精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

25—26学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高二年级数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第五节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知点是椭圆的一个焦点，则（ ） A. B. 5 C. D. 7 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 记点，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与平行，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知椭圆两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知高为2斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆（其中）的周长的取值范围为_______． 13. 在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 14. 在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点． （1）若是上一动点，求的周长; （2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由． 17. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 18. 如图，四边形是边长为2、中心为0的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为．设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的最大值． 19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上． （1）求的方程； （2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点． （ⅰ）设，求关于的表达式; （ⅱ）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25—26学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高二年级数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第五节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把一般方程转化为标准方程即可求解. 【详解】方程可化为，所以圆半径为2. 故选：B 2. 已知点是椭圆的一个焦点，则（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系即可得到答案. 【详解】由题意得，则，则. 故选：C 3. 若直线与直线之间的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】由题意知， 又， 解得， 故选：B. 4. 记点，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算圆心到原点的距离，结合圆的半径，求出圆上点到原点距离的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A. 5. 已知空间向量，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据空间向量的模的坐标公式求出即可得解. 【详解】由已知得，则， 即，可得，因此. 故选：C. 6. 已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值，利用余弦定理求解即可. 【详解】当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值， 因为， 所以， 所以. 故选：. 7. 已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过两圆公共弦方程与线段三等分点的结合，求解参数的值. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 圆心距为，由于两圆相交，所以， 将两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简为，即. 线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为. 因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得. 故选：C. 8. 已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可得球的方程为，设的坐标为，的坐标为，结合向量的运算求得，可求结论. 【详解】过点得平面的垂线为，在平面内作两条互相垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则球的方程为， 因为点到距离为3，所以设的坐标为，所以， 设的坐标为，则，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又由平面向量知识可得， 所以， 又因为，所以， 所以，两边平方得， 所以，所以， 解得，所以， 所以点到平面距离的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与平行，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线的一般方程，根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证即可. 【详解】由已知两条直线平行，则，可得， 所以或， 当时，，，满足题设， 当时，，，满足题设， 所以可以是2或3. 故选：BC 10. 已知椭圆的两焦点分别为，若点在的内部，点在的外部，则的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设出椭圆方程，分别代入的坐标列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】由椭圆焦点，，得椭圆中心为，. 设椭圆方程为，其中. 因为点在椭圆外部，所以， 因，故，即. 因为点在椭圆内部，所以，通分整理得， 因式分解得. 因，故，即. 综上，，， 离心率，则. 所以AB选项符合，CD选项不符合. 故选：AB 11. 已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量法，结合坐标运算，向量共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算来确定各选项. 【详解】正方形的边长为2，则是以为直角顶点的等腰直角三角形. 以点为原点，以方向分别为轴，轴正方向， 过点且垂直于底面的直线为轴，向上为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，由四边形是正方形，得， 因为顶点在底面上的射影是点，且棱柱的高为2，所以. 故，则，则， 则，， 故直线与不垂直，A错误. 由.设平面的法向量为. 由，得， 由，得，取，得. 由于，因此向量与共线，也即直线垂直于平面，B正确. 三棱锥体积等价于三棱锥的体积，， 三棱锥的高即到平面的距离，等于1. 故，C正确. ，设直线与的夹角为， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆（其中）的周长的取值范围为_______． 【答案】. 【解析】 【分析】本题通过将圆方程化为标准形式，求出半径的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则半径. 圆的周长. 因为，所以，即，故. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. 【小问1详解】 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. 【小问2详解】 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线交于两点． （1）若是上一动点，求的周长; （2）探究是否成立，若成立，求出的方程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）6 （2）结论不成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义计算出的周长； （2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合建立方程求解. 【小问1详解】 由题意得，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以的周长为. 【小问2详解】 假定成立，设，由得， 则，解得或， 且， 设的中点为，则，， 而，由得， 则，整理得， 此方程无解，所以结论不成立. 17. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. 【小问1详解】 若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． 【小问2详解】 由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 18. 如图，四边形是边长为2、中心为0的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为．设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线的性质得，再利用线面平行的判定即可证明； （2）首先利用椎体体积公式得高为2，设，求出相关向量和平面法向量，写出线面角的正弦值表达式，再利用二次函数性质即可求出最值. 【小问1详解】 由题意，得为的中点，且点是线段的中点， 故是的中位线，故． 又平面，而平面，故平面． 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点，的方向分别为，轴正方向， 垂直于平面向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意可知，． 设四棱锥的高为，由体积公式易有，解得． 又平面平面，且平面平面， 故点在平面内的投影落在直线上． 设点，，则． 由题，为线段上一点，因此点，，三点共线， 即等价于求直线与平面所成角的最大值， 设平面的法向量为．又． 则即， 令，可得平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为． 则． 故当时，取得最小值8，此时取得最大值， 又，由正弦函数单调性可知，此时取得最大值， 即直线与平面所成角的最大值为． 19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，且点在圆上． （1）求的方程； （2）设为圆上三等分圆周的任意三点，设的延长线与分别交于点． （ⅰ）设，求关于的表达式; （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）根据右顶点在圆上求出，然后求出即可得出椭圆方程； （2）（i）设直线的参数方程为：，，代入椭圆求出即的长； （ii）取特殊位置计算出，再根据对称性说明无论在什么位置都为定值. 【小问1详解】 点满足圆的方程：，解得或(舍去)， 又，所以，因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）直线的方向角为，参数方程为：，，. 代入椭圆方程得：， 整理得，， 所以该方程的正根（对应射线方向为）：， 因此，. （ii）三点为圆周的三等分点， 取标准位置：(对应角度)，（对应）(对应)， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 对于，直线的方向为，延长线与椭圆交于另一个点，， 所以. 由于三等分点的对称性和固定位置，该值恒定为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $