2.2 有理数的乘法与除法 同步练习课后作业-2025-2026学年七年级数学上册（基础过关+易错警示+能力提升+思维拓展）（人教版）

2.2 有理数的乘法与除法 模块一 有理数乘法法则 【基础过关】 1．（2024秋•衡山县期中）的倒数的相反数是　 ． 2．（2023秋•丘北县月考）下列说法错误的是（　　） A．任何有理数都有倒数 B．互为倒数的两个数的积为1 C．互为倒数的两个数同号 D．1和﹣1互为负倒数 3．下列说法中正确的有（　　） ①两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数；②两数相乘，若积为负数，则这两个数异号；③两个数的积为0，则这两个数都为0；④互为相反数的两数之积一定是负数；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；⑥一个数的倒数一定小于这个数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知一个数的相反数是2，另一个数的绝对值是2，则这两个数的积为 　 　 ． 【能力进阶】 5．（2024•株洲）如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间（　　） A．点E和点F B．点F和点G C．点G和点H D．点H和点I 6．（2024秋•漳州期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 7．（2023秋•内乡县期中）在﹣2，3，4，﹣5中，任取两个数相乘，所得积最小的是（　　） A．﹣10 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣8 8．（2021秋•银川校级期末）已知|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，则x+y的值为（　　） A．﹣10 B．﹣4 C．﹣10或﹣4 D．4 9．（2023秋•未央区校级月考）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中，正确的个数有（　　） ①如果ad＞0，则一定会有bc＞0； ②如果bc＞0，则一定会有ad＞0； ③如果bc＜0，则一定会有ad＜0； ④如果ad＜0，则一定会有bc＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 10．某数学小组的10名同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第一名同学开始，每名同学依次报自己序号的倒数的2倍加1，第1名同学报（1），第2名同学报（1），第3名同学报（1），…，这样得到的10个数的积为（　　） A．36 B．45 C．66 D．78 11．（2024秋•长沙月考）计算： （1）； （2）（﹣4）×（﹣12）﹣（﹣5）×|﹣11|． 【思维拓展】 12．规定一种新运算“※”，对于有理数a，b，有a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5．根据上面的规定解答问题： （1）求7※（﹣3）的值； （2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？ 模块二 有理数的乘法运算律及多个有理数相乘 【基础过关】 13．（2023秋•林州市月考）下列各式结果的符号为负的是（　　） A．﹣2×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4） B．（﹣2）×3×（+4）×（﹣1） C．（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2） D．（+15.9）×（﹣2018）×（﹣2019）×0 14．（2025•济南）利用因式分解简便计算57×99+44×99﹣99正确的是（　　） A．99×（57+44）＝99×101＝9999 B．99×（57+44﹣1）＝99×100＝9900 C．99×（57+44+1）＝99×102＝10098 D．99×（57+44﹣99）＝99×2＝198 15．计算15（），最简便的方法是（　　） A．（15）×（） B．（16）×（） C．（） D．（10+5）×（） 16．计算：（﹣0.4）×125×（﹣25）×（﹣0.08）＝　 　 ． 【能力进阶】 17．（2024秋•宛城区月考）在数5、﹣6、3、﹣2、1中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大是　 　 ． 18．如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于 　 ． 19．（2024秋•长寿区期中）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 　 　 ． 20.计算： 21.计算： 【思维拓展】 22．（2023秋•汝州市月考）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题： 计算：71（﹣8），看谁算得又对又快． 下面是两名同学给出的不同解法： 小强：原式8575． 小丽：原式＝（71）×（﹣8）＝71×（﹣8）（﹣8）＝﹣575． （1）对以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ （2）你还有其他解法吗？如果有，那么请写出解答过程． （3）你能用简便方法计算﹣99198吗？如果能，那么请写出简答过程． 模块三 有理数的除法法则 【基础过关】 知识点一 有理数除法法则 知识梳理 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a÷b＝a· (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0. 23．（2024秋•岱岳区期中）计算（﹣6）÷（）的结果是（　　） A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2 24．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 25．（2024秋•良庆区月考）下列说法正确的是（　　） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于﹣1 D．