已知，是钝角， ，请用尺规作的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心， 长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接交于点P，则点P为的中点． 小明：如图2，作的中垂线，垂足为点M，作 的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，为半径作弧，交边于点P，则点P为的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦……我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． 22. 某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 23. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点 ． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 24. 如图，已知 是的直径，，都是的弦，于点G，交 于点F，且，连结，分别交，于点H，K． （1）求证： ． （2）若 ，求的直径． （3）若点F在半径上， ，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $