专题10 数列【基础提升练+综合重点练】-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题10 数列 一、填空题 1. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知等差数列的前项和为，，，则______． 2. （2025上海市崇明区高三三模）已知等差数列满足，，则____________. 3. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 4. （2025华东师大三附中高三三模）若成等比数列，则实数__________. 5. （2025华东师范二附中高三三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 6. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 7. （2025上海宝山区高三三模）首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 8. （2025上海市格致中学高三三模）记为数列的前项和，若，则_____________． 9.（2025上海市崇明区高三三模） 在数列中，，且，则__________. 10. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 二、选择题 11.（2022·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（       ） A．2 B．3 C．4 D．9 12. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 13.（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 一、填空题 14. （2025杨浦区高三5月质量检测）已知数列满足， ，求的通项公式___________；令当为单调递增数列时，实数的取值范围是___________ 15. （2025七宝中学高三三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是__________. 16. （2025上海市崇明区高三三模）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. 17. （2025上海市崇明中学高三三模）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是________．(写出所有符合要求的组号) ①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和． 二、选择题 18. （2025华东师大三附中高三三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19. （2025上海市格致中学高三三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 20. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 21. （2024学年宜川中学高三模拟）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A. 既有最大项也有最小项 B. 只有最大项没有最小项 C. 没有最大项只有最小项 D. 没有最大项也没有最小项 一、填空题 22. （2025建平中高三下学期三模）已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 23. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 24. （2025上海市金山中学高三三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 25. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 26. （2025华东师范二附中高三三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 27. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是_________． 二、选择题 28. （2025建平中高三下学期三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 29.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 30. （2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考数学一模冲刺基础提升练 专题10 数列 一、填空题 1. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知等差数列的前项和为，，，则______． 【答案】110 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】. 故答案为：110. 2. （2025上海市崇明区高三三模）已知等差数列满足，，则____________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得. 【详解】因为是等差数列，所以， 则有，解得. 故答案为：. 3. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，求解出与的值，再利用通项公式求出. 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 4. （2025华东师大三附中高三三模）若成等比数列，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算公式，即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 5. （2025华东师范二附中高三三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 6. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解. 【详解】由已知得，因为各项均为正数，所以， 又因为，所以，， 所以等比数列的首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 7. （2025上海宝山区高三三模）首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果. 【详解】因为无穷等比数列首项为，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为. 8. （2025上海市格致中学高三三模）记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 9.（2025上海市崇明区高三三模） 在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 10. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的前项和为，为递增数列，可知数列从第二项开始要为正数，然后即可求范围. 【详解】因为的前项和为，为增数列， 所以数列从第二项开始要为正数， ， 则范围为. 故答案为： 二、选择题 11.（2022·全国·高三专题练习）等比数列中，若，则（       ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【解析】等比数列中，若，所以， 所以． 故选：C 12. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，且， 则，，， 所以，由， 当或时，，， 所以； 当时，，总有； 当时，，，即. 综上，恒成立，故充分性成立； 若“，总有”，则且， 故必要性成立. 故选：C 13.（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】B 【分析】根据等差数列求和公式及等差数列性质计算出，且，从而得到公差小于0，时，取得最大值，判断ABC；利用得到D错误. 【详解】ABC选项，， ∴， ， ∴， ∴，且，B正确； ∴公差，等差数列是递减数列，A错误； 时，取得最大值，C错误； D选项，，D错误. 故选：B． 一、填空题 14. （2025杨浦区高三5月质量检测）已知数列满足， ，求的通项公式___________；令当为单调递增数列时，实数的取值范围是___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用累加法求数列的通项公式，依题意，即可得到，从而得到的取值范围； 【详解】解：数列满足：，， ， ． 所以 因为为单调递增数列，所以 对恒成立， 即，即对恒成立， 因为， 故答案为：， 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法以及数列的单调性求参数的取值范围，属于中档题． 15. （2025七宝中学高三三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围． 【详解】因为点在直线上，所以，所以， 所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以， 当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足， 所以满足条件的和，因为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 16. （2025上海市崇明区高三三模）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据数列递推式求出的通项，从而可得，进而可得，根据，即可求出． 【详解】当，故， 当时，，故， 因为，故，所以，则， 当时，， 设数列，易知， 必有1024，512，256，128，64，32，8,这7个数前面的系数为1，其余系数都是0， 故． 故答案为：7． 17. （2025上海市崇明中学高三三模）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是________．(写出所有符合要求的组号) ①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和． 【答案】①④ 【解析】 【详解】试题分析：由得，所以①唯一确定数列， 由 得，方程的解不定， 所以②不能唯一确定数列， 由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列， 由得，所以④唯一确定数列. 二、选择题 18. （2025华东师大三附中高三三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项. 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 19. （2025上海市格致中学高三三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件． 【答案】B 【解析】 【分析】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 20. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，分析函数的图象性质得图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】依题意，， 由，得， 当时，，即函数的图象关于点对称，， 由等差中项的性质得， 则， 所以数列的前13项和为：. 故选：D 21. （2024学年宜川中学高三模拟）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A. 既有最大项也有最小项 B. 只有最大项没有最小项 C. 没有最大项只有最小项 D. 没有最大项也没有最小项 【答案】A 【解析】 【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 一、填空题 22. （2025建平中高三下学期三模）已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对恒成立的不等式分离常数，利用构造函数法，分析得出函数图象对应的图象是双曲线的一部分，结合双曲线的渐近线求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】依题意，函数，正数数列满足且， 所以，，即， 所以， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 由得， 令，则， 则恒成立. 令 所以函数表示双曲线在第一象限的一部分， 双曲线的渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是， 即的取值范围是， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题的难点在于对题目所给恒成立的不等式分离常数后，求得的范围，构造函数后，转化为利用双曲线的图象和性质来进行求解. 23. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值，进而确定满足条件的数列. 【详解】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，； 当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，； 当时，或或， 或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，， 当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，； 综上所述：满足条件的数列有、、，共个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的各项，解题关键是能够根据能成立的等式，分析出各项所有可能的取值，并剔除不合题意的取值，考查了学生的分析和逻辑推理能力. 24. （2025上海市金山中学高三三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件，利用不等式，对各条件中的代数式进行放缩. 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 25. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 【答案】55 【解析】 【分析】首末项相差9，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差9，而任意相邻两项之间满足， 设成立的项数共有项，设成立的项数共有项， 可知：， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现1个2，7个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现2个2，5个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现3个2，3个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现4个2，1个1，数列的个数为； 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：55. 26. （2025华东师范二附中高三三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】题目等价于要求满足使得数列从第项开始为固定的常数的最小正整数，依题，可考虑从，，时，分别求得关于数列的项的等式，分析讨论是否满足题意，进行取舍即可. 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾；若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 27. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是_________． 【答案】42 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质，以及新定义的等式，构造函数，分类讨论，结合绝对值函数求和的性质列出不等式，得到，从而求出，时不合要求，舍去，最终求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有5个公共点， 假设，故5个公共点横坐标分别为， 根据绝对值函数求和的性质知： 当为奇数时，函数的图象关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最小值，此时与最多有2个交点，不满足题意； 当为偶数时，若，则函数图象在上是一条水平的线段， 若，则函数图象在上是一条水平的线段， 故与可以有5个交点， 若，此时有， 若，此时有， 且，故， 即， 所以 故，，故． 当时，，故舍去， 综上，数列的项数的最大值为44. 又因时，只有在内，不足5个，不合题意； 为时，恰好有五个数在内，符合题意； 所以的最大值是42， 故答案为：42. 二、选择题 28. （2025建平中高三下学期三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解. 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 29.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 30. （2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1）；通过举反例判断（2）. 【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列满足要求，则数列包含三项， 不妨令，符合题意，但若只取出， 这两项不是数列的连续两项，不合题意， 故数列不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题； 对于（2）：定义，， 当数列按照集合的元素特征进行排序， 例如时， 满足各项均为0或1，任意n个0和1的组合均为集合的元素，即在数列中均有对应， 可知是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，（2）为假命题. 综上，（1）（2）均为假命题. 故选：B 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 1 学科网（北京）股份有限公司 $