2.2有理数的乘法与除法（基础篇）2025-2026学年人教版数学七年级上册

2.2有理数的乘法与除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数乘法的运算律 （1） 乘法的交换律：ab=ba； （2） 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 有理数除法法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 倒数 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负 倒数等于本身的数：1，-1 型 习 练 题 两个有理数的乘法运算 1．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 多个有理数的乘法运算 3．在，，，，这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（  ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 有理数乘法的实际应用 5．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 倒数 7．下列各数中，与实数25互为倒数的是（    ） A．25 B．52 C． D． 8．的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 有理数乘法运算律 9．用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．，应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 有理数的除法运算 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 有理数除法的应用 13．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 14．已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 有理数乘除混合运算 15．计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 16．计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 有理数乘除中的简便运算 17．计算： (1)； (2)． 18．简便计算： (1)； (2)． 有理数四则混合运算 19．计算 (1)； (2)； (3)． 20．计算：． 有理数四则混合的实际应用 21．江津区是著名的“中国花椒之乡”，其特产的青花椒以麻味纯正、香气浓郁而闻名．小王闻名已久，在6月份某天以每千克元的价格购进一批青花椒．连续销售6天后还剩余千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售千克青花椒为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是小王连续六天青花椒销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售______千克青花椒． (2)小王这次共购进青花椒多少千克？ (3)若小王以每千克元的价格开始出售这批青花椒，销售四天后，最后两天决定按原售价打折让利销售．试计算小王在这批青花椒销售过程中共获得利润多少元？ 22．学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负数表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 袋数 1 4 2 3 6 4 (1)20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重______千克； (2)求20袋土豆的平均质量？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2有理数的乘法与除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 有理数乘法的运算律 （1） 乘法的交换律：ab=ba； （2） 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 有理数除法法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 倒数 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负 倒数等于本身的数：1，-1 型 习 练 题 两个有理数的乘法运算 1．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的加法、乘法和减法运算法则逐一判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法及加法运算，熟练掌握有理数的乘法及加法运算是解题的关键；由可知a、b异号，由可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b异号； ∵，∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值， 选项A：，，，不符合； 选项B：，，，不符合； 选项C：，，符合条件； 选项D：，，，不符合； 故选C． 多个有理数的乘法运算 3．在，，，，这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．根据几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；所以根据题中的五个数，要找出三个数相乘，所得的积最大，需考虑选两个负数且绝对值较大的，再选正数里面绝对值较大的，进一步可得答案． 【详解】解：∵ 数字为，，，，，任取三个数相乘，所得的积最大， ∴选两个负数且绝对值较大的，再选正数里面绝对值较大的， ∴积最大为． 故选：C． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的绝对值、乘法和加法运算．根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数；乘法法则：同号得正，异号得负；加法法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 故选：D． 有理数乘法的实际应用 5．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，每天变化为-4 cm，3天后水位变化为每天变化与天数的乘积，据此求解即可． 【详解】解：∵水位下降为负， ∴每天变化为． ∵经过3天， ∴总变化为， 故选：C． 6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，算出前五天累计所打的墙厚，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 第一天：大鼠打1尺，小鼠打1尺，累计共尺， 第二天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第三天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第四天：大鼠打尺，小鼠打尺，累计共尺， 第五天：大打尺，小打尺，累计共尺， ∵墙厚为20尺，， 故在第五天相逢， 故需要5天时间才能打穿， 故选：B． 倒数 7．下列各数中，与实数25互为倒数的是（    ） A．25 B．52 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数．计算25与各选项的乘积，仅D选项满足条件． 【详解】解：∵， ∴ 与25互为倒数的数是． 故选D． 8．的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义，是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解： ∵的倒数为 ， ∴ 故选：B. 有理数乘法运算律 9．用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律：或，熟练掌握有理数乘法的分配律是解题关键．根据有理数乘法的分配律解答即可得． 【详解】解：方法一：． 方法二： ． 故选：C． 10．，应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的分配律，根据乘法的分配律即可得出答案，掌握乘法的分配律是解题的关键． 【详解】解：根据乘法分配律可得：， 故选：C． 有理数的除法运算 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分数的除法运算，核心是掌握除以一个分数等于乘以它的倒数的规则． 利用分数的除法运算法则进行判断即可． 【详解】，A选项是正确的，符合题意； ，B选项是错误的，不符合题意； ，C选项是错误的，不符合题意； ，D选项是错误的，不符合题意； 故选：A． 12．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 依据有理数的加减乘除法则直接计算每个选项，根据结果判断正确性即可． 【详解】A．，∴ A错误，不符合题意； B．，∴ B错误，不符合题意； C．，∴ C错误，不符合题意； D．，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 有理数除法的应用 13．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【答案】C 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，单循环比赛的总场次计算公式为：总场次球队数 (球队数) ． 【详解】解：∵ 有13支球队，每支球队需要与其他12支球队各比赛一场， ∴ 总比赛场次为（场）． 故选：C． 14．已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的减法的实际应用，除法的实际应用，理解题意，列出正确的算式是解本题的关键. 先求解温度差，再利用这个温差除以下降的速度即可. 【详解】解：， （分）. 故选：A. 有理数乘除混合运算 15．计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序计算，并注意负号的处理．乘除为同级运算，应依次进行．按照从左至右的顺序计算即可． 【详解】解： ， ． ∴ 最终结果为 9． 故选： D． 16．计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行约分计算即可． 【详解】解：； 故选A． 有理数乘除中的简便运算 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 有理数四则混合运算 19．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键． （1）利用加法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起进行计算． （2）将除法转化为乘法，再根据乘法法则进行计算． （3）利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法． 【详解】解： ． 有理数四则混合的实际应用 21．江津区是著名的“中国花椒之乡”，其特产的青花椒以麻味纯正、香气浓郁而闻名．小王闻名已久，在6月份某天以每千克元的价格购进一批青花椒．连续销售6天后还剩余千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售千克青花椒为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是小王连续六天青花椒销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售______千克青花椒． (2)小王这次共购进青花椒多少千克？ (3)若小王以每千克元的价格开始出售这批青花椒，销售四天后，最后两天决定按原售价打折让利销售．试计算小王在这批青花椒销售过程中共获得利润多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先找出销售量最多的一天，销售量最少的一天，相减即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）先求出前四天的销售额，再求出后两天的销售额，然后求出小王在这批青花椒销售过程中共获得利润． 【详解】（1）解：千克． （2）（千克）． （3）千克， 元， 千克， 元， 元， 元， 答：小王在这批青花椒销售过程中共获得利润元． 22．学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负数表示，记录如下： 每袋与标准重量的差（千克） 0 2 袋数 1 4 2 3 6 4 (1)20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重______千克； (2)求20袋土豆的平均质量？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1) (2)千克 (3)2016元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）最重的一袋为千克，最轻的一袋为千克（每袋与标准重量的差），据此求解即可； （2）求出这20袋与标准重量的差的平均值，再加上50即可得到答案； （3）根据（2）所求求出土豆的总重量，再乘以售价即可得到答案． 【详解】（1）解：千克， ∴20袋土豆中，最重的一袋比最轻的一袋要重千克； （2）解： 千克， 答：20袋土豆的平均质量为千克； （3）解：元， 答：买这20袋土豆共需2016元． 学科网（北京）股份有限公司 $