两数相除，商一定小于被除数 26．若两个数的和为负数，商也为负数，则这两个数（　　） A．同为负数 B．同为正数 C．一正一负且正数的绝对值较大 D．一正一负且负数的绝对值较大 知识点二 有理数乘除混合运算 知识梳理 因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算. 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果. 27．（2022春•普陀区期中）计算：（）×（）÷（﹣3）． 28．（2022春•杨浦区期中）计算：1． 【能力进阶】 29．（2025•南通模拟）若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 30．被除数是﹣5，商是，则除数是　 　 ． 31．（2024秋•南宁期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0：当a＜0时，|a|＝﹣a．请用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，　 　 ，当a＝﹣2时，　 　 ； （2）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，求的值． （3）已知|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值． 32．规定运算：a△b＝（），如2△3＝（）．求（△7）△14． 【思维拓展】 33．若a＞0，b＞0，且1，则a＞b；若a＜0，b＜0，且1，则a＜b，以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法，试利用作商比较法比较与的大小． 模块四 有理数的加减乘除混合运算 【基础过关】 知识点一有理数的加减乘除混合运算 知识梳理 （1）有理数的混合运算，在没有括号的前提下，先做____，再算____，同级运算_______________，如果有括号的先做____________，和小学里的四则运算顺序相一致. （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律，简化运算。 34．（2024秋•临沭县月考）下列计算：①0﹣（﹣3）＝﹣3； ②（﹣2）+（﹣8）＝﹣10； ③（﹣28）÷（）＝14； ④（﹣24）÷6＝﹣4； ⑤4÷3（）＝4÷（﹣1）＝﹣4，其中错误的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35．（2023•南京）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（　　） A．7 B．8 C．21 D．36 36．在等式[3+（﹣13）﹣□]÷（﹣3）×2＝6中，□表示的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．0 知识点二 有理数的除法运算的实际应用 知识梳理 （1）根据题意列出除法的算式 （2）根据混合运算的计算法则进行计算 37．有资料表明：某地区高度每增加100米，气温下降0.8℃．某数学兴趣小组的同学们由此想出了测量山峰高度的方法：一名同学在山脚，一名同学在山顶，他们同时在上午9时整测得山脚和山顶的气温分别为18℃和15.2℃，求该山峰的高度． 38．（2024秋•偃师区月考）某冷冻厂的一个冷库现在的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣28℃下冷藏，如果每小时能降4℃，那么需要 　 小时才能降到所需的温度． 【能力进阶】 39．已知a，b为有理数，且|a+5|+|b﹣3|＝0，则（a+b）[﹣a﹣（﹣b）]的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 40．（2023•牡丹江）请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数﹣2，4，﹣6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 　 　 （只写一种） 41．（2024秋•新泰市期中）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值是，则输出的结果是　 ． 42．（2023秋•岳阳楼区期中）若a，b互为相反数，且a≠0，c、d互为倒数，|m|＝3，求的值． 43．（2022秋•前郭县期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　 步，错误原因是 　 　； 第二处是第 　 步，错误原因是 　 　； （2）请写出正确的结果 　 ． 44．（2021秋•平罗县期末）计算：． 45．（2023秋•乳山市期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果为24或﹣24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J，Q，K，A分别代表11，12，13，1．（说明：对于数12，1，可以列式得出121＝12或112＝1） 通过列式计算解决下列问题： （1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，能凑成24吗？ （2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，能凑成24吗？ （3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，能凑成24吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1有理数的乘法 模块一 有理数乘法法则 【基础过关】 1．（2024秋•衡山县期中）的倒数的相反数是　5　 ． 【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 【详解】解：的倒数是﹣5， ﹣5的相反数是5， 则的倒数的相反数是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相反数、倒数，掌握相反数、倒数的定义是解答此题的关键． 2．（2023秋•丘北县月考）下列说法错误的是（　　） A．