精品解析：福建省宁德市第三教研共同体2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题

宁德市第三教研共同体2025-2026学年第一学期高一期中质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 2. 若，则的可能取值有（ ） A. 0 B. 0，1 C. 0，3 D. 0，1，3 3. 已知幂函数是奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 7. 关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 8. 已知定义域为的函数满足条件①，②，，，，③，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 集合的非空真子集的个数为 B. 是菱形是正方形 C. 若，，则 D.  10. 以下结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 的最小值是2 C. 若，，且，则 D. 若，则的最大值为-2 11. 如图，在中，，，、是边、上的动点，点、均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. C. 在定义域内先增后减 D. 当取最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“对，都有”否定为______ 13. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，则__________. 14. 若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 设命题，，命题：实数. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和有且只有一个为真命题，求取值范围. 17. 已知定义在上的奇函数，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 18. 秋季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元.当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，.若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（单位：万元）关于产量（单位：万箱）的函数关系式.（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？最大利润是多少万元？ 19. 若为定义在上的单调函数，且存在（其中），使得当时，的取值范围为，则称是上的正函数，为等域区间. （1）判断函数是不是上的正函数.若是，请求出的一个等域区间；若不是，请说明理由. （2）是否存在实数，使得函数是上正函数？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. （3）设函数，且不等式的解集恰为，求的解析式，并判断是否为的等域区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市第三教研共同体2025-2026学年第一学期高一期中质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】故选D 2. 若，则的可能取值有（ ） A. 0 B. 0，1 C. 0，3 D. 0，1，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 3. 已知幂函数是奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入函数解析式验证函数奇偶性可确定结果 【详解】由题意得，∴或， 当时，是偶函数；当时，是奇函数. 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，然后通过解不等式即可得出结果 【详解】由题意得，即， 解得 故选：A. 5. 若，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件定义判断. 【详解】，则，得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，利用题目所给条件，求出结果即可. 【详解】由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：D. 7. 关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知、是关于的方程的两根，结合韦达定理可得出，利用一次不等式的解法可判断B选项；代入计算可判断C选项；利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知、是关于的方程的两根， 所以，即， 故不等式即为，即，解得， 所以不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 故不等式的解集为，D错. 故选：C. 8. 已知定义域为的函数满足条件①，②，，，，③，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知函数在上单调递减，且为偶函数，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为，，，， 所以，函数在上单调递减， 因为，即 所以，函数为偶函数， 因， 所以，函数在上单调递增， 由，得或 即或 所以或 所以，成立的的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的非空真子集的个数为 B. 是菱形是正方形 C. 若，，则 D.  【答案】AC 【解析】 【分析】根据非空真子集个数公式可判断A选项；根据集合的包含关系可判断B选项；利用集合的表示法可判断C选项；利用空集的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，集合的非空真子集的个数为，A对； 对于B选项，菱形不一定是正方形，是菱形不是是正方形的元素，也不是其子集，B错； 对于C选项，， ，、都表示奇数集，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：AC. 10. 以下结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 的最小值是2 C. 若，，且，则 D. 若，则的最大值为-2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当，异号时，不等式不成立，即可判断；利用基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，当，异号时，不成立，故A错误； 对于B，因为，当时等号成立， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在中，，，、是边、上的动点，点、均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. C. 在定义域内先增后减 D. 当取最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，求出的长，利用三角形的面积公式可判断A选项；求出，利用矩形的面积公式可得出的解析式，代值计算可判断B选项；利用二次函数的单调性可判断C选项；利用二次函数的基本性质和三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，取的中点，连接，则，且， 所以的面积为，A对； 对于BCD选项，过作，垂足，设与交于点， 由等面积法可得，则. 由，得， 则， 所以， 则，则在上单调递增，在上单调递减，B错C对， 当取最大值时，，， 此时，D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“对，都有”的否定为______ 【答案】，使得 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式即可得出结论. 【详解】易知命题“对，都有”的否定为“，使得”； 故答案为：，使得. 13. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将代入的解析式，再根据取整函数的定义计算即得. 【详解】. 故答案为：. 14. 若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用参变分离结合基本不等式求最值即可. 【详解】当时，恒成立； 当时，，则， 因为，等号成立时， 所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合； （2）由已知条件得出，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则或， 又因为，则或. 【小问2详解】 因为，所以，则，解得， 所以的取值范围为. 16. 设命题，，命题：实数. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和有且只有一个为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为真，利用判别式法求解； （2）由“和有且只有一个为真命题”得“，中一真一假”求解即得. 【小问1详解】 若为真命题，则恒成立， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）得若为真命题，则；若为真命题，则. 因为和有且只有一个为真命题，所以真假，或假真. 若真假，则且，解得； 若假真，则且，解得. 综上，的取值范围是. 17. 已知定义在上的奇函数，. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出结果； （2）设，，且，作差，通过因式分解判断正负，然后根据单调性的概念即可得出结论. 小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以. 又因为，所以，解得， 此时，满足 是奇函数，满足题意． 所以. 【小问2详解】 在上单调递减. 证明如下： ，，设. ， 因为，所以， 因为，，所以，所以， 所以， 所以， 所以在上单调递减. 18. 秋季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元.当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，.若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（单位：万元）关于产量（单位：万箱）的函数关系式.（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）当产量为万箱时，最大利润是万元. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况分析，利用销售利润销售总价固定成本生产成本可得出口罩销售利润关于产量的函数关系式； （2）分别求出在、上的最大值及其对应的值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 当时，； 当时， ， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以当时，取得最大值万元； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以取得最大值万元. 综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大，最大利润是万元. 19. 若为定义在上的单调函数，且存在（其中），使得当时，的取值范围为，则称是上的正函数，为等域区间. （1）判断函数是不是上的正函数.若是，请求出的一个等域区间；若不是，请说明理由. （2）是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. （3）设函数，且不等式的解集恰为，求的解析式，并判断是否为的等域区间. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）存在， （3）， 不是的等域区间. 【解析】 【分析】（1）根据“正函数”的定义判断即可； （2）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在上有实数解”，通过构造函数法根据函数零点的存在性定理求得的取值范围； （3）根据“不等式的解集”求得，的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案. 【小问1详解】 不是上的正函数. 理由如下： 当时，的取值范围是. 若是上的正函数，则， 所以， 这与矛盾，所以不存在等域区间，不是上的正函数. 【小问2详解】 因为是上的减函数， 所以当时，即 两式相减得，即， 代入，得， 由，，得，解得， 所以关于的方程在上有实数解. 记，则即 解得，所以存在，使得是上的正函数. 【小问3详解】 由不等式的解集为， 得，且，，， 所以①，. 将，代入①，得， 即， 因为，，，所以或 解得或 当时，，， 当时，，所以不是的等域区间. 当时，，， 当时，，所以不是的等域区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $