2.2—2.3 有理数的乘法与除法 有理数的乘方-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

2.2—2.3 有理数的乘法与除法 有理数的乘方 一、有理数的乘法与除法 1.有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数与0相乘，积为0。 （3）多个有理数相乘时，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数为奇数时，积为负；当负因数个数为偶数时，积为正，积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。 （4）有理数乘法运算律： a.乘法交换律：ab=ba b.乘法结合律：(ab)c=a(bc) c.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 2.有理数的除法法则 （1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （2）倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 3.运算顺序 进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，按照先乘方，后乘除，最后加减的顺序进行，若有括号，先算括号内的。在简化运算后，再利用混合运算的顺序进行运算。 二、有理数的乘方 1.有理数乘方的意义 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。一般地，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂或a的n次方。乘方是一种特殊的乘法运算。 2.有理数乘方的运算性质 （1）正数的任何次幂都是正数。 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：在写分数和负数的n次方时需要加上括号，例如(-2)³表示-2的三次方，而-2³则表示2的三次方的相反数。 3.有理数混合运算的运算顺序 进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，则先做括号内的运算。 4.科学记数法 把一个绝对值大于10（或小于1）的数记作a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法。 5.近似数 在实际生活中，通过测量或估算得到的数据一般都是近似数。近似数的精确程度取决于其四舍五入到哪一位。 巩固课内例1:有理数的乘法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例2:有理数乘法应用——气温问题 1．杜叔叔攀登一座山峰，已知每登高，气温将下降．杜叔叔登高后，气温与刚攀登时相比将（    ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 2．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 3．重庆仙女山是国家级景区，是中国最具影响力的森林公园之一．小南参与了学校布置的社会实践活动，在出发时测量了气温为，并在研学过程中测量了6次气温，将气温数据列成了下列表格：“”号表示比前一次增加的气温，“”号表示比前一次减少的气温． 次数 1 2 3 4 5 6 温度变化 (1)请问小南第2次测量气温为多少？ (2)已知该地区高度每增加，气温降低，请求出出发点距第6次测量点的垂直高度为多少米？ 巩固课内例3:有理数乘法运算律 1．计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 2． ． 3．脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 巩固课内例4:有理数的除法 1．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例5:化简 1．分数化简后是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ， ． 3．化简： (1)； (2) 巩固课内例6:有理数乘除混合运算 1．计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 2．计算： ． 3．计算： 巩固课内例7:有理数加减乘除运算 1．小明进行了下面的计算，则他一共做对的题数是（   ）                A．3 B．4 C．5 D．6 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) 巩固课内例8:有理数加减乘除运算的应用——盈利问题 1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么这家商店卖这两件衣服总的情况是（    ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 2．一件商品每件成本价200元，按高于成本标价，然后打八折出售，则每件盈利 元． 3．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第(2)问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入＝乘客所给的总车费－油费） 巩固课内例9:有理数乘方计算 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 2．计算： ． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固课内例10:用计算器计算乘方 1．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2．用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是 ． 3．用计算器计算：． 巩固课内例11:含乘方的有理数混合运算 1．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 2．计算，结果应是 ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 巩固课内例12:排列规律问题 1．干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … 依据上述规律推断，2037年为（   ） A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 2．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 3．【观察】观察下列三组式子的乘方运算中的底数和指数或幂的变化， 第一组：，，，，，，，；…… 第二组：，，，，…… 第三组： 【解答】 (1)由第一、二组可以发现互为相反数的两数的偶次幂________，它们的奇次幂________； (2)若，，求的值； (3)根据第三组的规律启发，直接写出的结果为________． 巩固课内例13:科学记数法 1．根据国际能源署年全球可再生能源展望报告，预计年全球太阳能发电总装机容量将达到千瓦下列用科学记数法表示该数据正确的是（    ） A． B． C． D． 2．深中通道是连接深圳市和中山市以及广州市南沙区的跨海通道．深中通道东人工岛陆域面积约，相当于个国际标准足球场．其中数据用科学记数法表示为 3．综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 巩固课内例14:用四舍五入计算近似数 1．下列说法错误的是（   ） A．近似数3.02万精确到百位 B．142500000000精确到千万位为1425.0亿 C．142500000000精确到千万位为 D．近似数4.80所表示的精确数的范围为 2．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　           　． 3．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 类型一、倒数 1．若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 2．5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 3．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数． (1)直接写出，，m，n的值； (2)求的值 类型二、幂的概念 1．的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 2．在中，底数是 ，指数是 ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 类型三、有理数除法的应用 1．胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 2．一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 3．一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为：． (1)通过计算说明小虫是否回到起点； (2)如果小虫爬行的速度为厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 类型一、有理数乘法应用——销售问题 1．某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（   ） A．225 B．217 C．180 D．145 2．一件服装的标价为300元，打八折后销售，则该件服装的售价是 ． 3．随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 类型二、“24”点 1．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 2．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 3．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 类型三、程序流程图 1．【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 3．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 类型一、二进制 1．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．若将二进制数转化成十进制数，计算方式举例如下：；；．则将二进制数转化成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．11 D．13 2．计算机的二进制数据是用和两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制“”转换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制“”转换成十进制数表示的数是 ． 3．阅读与思考： 中国是最早使用十进制计数法，且认识到进位制的国家．英国著名科学史学家李约瑟教授曾对中国商代计数法予以很高评价：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了．“所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表，故，即：转化为了十进制表示的数．如：，即二进制的数1111等于十进制数15． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“110”转化为十进制数是 ___； (2)【应用】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．根据图示，求该渔夫一共捕到多少条鱼？ (3)【拓展探究】已知2024转化为六十进制数为（（33）（44））60．把2025转化为十六进制数，请写出求解过程． 类型二、乘方符号规律问题 1．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2—2.3 有理数的乘法与除法 有理数的乘方 一、有理数的乘法与除法 1.有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数与0相乘，积为0。 （3）多个有理数相乘时，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数为奇数时，积为负；当负因数个数为偶数时，积为正，积的绝对值等于各个因数的绝对值的积。 （4）有理数乘法运算律： a.乘法交换律：ab=ba b.乘法结合律：(ab)c=a(bc) c.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 2.有理数的除法法则 （1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （2）倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 3.运算顺序 进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，按照先乘方，后乘除，最后加减的顺序进行，若有括号，先算括号内的。在简化运算后，再利用混合运算的顺序进行运算。 二、有理数的乘方 1.有理数乘方的意义 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。一般地，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂或a的n次方。乘方是一种特殊的乘法运算。 2.有理数乘方的运算性质 （1）正数的任何次幂都是正数。 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：在写分数和负数的n次方时需要加上括号，例如(-2)³表示-2的三次方，而-2³则表示2的三次方的相反数。 3.有理数混合运算的运算顺序 进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，则先做括号内的运算。 4.科学记数法 把一个绝对值大于10（或小于1）的数记作a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法。 5.近似数 在实际生活中，通过测量或估算得到的数据一般都是近似数。近似数的精确程度取决于其四舍五入到哪一位。 巩固课内例1:有理数的乘法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 巩固课内例2:有理数乘法应用——气温问题 1．杜叔叔攀登一座山峰，已知每登高，气温将下降．杜叔叔登高后，气温与刚攀登时相比将（    ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，负数的意义，解题的关键是正确理解负数在实际生活中的意义． 用每登高气温的变化量乘6，求出攀登后，气温变化多少即可． 【详解】解：∵，上升为正，下降为负， ∴攀登后，气温下降． 故选：A． 2．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：登高后，气温变化量为：， ． 故答案为：． 3．重庆仙女山是国家级景区，是中国最具影响力的森林公园之一．小南参与了学校布置的社会实践活动，在出发时测量了气温为，并在研学过程中测量了6次气温，将气温数据列成了下列表格：“”号表示比前一次增加的气温，“”号表示比前一次减少的气温． 次数 1 2 3 4 5 6 温度变化 (1)请问小南第2次测量气温为多少？ (2)已知该地区高度每增加，气温降低，请求出出发点距第6次测量点的垂直高度为多少米？ 【答案】(1)小南第2次测量气温为： (2)出发点距第6次测量点的垂直高度为 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据表格中的数据列出算式进行计算即可； （2）根据高度每增加，气温降低列式计算即可． 【详解】（1）解：小南第2次测量气温为：， 答：小南第2次测量气温为：． （2）解：∵， ∴第6次测量点比出发点的温度降低了， ， 答：出发点距第6次测量点的垂直高度为． 巩固课内例3:有理数乘法运算律 1．计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【答案】；； 【分析】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算． 【详解】解：① ② ③ ． 巩固课内例4:有理数的除法 1．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 巩固课内例5:化简 1．分数化简后是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数的化简，根据分数的基本性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故选B． 2．化简： ， ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的除法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先确定符号，再约分即可． 【详解】解：，； 故答案为：， 3．化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分数的化简，有理数的除法，熟练掌握分数的化简法则是解题的关键； （1）根据分数化简，计算即可求解； （2）根据分数化简，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 巩固课内例6:有理数乘除混合运算 1．计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘除混合运算法则计算即可. 【详解】解： . 巩固课内例7:有理数加减乘除运算 1．小明进行了下面的计算，则他一共做对的题数是（   ）                A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法，乘除法以及四则混合运算， 按照有理数运算法则一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：，原计算正确， ，原计算正确， ，原计算正确， ，原计算错误， ，原计算正确， ， 原计算错误． 故正确的一共有4个， 故选：B 2．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘除运算，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：2． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的四则运算，熟练掌握运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先将除法转换为乘法后，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例8:有理数加减乘除运算的应用——盈利问题 1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么这家商店卖这两件衣服总的情况是（    ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算在实际生活中的应用，正确计算出两件衣服的进价是解题关键．此题可先计算出两件衣服的进价，再算出售价和进价的差值判断盈亏情况． 【详解】解：盈利衣服的进价为(元)； 亏损衣服的进价为(元)； ，则该商店卖出这两件衣服亏损． 故选：B． 2．一件商品每件成本价200元，按高于成本标价，然后打八折出售，则每件盈利 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，根据每件盈利售价每件成本，列式计算即可． 【详解】解：根据题意： （元） 则每件盈利元． 故答案为：． 3．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第(2)问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入＝乘客所给的总车费－油费） 【答案】(1)出租车司机在公司的东方，距离公司3千米 (2)共需元油费 (3)盈利元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）根据计算出总的里程数即可求解； （3）根据收费标准计算出乘客所给的总车费即可求解； 【详解】（1）解：千米， 答：出租车司机在公司的东方，距离公司3千米； （2）解：千米， （元）， 答：共需66元油费 （3）解： 元， 元， 答：盈利70元. 巩固课内例9:有理数乘方计算 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算． 根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】4 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】． 故答案为：4． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 巩固课内例10:用计算器计算乘方 1．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学计算器的使用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：用计算器计算得． 故选：A． 2．用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查计算器．根据科学计算器计算方法作答即可． 【详解】解：由题意可知科学计算器计算的是， 故答案为：． 3．用计算器计算：． 【答案】123240 【分析】本题考查了利用计算器计算，根据题意进行输入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：按键顺序为，显示结果为123240．（不同计算器按键方式不同） 巩固课内例11:含乘方的有理数混合运算 1．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 2．计算，结果应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键在于熟练掌握各个运算的分式方法. （1）根据有理数加减法原则，去括号，再运算； （2）根据有理数乘除法原则，除以一个等于乘以这个数的倒数，再确定符合，然后再运算； （3）根据乘法分配律运算，再用加减运算即可； （4）先乘法，先算括号内的，然后再去运算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 巩固课内例12:排列规律问题 1．干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … 依据上述规律推断，2037年为（   ） A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题意，理解天干、地支和属相的计算方法，利用有理数混合运算法则计算即可得到答案．理解题意，掌握题中描述的规律是解决问题的关键． 【详解】解：天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干， ，则天干是丁； 地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支， ，则地支是巳； 属相的计算方法与地支一致， ，则属相是蛇； 综上所述，2037年为丁巳蛇， 故选：B． 2．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 3．【观察】观察下列三组式子的乘方运算中的底数和指数或幂的变化， 第一组：，，，，，，，；…… 第二组：，，，，…… 第三组： 【解答】 (1)由第一、二组可以发现互为相反数的两数的偶次幂________，它们的奇次幂________； (2)若，，求的值； (3)根据第三组的规律启发，直接写出的结果为________． 【答案】(1)相等；互为相反数 (2)或或或 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数的四则混合计算，求一个数的绝对值： （1）观察可知，互为相反数的两数的偶次幂相等，它们的奇次幂互为相反数， （2）根据绝对值的意义和乘方计算法则得到，据此讨论x、y的值并代值计算即可； （3）根据题意可得原式，进一步可变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，互为相反数的两数的偶次幂相等，它们的奇次幂互为相反数， 故答案为：相等；互为相反数； （2）解：∵，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或或或； （3）解： ． 巩固课内例13:科学记数法 1．根据国际能源署年全球可再生能源展望报告，预计年全球太阳能发电总装机容量将达到千瓦下列用科学记数法表示该数据正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式为，其中，为整数，需将原数转换为符合此形式的表达式． 【详解】解：从左起第一个非零数字“3”开始，保留三位有效数字（3、8、5），得到，满足； 将原数的小数点从末尾向左移动9位至3.85的位置，故； ， 故选：D． 2．深中通道是连接深圳市和中山市以及广州市南沙区的跨海通道．深中通道东人工岛陆域面积约，相当于个国际标准足球场．其中数据用科学记数法表示为 【答案】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 3．综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 巩固课内例14:用四舍五入计算近似数 1．下列说法错误的是（   ） A．近似数3.02万精确到百位 B．142500000000精确到千万位为1425.0亿 C．142500000000精确到千万位为 D．近似数4.80所表示的精确数的范围为 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．逐一分析各选项的精确位数是否符合要求即可． 【详解】解：A、近似数3.02万中，末位数字2位于百位（3.02万=30200），故精确到百位，说法正确，选项错误； B、原数142500000000精确到千万位时，千万位为0，后续数字全为0，无需进位。用“亿”为单位表示为1425.0亿，小数点后的0表明精确到千万位，说法正确，选项错误； C、科学记数法中，末位数字5位于十亿位，故精确到十亿位而非千万位，说法错误，选项正确； D、近似数4.80精确到百分位，其范围应为，说法正确，选项错误； 故选：C． 2．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　           　． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，注意按精确度得到的近似数末尾的0不能任意舍去．由精确度知，根据千分位的数“四舍五入”即可． 【详解】解：（精确到百分位）． 故答案为：． 3．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 【答案】(1)2.72 (2)0.140 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． （1）（2）根据精确度的定义解答即可． 【详解】（1）解：（精确到百分位）； （2）解：（精确到）． 类型一、倒数 1．若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 2．5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 【分析】该题考查了相反数、绝对值、倒数，根据相反数、绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：5的相反数是，的绝对值是 ，的倒数是， 故答案为：，，． 3．已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值等于2，n是最大的负整数． (1)直接写出，，m，n的值； (2)求的值 【答案】(1)；；； (2)或0 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值以及有理数的加减混合运算等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据题意即可求解； （2）分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵a，b互为倒数， ∴； ∵c，d互为相反数， ∴； ∵m的绝对值等于2， ∴； ∵n是最大的负整数， ∴ （2）解：当时， ； 当时， ； 类型二、幂的概念 1．的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 2．在中，底数是 ，指数是 ． 【答案】 7 【分析】此题考查了有理数的乘方，原式利用幂的定义判断即可得到结果．熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【详解】解：在中的底数是，指数是7． 故答案为：；7． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 类型三、有理数除法的应用 1．胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 2．一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 【答案】60 【分析】本题考查了有理数的除法，行程问题，理解行程问题的数量关系，掌握有理数的除法运算是关键． 根据行程中的数量关系可得汽车的速度为（千米/小时），由此即可求解． 【详解】解：一辆汽车 小时行千米， ∴汽车的速度为（千米/小时）， ∴（千米）， 故答案为：60 ． 3．一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为：． (1)通过计算说明小虫是否回到起点； (2)如果小虫爬行的速度为厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【答案】(1)小虫能回到起点 (2)108秒 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，联系实际，学以致用是解决问题的关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可； （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴小虫能回到起点； （2）解： （秒）， 答：小虫共爬行了108秒． 类型一、有理数乘法应用——销售问题 1．某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（   ） A．225 B．217 C．180 D．145 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，用标价乘以折扣即可得到答案． 【详解】解：元， ∴该商品的售价为180元， 故选：C． 2．一件服装的标价为300元，打八折后销售，则该件服装的售价是 ． 【答案】240元 【分析】本题考查的是有理数的乘法的应用，根据折扣的含义列式计算即可. 【详解】解：一件服装的标价为300元，打八折后销售，则该件服装的售价是 （元）， 故答案为:240元 3．随着信息技术的发展，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．今年庐江某地盛产荸荠，刚大学毕业的李明把自家的荸荠，通过网络平台实行包邮销售，他原计划每天卖100千克荸荠，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超出记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录数据，求这一周中每天的销售量最多的比最少的多多少千克？ (2)如果荸荠按每千克12元出售，另外需支付网络平台费平均每千克1元，那么李明这一周销售额为多少？ 【答案】(1)销售量最多的比最少的多30千克 (2)李明本周销售额7832元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用： （1）用表中最大的数减去最小的数即可； （2）与表中数据相加，可得这一周销量，乘以每千克售价与网络平台费用之差，即可得销售额． 【详解】（1）解： （千克）， 答：销售量最多的比最少的多30千克； （2）解： （元） 答：李明本周销售额7832元． 类型二、“24”点 1．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案. 【详解】A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误； B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误； C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误； D：无法组成24点，故D正确； 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则. 2．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 类型三、程序流程图 1．【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【详解】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 2．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果． 【详解】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 3．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据程序流程图，进行运算，根据流程图，按照有理数混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：根据题意得 ． 类型一、二进制 1．计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．若将二进制数转化成十进制数，计算方式举例如下：；；．则将二进制数转化成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．计算机的二进制数据是用和两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制“”转换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制“”转换成十进制数表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：二进制“”转换成十进制数表示的数为， 故答案为：． 3．阅读与思考： 中国是最早使用十进制计数法，且认识到进位制的国家．英国著名科学史学家李约瑟教授曾对中国商代计数法予以很高评价：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了．“所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表，故，即：转化为了十进制表示的数．如：，即二进制的数1111等于十进制数15． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“110”转化为十进制数是 ___； (2)【应用】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．根据图示，求该渔夫一共捕到多少条鱼？ (3)【拓展探究】已知2024转化为六十进制数为（（33）（44））60．把2025转化为十六进制数，请写出求解过程． 【答案】(1)6； (2)该渔夫一共捕到194条鱼； (3)把2025转化为十六进制数为，过程见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），根据题意列式计算即可； 对于（2），根据题意列式计算即可； 对于（3），将2025写成，从而得出答案． 【详解】（1）解： ； 所以，将二进制数“110”转化为十进制数是6， 故答案为：6； （2）解： （条）， 即该渔夫一共捕到194条鱼； （3）解：， 则把2025转化为十六进制数为． 类型二、乘方符号规律问题 1．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$