任何有理数都有倒数 B．互为倒数的两个数的积为1 C．互为倒数的两个数同号 D．1和﹣1互为负倒数 【分析】选项A要特别考虑0；B、C两个选项考查了倒数的定义；D选项1和﹣1互为负倒数． 【详解】解：A、0是有理数，但0没有倒数．故本选项错误． B、数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．故本选项正确． C、倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，所以互为倒数的两个数同号．故本选项正确． D、1和﹣1互为负倒数，故本选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了倒数的定义和性质，特别注意：0是有理数，但0没有倒数；1和﹣1互为负倒数． 3．下列说法中正确的有（　　） ①两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数；②两数相乘，若积为负数，则这两个数异号；③两个数的积为0，则这两个数都为0；④互为相反数的两数之积一定是负数；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；⑥一个数的倒数一定小于这个数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同零相乘都得零．逐一分析探讨得出结论即可． 【详解】解：①两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数，或都是负数，故这个说法错误； ②两数相乘，若积为负数，则这两个数异号，故这个说法正确； ③两个数的积为0，则这两个因数至少有一个为0，故这个说法错误； ④互为相反数的两数之积一定是负数或0，故这个说法错误； ⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，故这个说法正确； ⑥一个数的倒数不一定小于这个数，故这个说法错误． 由上可得，②、⑤是正确的， 故选：B． 【点睛】此题考查有理数的乘法法则，加深对乘法法则的理解和掌握是解决问题的关键． 4．已知一个数的相反数是2，另一个数的绝对值是2，则这两个数的积为 　±6　 ． 【分析】根据相反数与绝对值分别求出这两个数，再利用有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵一个数的相反数是2， ∴这个数为﹣2， ∵另一个数的绝对值是2， ∴这个数为：±2， 当另外一个数为时， ∴这两个数的积为：2（﹣2）＝﹣6， 当另外一个数为时， ∴这两个数的积为：﹣2（﹣2）＝6． 故答案为：±6． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，相反数与绝对值，解题的关键是由相反数与绝对值分别求出这两个数． 【能力进阶】 5．（2024•株洲）如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间（　　） A．点E和点F B．点F和点G C．点G和点H D．点H和点I 【分析】根据倒数的定义即可判断； 【详解】解：的倒数是， ∴在G和H之间， 故选：C． 【点睛】本题考查倒数的定义，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．（2024秋•漳州期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【详解】解：根据图形可知，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， 所以a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，有理数的加法，数轴，掌握有理数的运算法则是解本题的关键． 7．（2023秋•内乡县期中）在﹣2，3，4，﹣5中，任取两个数相乘，所得积最小的是（　　） A．﹣10 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣8 【分析】要使结果最小，则乘积是负数，因此根据有理数比较大小的方法可知只需要选择最小的负数和最大的正数，所得的积即为最小． 【详解】解：由题意得，当选择﹣5和4时，所得的积最小，最小为﹣5×4＝﹣20， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则． 8．（2021秋•银川校级期末）已知|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，则x+y的值为（　　） A．﹣10 B．﹣4 C．﹣10或﹣4 D．4 【分析】根据|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，可以确定x、y的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， ∵x﹣y＞0，xy＜0， ∴x＝3，y＝﹣7， ∴x+y＝3+（﹣7）＝﹣4． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加法、绝对值、有理数的减法、有理数的乘法，解题的关键是能根据题目中的信息确定x、y的值． 9．（2023秋•未央区校级月考）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中，正确的个数有（　　） ①如果ad＞0，则一定会有bc＞0； ②如果bc＞0，则一定会有ad＞0； ③如果bc＜0，则一定会有ad＜0； ④如果ad＜0，则一定会有bc＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【分析】利用数轴知识和有理数的乘法判断即可． 【详解】解：由数轴可知，a＜b＜c＜d ∴如果ad＞0，则一定会有bc＞0，①正确； 如果bc＞0，则不一定会有ad＞0，②错误； 如果bc＜0，则一定会有ad＜0，③正确； 如果ad＜0，则不一定会有bc＜0，④错误； ∴①③正确 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．某数学小组的10名同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第一名同学开始，每名同学依次报自己序号的倒数的2倍加1，第1名同学报（1），第2名同学报（1），第3名同学报（1），…，这样得到的10个数的积为（　　） A．36 B．45 C．66 D．78 【分析】分别求出10个数，再求和即可． 【详解】解：由题意可得，10个数依次是，，，，，，，，，， ∴66， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，确定10个数并计算是解题的关键． 11．（2024秋•长沙月考）计算： （1）； （2）（﹣4）×（﹣12）﹣（﹣5）×|﹣11|． 【分析】（1）先把带分数化为假分数，然后进行乘法计算，再计算减法，即可求解； （2）先计算出绝对值，再算乘法，最后计算减法，即可求解． 【详解】解：（1） ＝﹣6﹣1 ＝﹣7； （2）（﹣4）×（﹣12）﹣（﹣5）×|﹣11| ＝（﹣4）×（﹣12）﹣（﹣5）×11 ＝48﹣（﹣55） ＝103． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和计算法则进行计算． 【思维拓展】 12．规定一种新运算“※”，对于有理数a，b，有a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5．根据上面的规定解答问题： （1）求7※（﹣3）的值； （2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？ 【分析】（1）把所给定义式中的a换成7、b换成﹣3代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※（﹣3）与（﹣3）※7的值，然后比较计算结果即可． 【详解】解：（1）7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21； （2）不相等．理由是： ∵7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21，（﹣3）※7＝（﹣3+2）×2﹣7＝﹣2﹣7＝﹣9， 即：21≠﹣9 ∴7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 模块二 有理数的乘法运算律及多个有理数相乘 【基础过关】 13．（2023秋•林州市月考）下列各式结果的符号为负的是（　　） A．﹣2×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4） B．（﹣2）×3×（+4）×（﹣1） C．（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2） D．（+15.9）×（﹣2018）×（﹣2019）×0 【分析】根据乘法运算法则确定符号，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、﹣2×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4），四个负数相乘，结果为正数，故本选项错误，不符合题意； B、（﹣2）×3×（+4）×（﹣1），两个负数相乘，结果是正数，故本选项错误，不符合题意； C、（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2），三个负数相乘，结果是负数，故本选项正确，符合题意； D、（+15.9）×（﹣2018）×（﹣2019）×0，结果是0，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握同号相乘得正，异号相乘得负是关键． 14．（2005•济南）利用因式分解简便计算57×99+44×99﹣99正确的是（　　） A．99×（57+44）＝99×101＝9999 B．99×（57+44﹣1）＝99×100＝9900 C．99×（57+44+1）＝99×102＝10098 D．99×（57+44﹣99）＝99×2＝198 【分析】提取公因式99，计算后直接选取答案． 【详解】解：57×99+44×99﹣99， ＝99×（57+44﹣1），（提公因式法） ＝99×100， ＝9 900． 故选：B． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，将数字问题转化为因式分解来解决使运算更加简便，注意不要漏项． 15．计算15（），最简便的方法是（　　） A．（15）×（） B．（16）×（） C．（） D．（10+5）×（） 【分析】根据题意将原式变形即可求得答案． 【详解】解：原式变形为（16）×（）后利用乘法分配律计算最为简便， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16．计算：（﹣0.4）×125×（﹣25）×（﹣0.08）＝　﹣100　 ． 【分析】利用乘法的交换律与结合律进行计算即可得到答案． 【详解】解：原式＝[（﹣0.4）×（﹣25）]×[125×（﹣0.08）]＝10×（﹣10）＝﹣100． 故答案为：﹣100． 【点睛】此题考查的是有理数的乘法，利用乘法的交换律与结合律是解决此题的关键． 【能力进阶】 17．（2024秋•宛城区月考）在数5、﹣6、3、﹣2、1中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大是　60　 ． 【分析】根据正数大于0，大于负数，以及几个有理数相乘，负号的个数为奇数个时，积为负，负号的个数为偶数个时，积为正，进行求解即可． 【详解】解：由题可知，在数5、﹣6、3、﹣2、1中，任意取3个不同的数相乘，乘积最大时一定为正数， 所以当三个因数都为正数时，积为1×3×5＝15， 所以当由两个因数为负数，另一个为最大的正数时，积为﹣6×（﹣2）×5＝60， ∵60＞15， ∴乘积最大是60； 故答案为：60． 【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握符号法则，以及运算法则是解题的关键． 18．如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3﹣m）（3﹣n）（3﹣p）（3﹣q）＝9，那么m+n+p+q等于 　12　 ． 【分析】根据9＝3×1×（﹣3）×（﹣1），可令3﹣m＝3、3﹣n＝1、3﹣p＝﹣3、3﹣q＝﹣1，求解后求和即可． 【详解】解：∵m、n、p、q是4个不相等的偶数， ∴（3﹣m）、（3﹣n）、（3﹣p）、（3﹣q）均是整数，并且互不相同， ∵根据题意，9＝3×1×（﹣3）×（﹣1）， ∴可令3﹣m＝3、3﹣n＝1、3﹣p＝﹣3、3﹣q＝﹣1， 解得：m＝0、n＝2、p＝6、q＝4， 所以m+n+p+q＝0+2+6+4＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的性质，掌握把9表示成4个不同整数相乘的形式是关键． 19．（2024秋•长寿区期中）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 　210　 ． 【分析】由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：由图得：﹣1×（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝24， ﹣1×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝60， ﹣1×（﹣4）×（﹣5）×（﹣6）＝120， ∴﹣1×（﹣5）×（﹣6）×（﹣7）＝210， 故答案为：210． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 20.计算： 解：（1）原式=4.97. （3）原式=25. （3）原式=-6. 21.计算： 解：（1）原式=-90. （2）原式=-13.34. 3.计算： 【思维拓展】 22．（2023秋•汝州市月考）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题： 计算：71（﹣8），看谁算得又对又快． 下面是两名同学给出的不同解法： 小强：原式8575． 小丽：原式＝（71）×（﹣8）＝71×（﹣8）（﹣8）＝﹣575． （1）对以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ （2）你还有其他解法吗？如果有，那么请写出解答过程． （3）你能用简便方法计算﹣99198吗？如果能，那么请写出简答过程． 【分析】（1）根据计算过程判断即可； （2）先把71（﹣8）写成﹣（72）×8，再利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）先约分得到原式＝﹣98×198，再变形为﹣（100﹣2）×198，利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：（1）小丽的解法更好，利用乘法分配律计算运算量小； （2）71（﹣8） ＝﹣（72）×8 ＝﹣72×88 ＝﹣576 ＝﹣575； （3）﹣99198 ＝﹣98×198 ＝﹣（100﹣2）×198 ＝﹣100×198+2×198 ＝﹣19800+396 ＝﹣19404． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解利用运算定律可以使计算更加简便是解题的关键． 模块三 有理数的除法法则 【基础过关】 知识点一 有理数除法法则 知识梳理 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a÷b＝a· (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0. 23．（2024秋•岱岳区期中）计算（﹣6）÷（）的结果是（　　） A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2 【分析】先把除法变成乘法，再计算出结果即可． 【详解】解：（﹣6）÷（） ＝6×3 ＝18， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数除法的运算能力，关键是能按照法则先把除法变成乘法，再确定结果符号和绝对值即可． 24．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【详解】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 25．（2024秋•良庆区月考）下列说法正确的是（　　） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于﹣1 D．两数相除，商一定小于被除数 【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可． 【详解】解：A.0除以任何一个非0数等于0，0除以0没有意义，选项不符合题意； B.1除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数，选项错误，不合题意； C．一个不为0的数除以它的相反数商为﹣1，选项正确，符合题意； D．如0除以一个非0数商为0，商却等于这个被除数，选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，正确理解除法法则是解题的关键． 26．若两个数的和为负数，商也为负数，则这两个数（　　） A．同为负数 B．同为正数 C．一正一负且正数的绝对值较大 D．一正一负且负数的绝对值较大 【分析】首先根据两个数的商为负数，可得：这两个数一个正数，一个负数；然后根据两个数的和为负数，可得：负数的绝对值较大． 【详解】解：∵两个数的商为负数， ∴这两个数一个正数，一个负数； ∵两个数的和为负数， ∴负数的绝对值较大， ∴这两个数一正一负且负数的绝对值较大． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法、除法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 知识点二 有理数乘除混合运算 知识梳理 因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算. 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果. 27．（2022春•普陀区期中）计算：（）×（）÷（﹣3）． 思路引领：先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可． 解：原式 ． 解题秘籍：本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关法则． 28．（2022春•杨浦区期中）计算：1． 思路引领：把带分数化成假分数，把除法转化为乘法，约分即可得出答案． 解：原式（） ． 解题秘籍：本题考查了有理数的乘除法，掌握除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数是解题的关键． 【能力进阶】 29．（2025•南通模拟）若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】先根据绝对值的性质求出m，n，再选取符合已知条件的m，n的值，最后把m，n的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵|m|＝2，|n|＝3， ∴m＝±2，n＝±3， ∵|m+n|＝m+n， ∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3， 当m＝2，n＝3时，； 当m＝﹣2，n＝3时，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的加法和除法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则和除法法则． 30．被除数是﹣5，商是，则除数是　6　 ． 【分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵被除数是﹣5，商是， ∴除数是：﹣5（）＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 31．（2024秋•南宁期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0：当a＜0时，|a|＝﹣a．请用这种方法解决下列问题： （1）当a＝3时，　1　 ，当a＝﹣2时，　﹣1　 ； （2）已知a，b是有理数，当a＜0，b＞0时，求的值． （3）已知|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值． 【分析】（1）直接将a＝3，a＝﹣2代入求出答案； （2）分别利用a＜0，b＞0，得出1，1，分得出答案； （3）根据|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，得出a＝4，b＝7，或a＝﹣4，b＝7，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1）当a＝3时，1； 当a＝﹣2时，1； 故答案为：1；﹣1． （2）若a，b是有理数，a＜0，b＞0时， 1+1＝0； （3）∵|a|＝4，|b|＝7， ∴a＝±4，b＝±7， 又∵a＜b， ∴a＝4，b＝7，或a＝﹣4，b＝7， ∴a+b＝4+7＝11，或a+b＝﹣4+7＝3． 故a+b的值为：11或3． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论是关键． 32．规定运算：a△b＝（），如2△3＝（）．求（△7）△14． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣4）△14 ＝（）△14 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【思维拓展】 33．若a＞0，b＞0，且1，则a＞b；若a＜0，b＜0，且1，则a＜b，以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法，试利用作商比较法比较与的大小． 【分析】利用作商比较法，直接比较得结论． 【详解】解：∵0，0， 又∵（） 1， ∴． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，掌握作商比较法是解决本题的关键．作商比较法：（1）当a＞0，b＞0时，若1，则a＞b；若1，则a＜b；（2）当a＜0，b＜0时，若1，则a＜b，若1，则a＞b， 模块二 有理数的加减乘除混合运算 【基础过关】 知识点一有理数的加减乘除混合运算 知识梳理 （1）有理数的混合运算，在没有括号的前提下，先做____，再算____，同级运算_______________，如果有括号的先做____________，和小学里的四则运算顺序相一致. （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律，简化运算。 34．（2024秋•临沭县月考）下列计算：①0﹣（﹣3）＝﹣3； ②（﹣2）+（﹣8）＝﹣10； ③（﹣28）÷（）＝14； ④（﹣24）÷6＝﹣4； ⑤4÷3（）＝4÷（﹣1）＝﹣4，其中错误的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据有理数运算的法则逐项判断． 【详解】解：0﹣（﹣3）＝3，故①错误； （﹣2）+（﹣8）＝﹣10，故②正确； （﹣28）÷（）＝56，故③错误； （﹣24）÷6＝﹣4，故④正确； 4÷3×（）（），故⑤错误； ∴错误的有①③⑤，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则． 35．（2023•南京）计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（　　） A．7 B．8 C．21 D．36 【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式＝12+3+6＝21， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 36．在等式[3+（﹣13）﹣□]÷（﹣3）×2＝6中，□表示的数是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．0 【分析】逆推法列出算式3+（﹣13）﹣6÷2×（﹣3），先算乘除法，再算加减法计算即可求解． 【详解】解：依题意有： □＝3+（﹣13）﹣6÷2×（﹣3） ＝3﹣13﹣3×（﹣3） ＝3﹣13+9 ＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据题意列出算式计算求解． 知识点二 有理数的除法运算的实际应用 知识梳理 （1）根据题意列出除法的算式 （2）根据混合运算的计算法则进行计算 37．有资料表明：某地区高度每增加100米，气温下降0.8℃．某数学兴趣小组的同学们由此想出了测量山峰高度的方法：一名同学在山脚，一名同学在山顶，他们同时在上午9时整测得山脚和山顶的气温分别为18℃和15.2℃，求该山峰的高度． 【分析】根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得该山峰的高度． 【详解】解：由题意可得， 该山峰的高度为：350（米）， 答：该山峰的高度为350米． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 38．（2024秋•偃师区月考）某冷冻厂的一个冷库现在的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣28℃下冷藏，如果每小时能降4℃，那么需要 　6.5　 小时才能降到所需的温度． 【分析】根据题意，可以列出算式[（﹣2）﹣（﹣28）]÷4，然后计算即可． 【详解】解：[（﹣2）﹣（﹣28）]÷4 ＝（﹣2+28）÷4 ＝26÷4 ＝6.5（小时）， 即需要6.5小时才能降到所需的温度， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【能力进阶】 39．已知a，b为有理数，且|a+5|+|b﹣3|＝0，则（a+b）[﹣a﹣（﹣b）]的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 【分析】根据非负数的性质列式求出a和b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵|a+5|+|b﹣3|＝0，而a+5≥0，b﹣3≥0， ∴a+5＝0，b﹣3＝0， 解得a＝﹣5，b＝3， ∴（a+b）[﹣a﹣（﹣b）]＝（﹣5+3）×（5+3）＝（﹣2）×8＝﹣16． 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 40．（2023•牡丹江）请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数﹣2，4，﹣6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 　8×（﹣6）÷[4÷（﹣2）]＝24　 （只写一种） 【分析】首先用4除以﹣2，构造出﹣2；然后用8与﹣6的积除以﹣2，即可使运算结果为24． 【详解】解：8×（﹣6）÷[4÷（﹣2）]＝24 故答案为：8×（﹣6）÷[4÷（﹣2）]＝24．（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 41．（2024秋•新泰市期中）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值是，则输出的结果是　　 ． 【分析】首先根据图示的运算程序，可得x时，x、y的函数关系是y＝﹣x+3，据此求出当输入值x时，输出的结果是多少即可． 【详解】解：∵1≤x≤3时，y＝﹣x+3， ∴x时， y3． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出x时，x、y的函数关系是y＝﹣x+3． 42．（2023秋•岳阳楼区期中）若a，b互为相反数，且a≠0，c、d互为倒数，|m|＝3，求的值． 【分析】根据已知求出，cd＝1，m＝±3，代入代数式求出即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，|m|＝3， ∴，a+b＝0，cd＝1，m＝±3， ①m＝3时，原式＝0﹣3×1﹣1＝﹣4； ②m＝﹣3时，原式＝0﹣（﹣3）×1﹣1＝2， 综上所述，的值为2或﹣4． 【点睛】本题综合考查了绝对值、相反数、倒数、代数式求值等知识点，关键是求出、﹣cd、m的值． 43．（2022秋•前郭县期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　二　步，错误原因是 　没有按同级运算从左至右运算　； 第二处是第 　三　步，错误原因是 　符号弄错　； （2）请写出正确的结果 　　． 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式＝﹣15÷（）×6 ＝156 ． 故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．二，符号弄错． （2）． 【总结提升】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则，本题属于基础题型． 44．（2021秋•平罗县期末）计算：． 【分析】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： 363636 ＝﹣27﹣6+15 ＝﹣18． 【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键． 45．（2023秋•乳山市期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果为24或﹣24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J，Q，K，A分别代表11，12，13，1．（说明：对于数12，1，可以列式得出121＝12或112＝1） 通过列式计算解决下列问题： （1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，能凑成24吗？ （2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，能凑成24吗？ （3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，能凑成24吗？ 【分析】（1）根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答； （2）根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答； （3）根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）（﹣2）×（﹣3﹣3﹣6） ＝（﹣2）×（﹣12） ＝24； （2）[1﹣（﹣2）]×23 ＝（1+2）×8 ＝3×8 ＝24； （3）（1÷5﹣5）×（﹣5） ＝（5）×（﹣5） （﹣5） ＝24． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $