精品解析：河北省秦皇岛市第三中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

秦皇岛市第三中学 2025 - 2026 学年度第一学期 期中考试 高二 数学试卷 A 注意事项： 1. 考试时间 120 分钟. 2. 考试总分 150 分 一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分共 40 分） 1. 直线的斜率为（   ） A. x B. y C. 2 D. 1 2. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 4. 若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 5. 过、两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与平行，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 或3 8. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 11. 圆与圆相交于、两点，则（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为4 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 如果直线与直线互相垂直，则实数的值是______. 13. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为__________. 四、解答题（本题共5个题，共77分）（共77分） 15. 求经过点，且满足下列条件的直线的方程； （1）经过点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直； 16. 已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形，求椭圆的标准方程 17. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 18. 如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 点P是圆上一动点，直线，，Q为垂足，M是中点，求M的轨迹方程，并指出它是什么图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学 2025 - 2026 学年度第一学期 期中考试 高二 数学试卷 A 注意事项： 1. 考试时间 120 分钟. 2. 考试总分 150 分 一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分共 40 分） 1. 直线的斜率为（   ） A. x B. y C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解. 【详解】由题意得的斜率为， 故选：C. 2. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程圆心坐标公式进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心坐标为， 所以圆的圆心坐标为． 故选：C 3. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 4. 若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 5. 过、两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程的截距式即可求解. 【详解】设直线方程为，由题意，即直线方程为. 故选：A 6. 直线和的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 7. 已知直线与平行，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】结合两直线平行的条件列式求解，然后代入检验是否平行，即可得解. 【详解】由题意时，由得，则或， 当时，与，两条直线恰好重合，矛盾， 而时，与平行，且不重合，符合题意. 所以m的值为3. 故选：B． 8. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，结合选项逐个验证. 【详解】因为圆的圆心为，半径为； 对于A，圆心到直线的距离，正确； 对于B，圆心到直线的距离，不正确； 对于C，圆心到直线的距离，正确； 对于D，圆心到直线的距离，正确； 故选：ACD. 10. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】依题意，即,解得或. 故选：AB. 11. 圆与圆相交于、两点，则（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为4 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆的公共弦方程计算可判定A，利用弦长公式可计算判定B，利用两直线位置关系结合圆的对称性可判定C，利用圆的性质结合图象可判定D. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以直线过圆心，易知为的中点， 又因，所以，所以垂直平分线段， ，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为 ，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 如果直线与直线互相垂直，则实数的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程，解此方程即可得出的值． 【详解】因为直线与直线互相垂直, 所以，解得. 故答案为：. 13. 直线：被圆：截得的弦AB的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出弦的弦心距即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径， 于是圆心到直线的距离， 从而得，所以弦的长为. 故答案为：. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】由题意可得，，， 则点A到直线的距离为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个题，共77分）（共77分） 15. 求经过点，且满足下列条件的直线的方程； （1）经过点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. 【小问1详解】 根据题意有直线的斜率为，则直线的方程为， 整理有； 【小问2详解】 设与直线平行的直线的方程为，又因为经过点， 所以，即； 【小问3详解】 设与直线垂直的直线方程为，又因为经过点， 所以，即. 16. 已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形，求椭圆的标准方程 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得到关于椭圆参数的方程组，解出即可. 【详解】由题意知：，解得， 所以椭圆的标准方程. 17. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. 【小问2详解】 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 18. 如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由于点，分别为的中点，即为的中位线， 故，又，所以， 又平面，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线及平行线的传递性得到，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，表示点的坐标，并求得平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 点P是圆上一动点，直线，，Q为垂足，M是中点，求M的轨迹方程，并指出它是什么图形． 【答案】M的轨迹方程为，长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆. 【解析】 【分析】设出中点，利用几何关系建立M与点P坐标的关系，代入圆方程整理即可得出M的轨迹方程. 【详解】 不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入,得， 即. 故M的轨迹方程为，M的轨迹是长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $