精品解析：安徽省安庆市第四中学2025-2026学年八年级上期期中数学试题

安庆四中2025－2026学年第一学期 八年级数学期中考试试卷 温馨提示： *你现在拿到的这份试卷满分150分，你将有120分钟的答题时间． *请独立思考，诚信答题，你一定能考出好成绩！ 一、选择题，请将唯一正确答案代号写在题后括号内（每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A. B. C. D. 或 9. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，⋯在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 10. 、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶，货车两小时到达途中站，客车9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列结论：①客、货两车的速度分别为60千米／小时，45千米／小时；②、两站间的距离是540千米；③点横坐标为12；④点E的坐标是．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 已知点、、在一条直线上，则______． 13. 如图，在中，，，，P是边上的动点（不与点B重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，则长度的最小值为 ______． 14. 平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共两小题，每题8分，共16分） 15. 已知点，解答下列各题： （1）若点A在x轴上，求出点A的坐标． （2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 16. 已知：与成正比例，且时， （1）试求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； 四、解答题（本大题共两小题，每题8分，共16分） 17. 的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． （1）请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； （2）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 18. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． （1）点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； （2）若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 五、解答题（本大题共两小题，每题10分，共20分） 19. 如图，有三个论断：①；②；③． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 20. 某重点高中实验班招生，综合考虑考生的中考成绩和校考成绩，方案如下： 考生总成绩按百分制计算，其中中考成绩占，校考成绩占，即 考生总成绩． 已知2025年，该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． （1）设甲同学的中考成绩为，总成绩为，求与的函数关系式． （2）若乙同学的校考成绩比甲多1分，则甲的中考成绩至少比乙高几分，才能使总成绩超过乙？（结果保留整数） 六、（本大题满分12分） 21. 如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． （1）若，求的度数； （2）若的面积为15，，求的长． 七、（本大题满分12分） 22. 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． （1）求出点的坐标； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 八、（本大题满分14分） 23. △ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆四中2025－2026学年第一学期 八年级数学期中考试试卷 温馨提示： *你现在拿到的这份试卷满分150分，你将有120分钟的答题时间． *请独立思考，诚信答题，你一定能考出好成绩！ 一、选择题，请将唯一正确答案代号写在题后括号内（每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，熟练掌握各象限坐标符号(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 是解题关键． 利用平面直角坐标系中各象限坐标符号特征来判断点所在象限． 【详解】解： ∵ 点横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征 ∴ 点在第四象限 故选：D ． 2. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有多个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 4. 对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了如何正确举反例，举反例就是要符合题设不符合结论，根据这个进行举反例．对于要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子进行判断即可． 【详解】解：选项A：此时，不满足，排除； 选项B：此时，不满足，排除； 选项C：此时，且，结论成立，排除； 选项D：此时，满足，但，结论不成立； 因此，D是符合要求的反例． 故选：D ． 5. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数图象与性质，先根据正比例函数图象判断的正负，再根据一次函数的图象判断a和b，即可判断答案． 【详解】解：．由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项正确，符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ．由正比例函数可知， 由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； 故选：． 8. 等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 已知给出了其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，则另一腰也为，底边为， ∵， ∴边长分别为不能构成三角形； 当底边长为时，腰的长， ∵， ∴边长为，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是． 故选C． 9. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，⋯在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，当时，，解得，所以 点，又四边形为正方形，则点，同理可得出：，，，，，所以，，，，，从而得出（为正整数），然后把代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得， ∴ 点， ∵四边形为正方形， ∴点， 同理，可得出：，，，，， ∴，，，，， ∴（为正整数）， ∴当时，，即， 故选：． 10. 、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶，货车两小时到达途中站，客车9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列结论：①客、货两车的速度分别为60千米／小时，45千米／小时；②、两站间的距离是540千米；③点横坐标为12；④点E的坐标是．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用等知识点，从函数图象正确获取信息是解题关键． ①设客车的速度为千米/小时，从而可得货车的速度为千米/小时，根据货车行驶2小时到达C站，客车行驶9小时到达C站可求出的长，再根据列方程求解即可得；②根据客车的速度和其到达C站的时间即可得；③根据货车速度可得其到达A地所用时间，由此即可得；④先求出两车相遇的时间，再根据客车的速度求出相遇位置离C站的距离即可得． 【详解】解：设客车的速度为千米/小时，则货车的速度为千米/小时，由函数图象得：货车行驶2小时到达C站，客车行驶9小时到达C站，则， 解得：， 所以客车的速度为60千米/小时，货车的速度为45千米/小时，说法①正确； A,C两站间的距离是（千米），说法②正确； 货车到达A地所用时间为（小时）， 则点P的横坐标为14，说法③错误； 两车相遇的时间为（小时）， 则相遇位置离C站的距离为（千米）， 所以点E的坐标为，说法④错误； 综上，正确的说法个数有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 12. 已知点、、在一条直线上，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为， 将和代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：． 故答案为：4 13. 如图，在中，，，，P是边上的动点（不与点B重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，则长度的最小值为 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据求出的长，由翻折的性质可知点的运动轨迹是以C点为圆心，以长为半径的圆．由得当A、、C三点共线时最小，由此可求出的最小值． 【详解】 ，， ， ， 解得． ∵翻折后始终等于， ∴点的运动轨迹是以C点为圆心，以长为半径的圆， ， ∴当A、、C三点共线时，， 此时最小， ∴长度的最小值． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，及求线段的最值问题，解题的关键是找到点的运动轨迹． 14. 平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 三、解答题（本大题共两小题，每题8分，共16分） 15. 已知点，解答下列各题： （1）若点A在x轴上，求出点A的坐标． （2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标特征； （1）根据点在x轴上可知纵坐标为0，进而问题可求解； （2）根据平行于y轴的线上所有的点的横坐标相等可得方程，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：因为点A在x轴上，所以，则， 所以， 即点A的坐标为； 【小问2详解】 解：由点B的坐标为，且轴，可知：， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为． 16. 已知：与成正比例，且时， （1）试求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，正比例的性质； （1）已知与成正比例，可设，把，代入求出k的值，从而可得函数解析式； （2）在解析式中，令求出x即可． 【小问1详解】 因为与成正比例，所以可设， 将，代入，得， 解得：， 所以与之间的函数关系式为：，即； 【小问2详解】 将代入得：， 解得：． 四、解答题（本大题共两小题，每题8分，共16分） 17. 的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． （1）请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； （2）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标系中图形的平移与坐标变化，熟练掌握坐标系中图形的平移规律是解题的关键， （1）根据点移到点，得到平移规律，从而得到答案； （2）根据（1）中的平移规律即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可得：，，， ∵点移到点， ∴平移规律为：横坐标向左平移5个单位，纵坐标向下平移2个单位， ∴，， 依次连接，即可得到，如图所示： 故答案为： 【小问2详解】 解：∵点为内部的点， ∴根据（1）中的平移规律可得：， 故答案为：． 18. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． （1）点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； （2）若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 【答案】（1）与 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据点得， 点的一对“友好点”的坐标是与． （2）根据点得，，故点的一对“友好点”和，结合和都在直线上，建立方程组求k的值即可． 本题考查了一次函数的新定义，解方程组，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”的坐标是与． 故答案为：与． 【小问2详解】 解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”和， ∵和都在直线上， ∴， 解得， 故k的值为20． 五、解答题（本大题共两小题，每题10分，共20分） 19. 如图，有三个论断：①；②；③． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】（1）命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查命题与定理问题，平行线的判定和性质、对顶角相等知识，分情况证明是解题的关键． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【小问1详解】 解：命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． 【小问2详解】 解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 20. 某重点高中实验班招生，综合考虑考生的中考成绩和校考成绩，方案如下： 考生总成绩按百分制计算，其中中考成绩占，校考成绩占，即 考生总成绩． 已知2025年，该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． （1）设甲同学的中考成绩为，总成绩为，求与的函数关系式． （2）若乙同学的校考成绩比甲多1分，则甲的中考成绩至少比乙高几分，才能使总成绩超过乙？（结果保留整数） 【答案】（1） （2）4分 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，以及不等式的求解，解决本题的关键是读懂题意，表示总成绩的函数关系式． （1）根据题目所给考生总成绩，结合该地中考总分，校考总分以及甲同学的校考成绩表示即可． （2）设乙的中考成绩为，总成绩为，再表示乙的总成绩，作差，即，求解即可． 【小问1详解】 解：∵该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． 设甲同学的中考成绩为，总成绩为， ∴， 即． 【小问2详解】 解：设乙的中考成绩为，总成绩为， 则， 令， 即，解得， 所以甲的中考成绩至少比乙高4分，才能使总成绩超过乙． 六、（本大题满分12分） 21. 如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． （1）若，求的度数； （2）若的面积为15，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 七、（本大题满分12分） 22. 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． （1）求出点的坐标； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】（1） （2）当时， （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得，， 解得，， 点坐标为：； 【小问2详解】 解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； 【小问3详解】 解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 八、（本大题满分14分） 23. △ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）∠AOC＝∠ODC，理由见解析；（2）①见解析；②70° 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝（180°−∠ABC），∠OBC＝∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论； （2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°−∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE＝（∠BAC＋∠ACB），∠FCB＝ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）∠AOC＝∠ODC， 理由：∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）， ∵∠OBC＝∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠ODC＝90°+∠OBD， ∴∠AOC＝∠ODC； （2）①∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO， ∵∠ODB＝90°﹣∠OBD， ∴∠FBE＝∠ODB， ∴BF∥OD； ②∵BF平分∠ABE， ∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB）， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠FCB＝∠ACB， ∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC， ∵∠F＝35°， ∴∠BAC＝2∠F＝70°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $