第一章勾股定理——勾股定理的应用 训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第02讲 勾股定理的应用 知识清单 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 知识点02 平面展开图－最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下：   基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解    题型精讲 题型一 应用勾股定理解决梯子滑落高度 【典例1】1.如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？ 【变式1】2.如图1，一个梯子长为5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离是4米． (1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离． (2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？ 题型二 应用勾股定理解决旗杆高度 【典例2】3.为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度． 【变式1】4.武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ (3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 题型三 应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 【典例1】5.如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【变式1】6.如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 题型四 应用勾股定理解决大树折断前的高度 【典例1】7.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 【变式1】8.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 题型五 应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 【典例1】9.如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【变式1】10.如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 题型六 应用勾股定理解决航海问题 【典例1】11.一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【变式2】12.一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． (1)求两地的距离； (2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 题型七 应用勾股定理解决河的宽度 【典例1】13.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【变式3】14.如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 题型八 应用勾股定理解决台阶上地毯长度 【典例1】15.某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【变式1】16.如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 题型九 应用勾股定理解决超速问题 【典例1】17.某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【变式1】18.某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 题型十 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 【典例1】19.年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？ 20.6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 题型十一 应用勾股定理解决几何图形求距离 【典例1】21如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【变式1】22.如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，   (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 题型十二 应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 【典例1】23.综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3） 如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 课后作业 一、单选题 1. 如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度（   ） A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 2. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ）米． A．8 B．9 C．10 D．11 3. 一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 4. 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5. 如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草．算一算他们仅仅少走了 步（假设2步为1米）． 6. 如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为 ． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺（丈和尺是长度单位，1丈尺，1尺=米）． 8. 如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 三、解答题 9. 如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？ 10. 如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 11. 如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 12. 体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 13. 吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点处，为附近的一条街道，已知点与直线上两点、的距离分别为和，，若吊车周围以内会受噪声影响． (1)求的度数； (2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由． 14. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 第02讲 勾股定理的应用参考答案： 1. 梯子底部外移0.8米． 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在中，根据已知条件运用勾股定理可将的长求出，又知的长可得的长，在中再次运用勾股定理可将求出，的长减去的长即为底部外移的距离． 【详解】解：在中，，， 米， 又， ， 在中，米， 则米． 故：梯子底部外移0.8米． 2. (1)3米 (2)不能 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长； （1）根据勾股定理求边长即可； （2）先求出底端B向C方向挪动1米后底端到墙角C的距离，再由勾股定理求解梯子的顶端到达的高度，再与E的高度进行比较即可； 【详解】（1）解：由题意知米，， 在中，米， 梯子的顶端与墙角C之间的距离是3米； （2）不能，理由如下： 设B向C方向挪动1米到，此时A向上挪动到，则米，米，米， 米， 米， 在中，米， ， ， 梯子的摆放位置不能够到点E处； 3. 12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意知米， 设旗杆的高度为x米，则（米）， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米. 答；旗杆的高度为12米． 4. (1)21.6米 (2)8米 (3)4.2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． （2）解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． （3）解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 5. (1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 6. 小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 7. 8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：根旗杆被吹断裂前高为8米． 8. 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． 9. 筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出的长度是解答此题的关键． 【详解】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是． 10. 这根芦苇的长是17尺． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 11. (1)从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2）， ． ． ． 岛在港的北偏西． 12. (1)； (2)． 【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， 即两地的距离为； （2）解：根据等面积法知：， 即， ∴， 即的距离为 13. 米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 14. (1)米 (2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒）， （秒）， （秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 15. 1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 16. 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 17. ，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 18. (1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 19. (1)会受到台风的影响，理由见解析； (2)台风影响该农场持续时间为． 【分析】（）勾股定理求出， 过点作，垂足为，根据面积法求出，判断即可； （）假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响，得，，由勾股定理，可得的长度，再除以速度即可得到时间； 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）会受到台风的影响，理由： 如图，过点作，垂足为， 因为在中，，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以农场会受到台风的影响； （2）如图，假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响， 所以，， 由勾股定理，可得， 因为台风的速度是， 所以受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 20. (1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为20千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为10小时． 21. 的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 22. (1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 23. （1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 24. 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 课后作业 1. D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长，即可得解． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴米， （米． 树折断之前有16米． 故选：D． 2. C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过C点作于E，连接，则四边形是矩形，得，则，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过C点作于E，连接， 则是矩形， 设大树高为，小树高为， ， 在中，由勾股定理得： 即小鸟至少飞行， 故选：C． 3. A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【详解】根据题意，如图所示， 可知，，，， 在中，， ， 解得：， 故两船相距海里 故选：A 4. B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：B． 5. 4 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 分别计算走拐角的路程和走“径路”的路程，相减即可求解． 【详解】走拐角的路程：（米）， 走“径路”的路程：（米）， 走“径路”比走拐角少走的路程：（米）， 少走的步数：（步） 故答案为：4． 6. 10 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 7. 13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 8. 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， ∴， ∴ ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 故答案为：． 9. 26 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中， 由勾股定理可得：， 即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 10. 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处． 11. (1)见解析 (2)60000元 【分析】本题考查最短路线问题，作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解题的关键． （1）作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置； （2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解． 【详解】（1）解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于， 依题意：，， ， （负值已舍去）， 由题意得：， ，， ， （负值已舍去）， ， ， 答：最节约铺设水管的费用为60000元． 12. (1)米 (2)没有危险不需要封锁，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键． （1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案； （2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案． 【详解】（1）解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； （2）解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点 周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 13. (1) (2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 14. (1) (2)会受到影响，会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）过点作于点，根据等面积法求出，结合题意可得街道上的居民会受到噪声的影响，当，时，此范围内的居民会受影响．由勾股定理得，推出，即可求解． 【详解】（1）解： ，，， ，， 是直角三角形， ； （2）街道上的居民会受到噪声的影响， 理由如下：如图，过点作于点， 由（1）得， ， ， 解得：， 吊车周围以内会受到噪声的影响， 街道上的居民会受到噪声的影响． 当，时，此范围内的居民会受影响． ， ， 即会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，即范围内的居民会受影响．（说法合理即可） 15. （1）长为；（2）的长度为；（3）在相对安全的前提下，云梯的项端能到达高的窗口去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， 答：OA长为； （2）， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （3）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的项端能到达高的窗口去救援被困人员． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $