精品解析：河南省商丘市商师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025~2026学年度高二上学期期中联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与坐标轴的位置关系，可得直线的倾斜角. 【详解】直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D 2. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出渐近线方程． 【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行得出和，即可求出的值. 【详解】由题意， ∵，，且， ∴，解得，， ∴． 故选：B． 4. 若直线与圆相切，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 则方程组无解，所以，，不共面； 故选：D 6. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以． 故选：A． 7. 如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解，再利用向量的夹角余弦值的坐标运算得所求. 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设，所成的角为，所以. 故选：A. 8. 已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由得两点坐标关系，将其代入圆方程，问题转化为圆与圆有公共点，利用两圆位置关系求解. 【详解】由，得， 设，，则， 即，，又，在圆上， 所以，，即. 所以圆与圆有公共点， 因此，解得. 又由且，不同，知点在圆外，故，故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 方程表示的曲线中，可以是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程即可判断. 【详解】当，且，即时，方程表示椭圆， 当即时，方程表示双曲线，故AB正确； 要想表示圆，则无解，故C错误； 直线为一次曲线，故D错误. 故选：AB 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，由，可得，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设在第一象限，由双曲线可得， 则，由于，得，， 由于，， 所以， 故，可得，故， 而，故， 由，得，所以的离心率； 由以上分析可知，在中，，，， 故， 的周长为． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线垂直，则实数的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一般式方程中两直线垂直的条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用建立不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】依题意，，而，则，又， 因此，解得，即， 所以的离心率的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值； （2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为与直线平行， 所以且， 解得：. 【小问2详解】 当时，：，不满足题意. 当时，与轴，轴的交点分别为， 因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. 故的方程为或. 15. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值. 16. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. 【小问3详解】 由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二上学期期中联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 4. 若直线与圆相切，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 方程表示的曲线中，可以是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线垂直，则实数的值为_______． 13. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 15. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 16. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 18. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $