专题13 导数中档必刷 专项训练-2026届高三数学一模高分冲刺（上海专用）

2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题13 导数中档必刷 一、填空题 1. （2025上海市育才中学高三三模）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 2. （2024青浦区高三三次学业监测）曲线在点处的切线方程为___________. 3. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 4. （2025上海市育才中学高三三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为_________. 5. （2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 6. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 7．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是_____ 8．（23-24高三四川成都·阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是_____ 9. （2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 10. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 11．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为______ 12. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 13. （2025上海市育才中学高三三模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 14. （2025上海市育才中学高三三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________. 二、选择题 15. （2025上海市格致中学高三三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 16. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 17．（2023•浦东新区二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 18.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 3、 解答题 19.（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 20.（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 21.（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 22.（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求的取值范围； (2)若有两个零点，求正实数的取值范围. 23．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 24．（22-23高二下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 25．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知，函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有零点，求实数的取值范围； (3)若有两个相异零点，求证：. 26．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题13 导数中档必刷 一、填空题 1.. （2025上海市育才中学高三三模）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出导数，即可求出，从而得解； 【详解】解：设，所以，所以． 故选：A 2. （2024青浦区高三三次学业监测）曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】解：， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 3. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】， ∴曲线在点处的切线斜率为， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 4. （2025上海市育才中学高三三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求. 【详解】由已知得，解得， 又， 所以得， 所以， 所以. 故答案为：2 5. （2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 6. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可. 【详解】因为有唯一解， 所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方， 直线过定点， 画出的图象上与直线的图象如图， 由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解； 当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集； 当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解， 设切点坐标为，因为， 所以， 故答案为：1. 7．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果. 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 故选:B． 8．（23-24高三四川成都·阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是_____ 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围． 【详解】， 由于函数有三个单调区间， ∴有两个不相等的实数根，∴． 故选：C． 9. （2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令，可得的范围，则的三个根为，从而可得，右边去括号即可得解. 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 则函数的极大值为，极小值为， 作出函数的大致图象，若且， 令，则， 即的三个根为， 即， 又， 所以. 故答案为：. 10. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 11．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为______ 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 又因为当时，则， ， 所以存在唯一，使得， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以要使函数在区间上存在极值， 所以的最大值为3， 12. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 13. （2025上海市育才中学高三三模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域，再利用导数求当时的极大值，使的极大值大于等于1即可求解. 【详解】当时，的值域为， 函数的值域为， 当时，是值域的子集， 又，令，或(舍去)， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值， 故的值域为， ， 故答案为：. 14. （2025上海市育才中学高三三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________. 【答案】643 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答. 【详解】，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图： 观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法； 当与图像有两个公共点时，相应的有种取法； 当与图像有三个公共点时，相应的有种取法， 直线与函数图象的交点个数可能的取值如下： ， 对应的函数个数为， . 所以集合中元素之和为643. 故答案为：643 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 二、选择题 15. （2025上海市格致中学高三三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 16. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项. 【详解】取，则，而为上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 取，，则是上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件， 故选：D. 17．（2023•浦东新区二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【分析】对于①，举例，设，，是偶函数，不是奇函数，①为假命题；对于②，举例，设，则，为常数），显然不是周期函数，②为假命题． 【解答】解：对于①，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，是偶函数，不是奇函数，①是假命题； 对于②，令，则，为常数），显然不是周期函数，②是假命题． 故选：． 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，偶函数和奇函数的定义，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题． 18.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】可举例说明①中“为严格增函数”和“为严格增函数”之间的逻辑关系，即可判断其真假；结合复合函数的求导以及为奇函数可判断“为奇函数”和“为偶函数”之间的逻辑关系，即可判断②的真假，即得答案. 【详解】对于①，不妨取为R上严格增函数，其导函数在R上不是单调函数， 即“为严格增函数”推不出“为严格增函数”‘ 取，其导函数为R上严格增函数，但不是单调函数， 故“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 因此“为严格增函数”是“为严格增函数”的既不充分也不必要条件， 故①为假命题； 对于②，为奇函数，则， 故，即，即为偶函数； 当为偶函数时，不妨取，其导函数为偶函数， 但不是奇函数， 故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，②为真命题， 故选：C 3、 解答题 19.（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 【解析】（1）当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率， 又， 所以曲线在点处切线的方程为即. （2）因为在区间上恒成立，即， 对，即恒成立， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减，符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减，，符合题意， 若即时，，对称轴， 又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立， 综上，实数的取值范围为. 20.（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，则，其中， 因为函数在处取得极值，则，解得， 经检验，合乎题意. 因此，. （2）由（1）可知，，其中， 则， 由，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为. （3）， 当时，由，可得， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得， 即，即， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，，由，可得， 则，所以，， 且当时，，即， 当时，，即， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，则， 所以，实数的取值范围是. 21.（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【解析】（1）由求导可得，， 又， 所以在处的切线方程为，即. （2）由题意，，，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，，故在上单调递减； 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最小值大于等于在的最小值， 由（2）知，时，在上单调递减，在上单调递增， 故， ，， 因为，所以在上恒成立，故在上单调递减， 则， 所以，即， 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，， 故m的取值范围为. 22.（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求的取值范围； (2)若有两个零点，求正实数的取值范围. 【解析】（1）由， 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 因为，，令，得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 23．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数，，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）先求导，利用导数可得切线斜率，由点斜式方程可得； （2）利用导数讨论单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a的取值范围； （3）构造差函数，证明极值点偏移问题. 【解析】（1）定义域为，， 所以切线斜率为， 又，所以切线方程为，即. （2）， 定义域为，， ①当时，有恒成立，在上单调递增， 函数不可能有两个零点； ②当时，由，解得，由，解得， 故函数在上递增，在上递减． 因为， 故， 设，， 则，当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，故在处取得极大值，也是最大值，，所以，故， 即 ， 取，则. 因此，要使函数且两个零点，只需， 即，化简，得， 令，因为， 所以函数在上是单调递增函数， 又，故不等式的解为， 因此，使求实数a的取值范围是：. （3）因为，所以， 根据（2）的结果，不妨设，则只需证明， 因为在时单调递增，且，， 于是只需证明， 因为，所以即证， 记，， ， 所以在单调递增，则， 即证得，原命题得证. 【点睛】关键点睛：极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择. 24．（22-23高二下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)0或3； (3) 【分析】（1）由题意可得切点为，代入中可求出的值； （2）对函数求导，然后求出函数的单调区间和极值，再利用零点存在性定理可求出零点的的范围，从而可求出的值； （3）对函数求导后，由题意可得方程有两个不相等的正实根，则，，再结合可得，则，构造函数，利用导数求出其最小值即可求出的取值范围，从而可求出的最大值. 【解析】（1）因为，所以，所以切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时． 综上，的值为0或3； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减； 所以当时，， 所以． 25．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知，函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有零点，求实数的取值范围； (3)若有两个相异零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程； （2）对分三种情况讨论得解； （3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数法求得范围证不等式. 【解析】（1）函数的定义域为，， 当时，，则切线方程为， 即切线方程为. （2）①若时，则，是区间上的增函数， 因为，， 所以，则函数在区间有唯一零点； ②若，有唯一零点； ③若，令，得， 在区间上，，函数是增函数； 在区间上，，函数是减函数； 故在区间上，的极大值为， 由于有零点，须使，解得， 故所求实数的取值范围是. 综上，所求实数的取值范围是. （3）要证，两边同时取自然对数得. 由得，得. 所以原命题等价于证明. 不妨取，故只需证，即. 令，则，设（），只需证. 而，故在单调递增，所以. 综上得. 【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在第3小问，解答有两个关键，其一是要会利用分析法等价转化命题；其二是能够利用代换化双变量问题为单变量问题解答. 26．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和 (1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围. (2)若函数和有相同的最小值，求的值 (3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 【答案】(1) (2)1 (3)存在 【分析】（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可； （2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值； （3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列. 【解析】（1）恒成立， 因为， 所以， 则的取值范围为； （2）定义域为， ，， 若，则，单调递增，无最小值， 故， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 的定义域为， ，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故， 函数和有相同的最小值 ， ， 化为， 令，， 则， ， 恒成立， 在上单调递增， 又，仅有此一解， ； （3）（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点,，即， 因为，所以，即， 令得， 解得或，由，得， 令得，解得或，由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $