江西省上进联考2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

江西省2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 满分150分 考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 8 B. 4 C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5.“关于的方程的解集为”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数满足对任意都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（ ） A. 的值不确定 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 7. 对任意，将不大于的正整数中与互质的数的个数记作，且称为欧拉函数.对于，给出下列命题：①；②；③若为质数，则；④若是互质的正整数，则，其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列各组函数中是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可能关于某条直线对称 C. D. 若时，，则时， 11. 已知集合为至少有2个元素的有限数集，集合为非空数集，且，记中最大的元素为，对及，当时恒有，则（ ） A. 存在，对恒有 B. 当时，的取值范围为 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，的取值范围为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______________. 13. 若函数的定义域为，则的取值范围是____________. 14. 已知正数满足，则的最小值为__________；的最小值为___________.（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） （1）用分数指数幂表示：①；②； （2）若，把写成正分数指数幂的形式. 16.（15分） （1）若，解关于的不等式； （2）已知，证明：. 17.（15分） 已知函数. （1）用定义证明在区间上单调递增； （2）若在区间上的值域为，求的值. 18.（17分） 已知使命题“”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为. （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围. 19.（17分） 已知函数. （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值. 参考答案 1.【答案】B 【解析】“”的否定为“”.故选B. 2.【答案】A 【解析】，设，则，所以，故选A. 3.【答案】C 【解析】，故A错误；，故B错误，C正确，D错误.故选C. 4.【答案】D 【解析】，阴影部分表示的集合为，故选D. 5.【答案】B 【解析】若关于的方程的解集为，则或，充分性不成立；若，则关于的方程的解集为，必要性成立，故选B. 6.【答案】B 【解析】中取，得，故A错误；取，得，，且不恒为0，所以是奇函数，不是偶函数，故B正确，C错误；取，得，的值不确定，故D错误，故选B. 7.【答案】A 【解析】不大于6且与6互质的数有1，5，故，故①错误；，故②错误；为质数时1，2，3，……，均与互质，故③正确；取，则，故④错误；故选A. 8.【答案】D 【解析】在区间上的最小值为0，所以在区间上的最小值也为0，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且；当时，在区间上单调递增，所以，由在区间，上的最大值相等，得最大值为1，则，，由，得，所以的取值范围是.故选D. 9.【答案】BD 【解析】的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；定义域相同，对应法则相同，是同一函数，故B正确；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误；定义域均为，且，是同一函数，故D正确.故选BD. 10.【答案】ABD 【解析】因为是奇函数，所以，移项得，，故A正确；是定义域为的奇函数，其图象关于直线对称，故B正确；若，则时不成立，故C错误；若，则，所以，即，故D正确，故选ABD. 11.【答案】AC 【解析】由题意可得，中的所有元素除最大元素外都比中的任意元素小，中的最大元素也可能比中的任意元素小，故A正确；当时，，所以，且，故B错误；当时，方程的两个根都比2大，且5不是中的元素，所以，解得，故C正确；当时，，当且仅当时取等号，所以，当或时，，不满足题意，所以 ，解得或或，故D错误，故选AC. 12.【答案】6 【解析】取，得，取，得，所以. 13.【答案】 【解析】的定义域为，则恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以. 14.【答案】1 2 【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为1. ，当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 15. 解：（1）① ② （2）因为 所以 所以 16. （1）解：由 得 因为，所以， 所以原不等式等价于， 方程的两个根分别为， 且， 所以原不等式的解集为； （2）证明：解法一：因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 解法二：因为，所以 所以. 17.（1）证明：设， 则 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以 所以，即， 所以在区间上单调递增. （2）解：因为在区间上的值域为，且， 所以， 由（1）知，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增， 所以，即是方程的两个根， 解方程得或， 所以. 18.解：（1）若为真命题，则，即， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以； （2）若在区间上单调递增，则解得， 所以， 所以， 因为“”是“”的必要条件， 所以是的子集， 所以或， 所以的取值范围是； （3）“”是“恒成立”的充分条件， 则时，恒成立， 设， 所以或 解得，所以的取值范围是. 19.（1）证明：由，得， 所以 所以 的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数； （2）解：当时，， 在区间上均单调递增， 当时，， ， 当时，，， ， 综上得的值域为； （3）解：， 因为，所以， 设，则，， 所以， 若，当时，的值最小，， 若，当时，的值最小， 若，当时，的值最小，， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $