专题17 数列综合题【基础提升练+综合重点练】-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年上海高考数学一模冲刺【综合重点练】 专题15 数列综合题 题型01：数列通项公式与数列求和 【例1】（2025上海闵行三模）已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【例2】（2025上海格致中学高三模拟）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【例3】（2025上海外国语附中高三模拟）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【例4】（2025上海普陀区高三模拟）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【例5】（2025上海奉贤中学高三模拟）已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求和：． 【例6】（2025上海复兴高级中学高三模拟）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 题型02：含奇偶项讨论问题 【例7】（2025上海大同中学高三模拟）数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【例8】（2025华师二附中高三模拟）已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 (1)求a3； (2)证明 (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn． 【例9】（2024上海松江高三模拟）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【例10】已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【例11】（2024上海徐汇区高三模拟）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 【例12】（24-25高三甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 题型03：数列的证明类问题 【例13】（21-22高二下·上海普陀·期末）在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 【例14】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【例15】（2025·湖北·一模）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的的最小值； (3)已知，记数列的前项和为，求证：. 【例16】设为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和，求证：． 【例17】（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 题型04：数列恒成立能成立求参 【例18】（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【例19】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列和满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【例20】(23-24高二下·辽宁·期末)已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【例21】（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【例22】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 题型05：数列存在性问题求参 【例23】已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【例24】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，数列中，，对任意正整数． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比的值，若不存在，请说明理由； 【例25】（2022·上海闵行·统考二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由. 【例26】已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 题型06：插入数或者项构成新数列问题 【例27】（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【例28】（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 【例29】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 【例30】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的项，公差． (1)在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； (2)在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 题型07：数列新定义 【例31】（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 【例32】（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“数列”. (1)数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由； (2)数列是等差数列，其首项，公差，数列是“数列”，求的值； (3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立. 【例33】（2025·江苏·模拟预测）若数列满足，则称为“阶跃数列”. (1)若，判断是否为“阶跃数列”； (2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围； (3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”. 【例34】（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质． (1)若数列具有性质，求； (2)若，求证：数列具有性质； (3)数列具有性质，求． 【例35】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 题型08：数列与函数综合 【例36】（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【例37】（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【例38】（2025·上海虹口·二模）已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 【例39】（24-25高二下·四川凉山·期中）已知关于的函数，其图象与直线相切. (1)求的值； (2)证明：； (3)设数列，的前项和为，证明：． 【例40】设数列的前n项和为，对一切，点都在函数图象上. (1)求，归纳数列的通项公式（不必证明）； (2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值； (3)设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围. 1．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4.（2023秋·广东广州·高三广州市第一中学校考阶段练习）在数列中，已知，． (1)求证：是等比数列． (2)求数列的前n项和． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 6.（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 7.（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高三上·江西赣州·期中）若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 9．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 10．（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 11．（24-25高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海高考数学一模冲刺【综合重点练】 专题17 数列综合题 题型01：数列通项公式与数列求和 【例1】（2025上海闵行三模）已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用与的关系式，构造发现数列为常数列，由首项可得常数为4，从而得出； （2）利用裂项相消法和分组求和法计算即可. 【详解】（1）因为，所以时，， 两式相减可得，所以，即， 所以数列为常数列，则，可得. （2）因为，所以，可得， 所以 .所以. 【例2】（2025上海格致中学高三模拟）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，利用累乘法计算出，检验时，也成立，得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由， 得， 则当时，， 所以， 当时，上式成立， 所以； （2）由（1）知①， ②， ①-②得，， ． 【例3】（2025上海外国语附中高三模拟）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出，进一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，进一步得出，再采用裂项法即可求得. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 当时，， 当时，，解得， 所以， 故的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以， 故. 【例4】（2025上海普陀区高三模拟）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据等差数列的定义写出的通项公式，由等差中项的性质有，应用等比数列的通项公式求公比，进而确定的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求. 【解答过程】（1）因为，又， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中，则，解得或 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； （2）由（1）， . 【例5】（2025上海奉贤中学高三模拟）已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求和：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用题中的两个条件，即可求解; （2）先利用递推作差法求得从而求得，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项， 则，即， 化简得， 又，即， 化简得则， 故. （2）因为， 所以， 两式相减得 又满足上式，所以 又，所以 则 ， ， 两式相减得： . 【例6】（2025上海复兴高级中学高三模拟）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 题型02：含奇偶项讨论问题 【例7】（2025上海大同中学高三模拟）数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式作商得，再分类讨论结合累乘法计算即可； （2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可. 【详解】（1）∵，，则， ∴，两式相除得：， 当时，， ∴，即， 当时，， ∴，即， 综上所述，的通项公式为：； （2）由题设及（1）可知：， 【例8】（2025华师二附中高三模拟）已知{an}是由非负整数组成的数列，满足 (1)求a3； (2)证明 (3)求{an}的通项公式及其前n项和Sn． 【答案】(1)2； (2)证明见解析； (3)；. 【分析】(1)代入，可得，求得； (2)利用数学归纳法证明即可； (3)隔项差为定值，采用奇偶分析法求解. 【详解】（1）当时， 因为均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10． 若，则与题设矛盾；若，则与题设矛盾； 若，则与题设矛盾． 所以． （2）①当时，等式成立； ②假设当时等式成立，即由题设 又所以，即， 所以当n=k+1时，等式成立 根据①和②，可知结论对一切n≥3正整数都成立． （3）因为 当时， 即数列的奇数项为等差数列，且首项为，公差为2， 所以当时， 当时， 即数列的偶数项为等差数列，且首项为，公差为2， 所以当时， 综上所述， 当时， ； 所以当时，； 当时， ； 所以时，. 综上所述， 【点睛】方法点睛： 数学归纳法的一般步骤： （1）验证时成立； （2）假设当时成立，证得也成立； （3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设． 【例9】（2024上海松江高三模拟）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2). 【来源】辽宁省大连市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）根据求出和的关系，据此即可求解； （2）设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，求出和即可求解. 【详解】（1）因为①，时，②， ①-②整理得， 数列是正项数列，， 当时，， ，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为， ， ， . 【例10】已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质和求和公式计算； （2）利用分组求和的方法计算. 【详解】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，，所以，即． （2）因为，所以， 所以． 【例11】（2024上海徐汇区高三模拟）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列建立等量关系，在由等差数列中项的关系，求出公差即可写出等差数列通项公式； （2）写出数列的通项公式，讨论的不同取值时，的值，从而写出数列的前2025项的和，根据周期性分组求和. 【详解】（1）设数列公差为， 由题意可知，即， ∴，则，解得， ∴. （2）， 当为偶数时，为奇数，则，即， 当时，， 当为偶数时，，当为奇数时，， 设数列的前项和为， 则， . 【例12】（24-25高三甘肃白银·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式； （2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，， 当时，也适合上式，所以． （2）由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，， 所以. 题型03：数列的证明类问题 【例13】（21-22高二下·上海普陀·期末）在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)见解析. 【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解； （2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证. 【解析】（1）， ，又数列为常数列， ， 解得或（舍去） 的通项公式为. （2）当时，，成立； 假设时成立，即， 当时，（为锐角）， 即时，成立， 综上，对任意，都有. 【例14】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，，所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ，当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【例15】（2025·湖北·一模）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的的最小值； (3)已知，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)最小值为 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据退一相减法可得，再结合累加法可得通项公式； （2）由通项公式代入不等式，可得的范围，即可得解； （3）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证. 【解答过程】（1）由已知， 则， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得， 则； （2）由（1）得，且， 即， 化简可得， 又，即， 所以满足的的最小值为； （3）依题意得，， 则， 又，所以， 所以， 即. 【例16】设为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】辽宁省辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式； （2）应用错位相减法求得，化简即可证明． 【详解】（1）因为， 所以，故， 当时，，所以， 所以， 则数列是公比为2的等比数列， 所以． （2）因为，所以， ① ② ①②得，所以 所以． 【例17】（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用给定条件再结合求解通项公式即可. （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【详解】（1）因为，又， 所以，即， 由题意得，于是，而， 即是以1为首项，1为公差的等差数列， 从而，即，因此， 而满足上式，故. （2）由（1）知，则， 因此， 则， 显然数列单调递减，于是， 则，故. 题型05：数列恒成立能成立求参 【例18】（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【解答过程】（1）由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. （2）由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 【例19】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列和满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过的关系作差，得到，即可求解； （2）由（1），同除，得到，构造等比数列，得到，即可求解； （3）问题转换成恒成立，判断单调性，即可求解. 【解答过程】（1）由， 可得：， 两式相减可得：，， 可得：，又， 所以， 即， （2）由（1）， 两端同除，可得， 所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 即， 可得：，， 所以； （3）由（1）（2） 即为：， 即对任意的，恒成立， 由， 因为，， 所以， 即当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以， 则的取值范围是. 【例20】(23-24高二下·辽宁·期末)已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围． 【详解】（1）因为，，两边同时除以可得： ，从而，， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以， 则； （2）由，， 所以，则， 所以， 所以 则， 因为中的每一项，所以为递增数列， 所以，因为， 所以，即实数的取值范围为. 【例21】（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，即可得解； （3）利用分组求和法求出，即可得到对任意恒成立，，，结合函数的单调性计算可得. 【详解】（1），，又， 是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，. （3）因为，所以，因为对任意恒成立，则对任意恒成立，，， 易知在单调递增，时，取得最小值，最小值为，，即实数的取值范围为. 【例22】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，数列满足，求证：； (3)若对任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件求出，继而结合得关系推出，说明数列为等比数列，即可求得答案； （2）求出利用的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论； （3）将恒成立问题转化为，即恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）由得，即，所以． 若，则； 若，则由得， 两式相减得， 化简得， 所以数列是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此， 当时，也满足该式，故． （2）证明：因为，所以，则， 因此 ．又因为，且，故， 因此得证． （3）由（1）得，则，即， 令（，）， 为使对任意正整数n都有成立，即， 因为，所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减． 又，且，，， 所以，因此，即． 题型06：数列存在性问题求参 【例23】已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 【例24】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，数列中，，对任意正整数． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)(2)存在，，(3)证明见解析 【分析】（1）利用求解； （2）求出，再令为等比数列，求出的值，再检验数列是等比数列； （3）根据（2）求出数列的通项，再利用并项求和以及等比数列求和公式求出数列的前项和，再分奇偶，分别研究其增减性即可求出范围. 【详解】（1）当时，，即， 当时，，符合上式，所以． （2）由（1）可得，则，因，则， 假设存在实数，使数列是等比数列， 因为是等比数列， 且， 所以，解得，从而， 此时，，所以存在实数，使得数列是以为首项，为公比的等比数列． 【例25】（2022·上海闵行·统考二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2，首项为1，从而得到前n项和； （2）假设存在，使对任意恒成立，变形为对任意恒成立，结合当时，，求出且，因此符合题意得不存在. 【解析】（1）由题意得：，解得：， 由，解得：， 所以； （2）假设存在，使对任意恒成立， 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，， 所以且，因此符合题意得不存在，证毕. 【例26】已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意知当时，① 当时，② 联立①②，解得，； 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，， 所以，可得； 设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 所以，即； 又因为，，成等差数列，所以， 所以，化简得，即； 又，所以与已知矛盾； 所以在数列中不存在3项，，成等比数列． 题型04：插入数或者项构成新数列问题 【例27】（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式； （2）根据等差数列的性质计算得，利用错位相减法计算和式即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①， 因为，，成等差数列，则，即②， 因为，所以由②式可得，解得或（舍）， 代入①式可得， （2）由题可得，即，所以， 则，所以①， 则②， 故①－②得： 所以. 【例28】（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式； （2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以数列为首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以当时， ， 所以， 所以当时，，又也满足该关系， 所以数列的通项公式为； （2）数列中在之前共有项， 当时，，当时 【例29】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 【答案】(1)证明见解析； (2)， (3). 【分析】（1）利用给定的递推公式计算即可得证. （2）由（1）按奇偶求出的通项公式，再列式求出的公差，进而求出通项公式. （3）根据数列的构成规律，求出前项中数列与的项数，再结合等差数列、等比数列前项和公式计算即可. 【详解】（1）数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为. （2）由（1）知，，， 所以数列的通项公式为； 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为. （3）依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项， 因此数列中，前共有项，当时，， 当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 【例30】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的项，公差． (1)在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； (2)在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质可求得的公差，可求得的通项公式； （2）由题意可得的第50项在和之间，进而利用分组求和法可求得的前项的和. 【详解】（1）由题意可得，， ∵是等差数列，设公差为， ∴， ∴． （2）因为，，， 即的第50项在和之间． 所以数列的前50项中含有数列的前9项，含有数列的前41项， 所以数列的前50项的和为 . 题型07：数列新定义 【例31】（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等方差数列的定义列方程，解出数列的通项公式； （2）由数列既是等方差数列，又是等差数列列方程，通过化简计算可得数列为常数列． 【详解】（1）由等方差数列的定义可知， 由此可得， 又，所以． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为， 则． 又是等方差数列，所以． 故， 所以， 即， 所以，故是常数列． 【例32】（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“数列”. (1)数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由； (2)数列是等差数列，其首项，公差，数列是“数列”，求的值； (3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立. 【答案】(1)数列不是“数列”，理由见解析(2)-1(3)证明过程见解析 【分析】（1）根据求出，当时，令，无解，故数列不是“数列”； （2）根据等差数列通项公式和前项和公式列出方程，得到，要保证恒为整数，又，求出 （3）令，得到数列均为“E数列”，从而得到结论. 【解析】（1）当时，， 当时，， 故， 当时，令， ，故，无解，故数列不是“数列”； （2）是等差数列，故， 设前项和为，则， 因为数列是“数列”， 所以，即， 其中为非负整数，所以要保证恒为整数， 故为所有非负整数的公约数，且， 所以 （3）对任意的等差数列，，（d为公差）， 设，则， 设数列的前项和为，为数列的第项， 设数列的前项和为，为数列的第项， 故数列均为“E数列”， 故对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 【例33】（2025·江苏·模拟预测）若数列满足，则称为“阶跃数列”. (1)若，判断是否为“阶跃数列”； (2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围； (3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”. 【答案】(1)为“阶跃数列”； (2). (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据“阶跃数列”的定义，证明即可； （2）根据“阶跃数列”的定义可得恒成立，令，利用数列单调性求出的最大值即可； （3）先根据“阶跃数列”的定义，结合放缩法、累加法证明，再证明即可. 【解答过程】（1）令，则， 所以，即，所以为“阶跃数列”； （2）令， 则， 又为“阶跃数列”，所以， 所以，即， 令，则，所以为递减数列， 所以当时，取到最大值1，所以. （3）因为为“阶跃数列”，所以，即， 所以 所以. 当时，， 整理得， 所以，即； 当时， 所以对，即数列是“阶跃数列”. 【例34】（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质． (1)若数列具有性质，求； (2)若，求证：数列具有性质； (3)数列具有性质，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，成等比数列，列式运算得解； （2）根据数列的新定义运算证明； （3）根据题意可得，即，得数列是等比数列，运算得解. 【详解】（1）由题意可知成等比数列． 则 即， ，解得. （2）； ， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列，故数列具有性质． （3）由数列具有性质，则为等比数列， 因为 所以， 故数列为以2为首项以2为公比的等比数列． 则， 于是， 即，由． 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 得． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用数列性质求出数列的通项，构造证明数列是等比数列，得解. 【例35】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）“等比子列”可能为；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； （2）要使公比最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； （3）要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列， 要使公比最小，则，即， 所以，则，又， 所以，可得. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 题型08：数列与函数综合 【例36】（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 【例37】（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 【例38】（2025·上海虹口·二模）已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 解：(1) ，即．…………2分 故………………………4分 解得．……………………………6分 (2) 由于，，成等比数列，故， 即对有解．……………………………8分 令， 所以．………10分 所以对有解．………………12分 由于，等号当且仅当，即时成立． 所以，故的最小值为．14分 【例39】（24-25高二下·四川凉山·期中）已知关于的函数，其图象与直线相切. (1)求的值； (2)证明：； (3)设数列，的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可求出切点的横坐标，即可得出切点的坐标，由此可求得实数的值； （2）利用导数求出，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，结合不等式的基本性质得出，由此得出，然后利用放缩法可证得结论成立. 【详解】（1）函数的图象与轴相切， 则，得，代入可得， 所以，切点坐标为，所以. （2）由（1）知， 则，得，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，得证. （3）由（2）知，当时，，所以，， 即当时，， 当时，，所以，， 则，，所以，即， 累加得， 所以. 故对任意的，. 【例40】设数列的前n项和为，对一切，点都在函数图象上. (1)求，归纳数列的通项公式（不必证明）； (2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值； (3)设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围. 【答案】(1). (2) (3) 【分析】(1)根据题意求出前几项利用归纳推理猜想通项公式 ； (2)观察发现规律，可得：是第25组中第4个括号内各数之和； (3)将恒成立问题转化为求函数的最值进行求解. 【解析】（1）因为点在函数的图像上，故，所以， 令，得，所以，令，得，所以， 令，得，所以.由此猜想:. 当时，，且已知，， 当时，， 故，化简整理得， 当时，，两式相减可得，结合， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即，故， 经检验符合题意，且当时，， , 故成立 （2）(2) 因为,所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为， … 每一次循环记为一组. 由于每一个循环含有4个括号， 故是第25组中第4个括号内各数之和. 由分组规律知， 由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列， 且公差为20.同理， 由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列， 且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列， 且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以又,所以. （3）(3)因为,故 所以. 又故对一切都成 立， 就是 对一切都成立设则只需即可. 由于 所以,故是单调递减,于是 令,即解得或 综上所述，使得所给不等式对一切'都成立的实数a的取值范围是. 1．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式； （2）利用并项求和法可求． 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 2．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列； （2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可. 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以，因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以，所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以，所以，当时，， 当时，，所以, 所以， 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列公式，结合列出的方程组即可求解； （2）利用分组求和，奇数项的和用错位相减法，偶数项的和用裂项相消法即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可得，则 因为数列是递减的等比数列，解得， 所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以，， 故. （2）当为奇数时，，令， 则，所以，， 两个等式作差可得 ，化简得； 当为偶数时， 令， 故. 4.（2023秋·广东广州·高三广州市第一中学校考阶段练习）在数列中，已知，． (1)求证：是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）通过凑配法证得是等比数列. （2）利用分组求和法求得. 【详解】（1）由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得. 所以 . 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）由已知，， ，，， 又, ， 数列中任意一项不为0, ， 数列是首项为2, 公比为2的等比数列，. （2）由第（1）问知， ， 则，设数列的前项和为, 所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 6.（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． （2）（i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 7.（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为，故，故， 而为等比数列，故其公比为， 又，故，故， 故. （2）由题设可得， 若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，因为等差数列， 故即，故， 故即，这样不同矛盾， 故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 8．（24-25高三上·江西赣州·期中）若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】(1) (2)不是“线性可控数列”，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由“线性可控数列”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先求得数列的通项公式，然后结合“线性可控数列”的定义代入计算，即可判断； （3）根据题意，先由“线性可控数列”的定义列出式子，然后分别假设，以及假设，推导出矛盾结论，从而可得，且，即可证明. 【详解】（1）由“线性可控数列”的定义可知，， 解得.因为，所以，即. （2）数列不是“线性可控数列”，理由如下： 令，得. 当时，也符合）， 所以，所以. 要使为“线性可控数列”，则需， 即恒成立. 因为 ，显然不可能恒小于等于零， 所以不能恒成立， 所以数列不是“线性可控数列”. （3）由题可知，且， 则，即.① 假设，得，所以，所以. 因为，所以，所以由①式可得 ，得， 即.② 同理由，得③ 因为，所以，所以，所以. 因为，所以， 所以②式可得， 即，所以，④ 所以②和④式矛盾，所以假设不成立，所以不能同时大于2. 当时，再假设，则由④式， 因为不能大于2，所以，即. 这与第一次的假设又会相矛盾，所以，且 所以当时， ，所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列新定义知识，难度较大，解答本题的关键在于理解清楚“线性可控数列”的定义，然后结合数列的相关知识代入计算求解. 9．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【详解】（1）记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用型函数的性质放缩得，最后再不断放缩，结合等比数列求和公式即可. 10．（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 11．（24-25高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，从而求得，即，从而求解. （2）由（1）得，求出，从而求解. 【解答过程】（1）因为在函数上， 所以：，又， 所以：，即：， 且，可知， 两边取以为底的对数，， 又，， 所以：是首项为，公比为的等比数列． 所以：， 所以：. （2）因为，， 所以：， 则：，得：， 又因为：， ， 即证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $