精品解析：河南省郑州市十校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025-2026学年上期高二年级期中联考试题 数学学科 命题人：任华丽 审核人：胡启志 郑州市实验高级中学 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 2. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 4. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 A. B. C. D. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1 C. 直线与点的轨迹相离 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 13. 圆与圆的公共弦长为______. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知圆，过点作直线交于，两点． （1）若，求直线的方程； （2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程． 18. 如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）设二面角的大小为，若，求的值； （3）阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模. 19. 在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. （1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; （2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; （3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期高二年级期中联考试题 数学学科 命题人：任华丽 审核人：胡启志 郑州市实验高级中学 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 【答案】D 【解析】 【分析】运用空间向量共线列式计算即可. 【详解】∵，，且， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 2. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则直接求解. 【详解】因为，所以． 因为点，分别是线段，的中点， 所以， 所以． 故选：A. 3. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，利用斜截式方程与截距式方程可判断A选项； 求出直线的斜率，进而可得出所求直线的倾斜角，可判断B选项； 利用直线截距的定义可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线过原点，设该直线的方程为，则， 此时，所求直线的方程为， 若直线不过原点，设所求直线方程为，则，可得， 此时，所求直线方程为. 综上所述，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错； 对于B选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，B错； 对于C选项，直线在轴上的截距为，C对； 对于D选项，过点并且倾斜角为的直线方程为，D错. 故选：C. 4. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以， 又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即. 故选：D 5. 若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的方程，结合双曲线方程的特征列式求解. 【详解】方程 表示双曲线，则，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：D 6. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到，直线过定点，画出图像，根据图像得到答案. 【详解】，即，直线过定点， 画出图像，如图所示： 当直线与半圆相切时，，，. 此时斜率为，根据图像知. 故选：. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点，画出图像是解题的关键. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 8. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可. 【详解】如图所示： 由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则是锐角 C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可. 【详解】对于A，因为直线与平行， 所以，解得，此时直线为，即， 由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确， 对于B，将点代入中， 发现，故该点不在直线上， 即过点且和直线平行的直线方程 不可能是，故B错误， 对于C，当时，直线可化为， 直线为，此时两直线也互相垂直， 所以“”不是“直线与直线互相垂直” 的必要不充分条件，故C错误， 对于D，直线的斜率为，则， 当时，的取值范围是，当时，的取值范围为， 故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：AD 11. 平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1 C. 直线与点的轨迹相离 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】对于A,设，已知，，且. 根据两点间距离公式，. 则.两边平方可得. 展开整理得，配方可得，所以A选项正确. 对于B,点到圆心的距离为. 圆的半径.根据弦长公式，当最大弦长最小，最大为圆心到点的距离.所以弦长最小值为，所以B选项错误. 对于C,圆心到直线的距离. 因为（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确. 对于D,四边形的面积，因为. 要使面积最小，则最小，即圆心到直线的距离与半径的关系.圆心到直线的距离. . 所以四边形面积最小值，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】 将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆所得弦长即可. 【详解】将圆和圆的方程作差并化简得，即两圆公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为坐标原点，半径长为，圆的圆心到直线的距离为， 因此，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，考查计算能力，属于基础题. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 证明：∵， ∴直线过定点. （2） （3）最小值为4，直线方程为. 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【小问1详解】 ∵， ∴直线过定点. 【小问2详解】 ∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. 【小问3详解】 由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 ，，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； 【小问3详解】 因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知圆，过点作直线交于，两点． （1）若，求直线的方程； （2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解； （2）设，利用中点关系结合在圆上即可求解动点的轨迹方程． 【小问1详解】 圆，圆的半径，圆心， 直线与圆心的距离， 若斜率不存在，即，圆心到直线距离， 与圆无交点，不符合题意； 若斜率存在，设直线，即， 由，解得， 直线的方程为， 即或． 【小问2详解】 设，，点是线段的中点， ，即①， 又点在圆上，， 将①代入得，整理得， 点的轨迹方程为：． 18. 如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）设二面角的大小为，若，求的值； （3）阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模. 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）求出点的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合可得出的值； （3）求出异面直线、的公垂线的一个方向向量，结合题中材料可求出异面直线、间的距离. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以、、、、. 若，即为中点，则， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. 【小问2详解】 因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以平面的一个法向量为. 因为二面角的大小为，且， 得， 整理得，解得，或（舍），所以. 【小问3详解】 由（2）得，故，. 设与直线、都垂直， 所以. 令，可得，，即. 又，所以异面直线和间的距离为. 故异面直线和间的距离为定值. 19. 在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. （1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; （2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; （3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标； （3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积. 【小问1详解】 由已知得，又， 且直线过点， 的方程; 【小问2详解】 （2）设直线的斜率分别为， 则. 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； 【小问3详解】 设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $