精品解析：广东省广州市第二中学2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

广州二中教育集团2025学年第一学期期中质量监测初三年级数学试卷 （满分120分） 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列新能源汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念和各图的特点解答． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意， C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 抛物线可由抛物线经过怎样的平移得到（ ） A. 向上平移2个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移，解题的关键是熟练掌握“上加下减”的规律，即函数值的变化对应上下平移． 根据函数平移的规律“上加下减”，即函数值上加常数表示向上平移，减常数表示向下平移． 【详解】解：∵ 是由 在函数值上加2得到， ∴ 抛物线向上平移2个单位长度． 故选：A． 3. 方程的根是（　　） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，这个式子先移项，变成，从而把问题转化为3的平方根． 【详解】解：移项得， ． 故选：D 4. 五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ） A. 36° B. 60° C. 72° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数． 故选C 5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质（开口、对称轴、与轴交点、判别式）．关键是掌握系数a、b、c及判别式与图象的对应关系，易错点是判断b的符号时忽略a的影响． 由图象开口向下得；对称轴且，得；与y轴交于正半轴得；与x轴有两个交点得． 【详解】选项A：因为二次函数图象开口向下，所以，故不正确． 选项B：因为对称轴，且，所以，故不正确． 选项C：因为图象与y轴交点在正半轴，所以，故正确． 选项D：因为图象与x轴有两个交点，所以，故不正确． 故选：C． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．由题意得，，，得，则，即可得． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（ ） A. 第1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：A.∵ 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患病人数为， 故A正确，不符合题意； B.∵ 第一轮后有人，每人传染人， ∴ 第二轮新增加 人， 故B正确，不符合题意； C.∵ 两轮后总患病人数为，且给定为 49， ∴ 列方程 ， 故C正确，不符合题意； D.解方程 ， 解得（舍去负值）， ∴ ， 三轮后总人数应为 ， 但D说245人，故错误，符合题意； 故选：D． 8. 二次函数的最小值为() A. 5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于二次函数开口向上，其最小值在顶点处取得，可通过顶点公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴顶点横坐标， 代入函数得， ∴最小值为． 故选：B． 9. 抛物线中，与的部分对应值如表： ．．． 2 5 8 ．．． ．．． 15 15 ．．． 下列结论中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由题可知抛物线的对称轴为直线 或 ，故选项C错误； ∵对称轴处函数值最大（ 比大），抛物线开口向下，故选项A错误； ∵开口向下， ∴当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小； 选项B中 时不一定减小，故错误； 选项D中 时y随x的增大而增大，正确； 故选：D. 10. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ） A. 先增大后减小，最大面积为32 B. 先减小后增大，最小面积为24 C. 始终不变，面积为32 D. 始终不变，面积为24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 点与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为______． 【答案】（4，-1） 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）． 【详解】解：点A（-4，1）关于原点中心对称的点的坐标是（4，-1）， 故答案为：（4，-1）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 12. 抛物线的对称轴是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，由二次函数的顶点式得出顶点坐标，进而即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 13. 如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转得到，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，三角函数，正确理解旋转角的定义，求得的度数是关键． 首先求得的度数，然后利用三角函数求得的长，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质得出，． ， ∵等腰直角三角形，， ∴ 由旋转的性质得出， ， ． 故答案为： 14. 如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若，且，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，同圆半径相等，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．由平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据三角形的内角和定理计算可得的度数，再根据平角的定义即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 故答案为： 15. 汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为_____秒． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将函数关系式化为顶点式，求出其顶点的横坐标． 汽车刹车后到停止时行驶距离最大，所以需要将给定的二次函数关系式化为顶点式，通过顶点的横坐标求出汽车从刹车到停止所用的时间． 【详解】解：由，得 ， 故当时，取得最大值，即汽车停止． 故答案为：3． 16. 已知表示不超过实数的最大整数，如．函数的部分图象如图所示，满足方程的解集为_____；若方程在有且只有1个解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查函数的性质，根据题干已知即可知方程的解集；再应用分类讨论思想分为、和，各自求得对应的a值，再结合在有且只有1个解的要求进一步求得满足题干的解即可． 【详解】解：∵表示不超过实数的最大整数，， ∴， 当时，，则方程为， ∵， ∴，方程无解； 当时，，则方程为， ∴， 解得； 当时，，则方程为， ∴， 解得； ∵方程在有且只有1个解， ∴或， ∵方程在时只有1个解，即与的交点， ∴成立， 故答案为：①，②或． 三．解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解关于的一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得． 18. 如图，将三角板（，）绕点逆时针旋转一定角度得到，使得点恰好落在边上．求证：等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，根据已知可得，即可得出是等边三角形，则，进而得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转一定角度得到， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 19. 如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点对应，点和点对应）． （1）画出旋转后的，并写出点的坐标为_____． （2）连接，则的度数为_____． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，确定点的坐标等内容，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质，确定三角形的对应点，然后连接各顶点即可，根据平面直角坐标系确定点的坐标； （2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：即为所求， 点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 根据旋转的性质得，，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 20. 如图，是的直径，弦于点，，． （1）求的长度； （2）求的直径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理； （1）根据垂径定理，即可求解； （2）连接，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 小问1详解】 解：∵是的直径，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设的半径为 在中， ∵，即 解得： ∴的直径为． 21. 若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）_____，_____； （2）． 【答案】（1）5，3 （2）2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：5，3； 【小问2详解】 解：∵为方程的根， 则即， ∴. 22. 在国庆黄金周，熊猫基地的游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用900元购进款产品，第二次用720元购进款产品，款产品购进单价比款产品购进单价高6元，款产品的购进数量比款产品的购进数量少10个． （1）该商店款产品的购进单价为多少元？ （2）第一批款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件产品，当款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【答案】（1）款产品的购进单价为30元 （2）款产品降价2元时，每天可获利192元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用和分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设商店款产品的购进单价为元，则则款产品的购进单价为元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可； （2）设款产品降价元，则每日售出件，根据每天利润为192元建立一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设款产品购进单价为 元，则款产品的购进单价为元，则： 解得：（舍去）或 经检验，是原分式方程的解． 答：款产品购进单价为30元． 【小问2详解】 解：设款产品降价元时；则 整理得： 解得：（负值舍去） 答：款产品降价2元时，每天可获利192元. 23. 已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数的图象与轴有公共点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，请根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）若，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为8，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，利用图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用一元二次方程根的判别式，列出不等式进行求解即可； （2）将点的坐标代入解析式，求出解析式，然后解一元二次方程，求出抛物线与横轴的另一个交点坐标，根据二次函数的图象，确定不等式的解集即可； （3）根据二次函数的增减性分类讨论进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴该二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴结合抛物线的，不等式的解集为； 【小问3详解】 解：当时，， ∴对称轴为直线， 当时，，根据二次函数的图象的增减性得，随的增大而减小， ∴当时，其对应的函数值的最小值为8， ∴， 解得（舍去）或； 当时，根据二次函数的图象的增减性得，随的增大而增大， ∴当时，其对应的函数值的最小值为8， ∴， 解得（舍去）或； 当时，； 综上，或． 24. 根据以下信息，探究完成任务： 雨伞中的数学问题 问题背景 中国是世界上最早发明雨伞的国家，古代称其为“簦”．最初主要用于遮阳，后来功能扩展至遮雨，逐渐成为一种普遍且实用的日常用品．雨伞是中国传统文化的重要组成部分，并于世纪传入欧洲． 数学抽象 下面图是现代常见雨伞的结构图，图是横截面抽象示意图．已知是支撑整个雨伞的固定长伞柄，点，，，均在伞骨上通过开孔彼此连接以方便旋转，点与，点与分别关于伞柄对称，点是固定卡扣，，大小伞骨均是线段，大伞骨，小伞骨，点的上下滑动影响伞骨的受力从而决定雨伞的张开程度，是被动伸缩的弹簧滑动装置． 动态变化 当向上推动点，在小伞骨的作用下，大伞骨会随之向上同时伞面被撑开，当点到达点时整个雨伞完全打开，此时点三点共线，伞面形成抛物线，且． 雨伞完全打开后，请借助备用图进行辅助分析，解决如下三个数学问题 任务（1） 的长度为_____，的长度为_____． 任务（2） 过点作平行于的直线，交抛物线于，，请用适当的数学思想方法，求出的长度（结果保留根号）． 任务（3） 如图，为线段上方的抛物线上一点，过点作交于点，过点作于点，请探索是否存在最大值，若存在，求此时点离伞柄的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】任务（1）：； 任务（2）： 任务（3）：存在．点离伞柄的距离为． 【解析】 【分析】任务（1）当点到达点时整个雨伞完全打开，此时点三点共线，伞面形成抛物线，即，根据，可得，根据勾股定理可得． 任务（2）过点作平行于的直线，交抛物线于，，建立以点为原点，以为轴，以为轴的平面直角坐标系，待定系数法求得抛物线解析式为，由，，可得，将代入抛物线解析式即可得，，进而得出． 任务（3）过点作交于点，根据等腰直角三角形的性质可得，即，利用待定系数法分别求出直线解析式为，直线解析式为，设，则，，进而得出，，，故可得当时，有最大值，即有最大值，点离伞柄的距离为． 【详解】解：任务（1）：当点到达点时整个雨伞完全打开，此时点三点共线，伞面形成抛物线，即，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：，（舍）， 故答案为：；． 任务（2）: 过点作平行于的直线，交抛物线于，，建立以点为原点，以为轴，以为轴的平面直角坐标系，如图所示： 由题意可得，，， 设抛物线解析式为， 将代入上式，可得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：， ∴，， ∴． 任务（3）：存在． 理由：过点作交于点，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， 故可设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵，， 故可设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 又∵抛物线解析式为， 设，则， 将代入，即， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值，点离伞柄的距离为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，待定系数法，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 已知是等边三角形． （1）如图1，点是内一点，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转60°，请画出旋转后的图形； （2）在（1）条件下，若，，，请求出的度数与的边长； （3）若点为边上的动点（不与线段端点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接交于点． ①请探究线段与的数量关系，说明理由： ②当线段长度最小时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2），的边长为 （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据题意画出旋转图形，即可求解； （2）根据旋转的性质得出是等边三角形，根据勾股定理的逆定理求得，进而求得，过点作交的延长线于点．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而勾股定理，即可求解； （3）①在上取点，使得，连接，证明，进而证明四边形是平行四边形，得出，证明，即可得证； ②过点作于点，连接，设的边长为，，则，勾股定理得出，根据二次函数的性质求得取得最小值时，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点． ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵，，， ∴，， ∴，且， ∴； ∴， ∴，， ∴， 在中，； 【小问3详解】 解：，证明如下， 如图所示，在上取点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点作于点，连接， 设的边长为，，则， ∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴，， ∴， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2025学年第一学期期中质量监测初三年级数学试卷 （满分120分） 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列新能源汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线可由抛物线经过怎样的平移得到（ ） A. 向上平移2个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移2个单位长度 3. 方程的根是（　　） A. B. ， C. D. 4. 五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ） A. 36° B. 60° C. 72° D. 90° 5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误是（ ） A. 第1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 8. 二次函数的最小值为() A. 5 B. C. 7 D. 9. 抛物线中，与的部分对应值如表： ．．． 2 5 8 ．．． ．．． 15 15 ．．． 下列结论中，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 10. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ） A. 先增大后减小，最大面积为32 B. 先减小后增大，最小面积为24 C. 始终不变，面积为32 D. 始终不变，面积为24 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 点与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为______． 12. 抛物线的对称轴是_____ 13. 如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转得到，若，则阴影部分的面积为_____． 14. 如图，是直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若，且，则的度数为_____． 15. 汽车刹车后行驶的距离（米）关于行驶时间（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为_____秒． 16. 已知表示不超过实数的最大整数，如．函数的部分图象如图所示，满足方程的解集为_____；若方程在有且只有1个解，则实数的取值范围是_____． 三．解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解关于的一元二次方程：． 18. 如图，将三角板（，）绕点逆时针旋转一定角度得到，使得点恰好落在边上．求证：是等腰三角形． 19. 如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点对应，点和点对应）． （1）画出旋转后的，并写出点的坐标为_____． （2）连接，则的度数为_____． 20. 如图，是的直径，弦于点，，． （1）求的长度； （2）求的直径． 21. 若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）_____，_____； （2）． 22. 在国庆黄金周，熊猫基地的游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用900元购进款产品，第二次用720元购进款产品，款产品购进单价比款产品购进单价高6元，款产品的购进数量比款产品的购进数量少10个． （1）该商店款产品的购进单价为多少元？ （2）第一批款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件产品，当款产品降价多少元时，每天可获利192元． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数图象与轴有公共点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，请根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）若，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为8，求的值． 24. 根据以下信息，探究完成任务： 雨伞中的数学问题 问题背景 中国是世界上最早发明雨伞的国家，古代称其为“簦”．最初主要用于遮阳，后来功能扩展至遮雨，逐渐成为一种普遍且实用的日常用品．雨伞是中国传统文化的重要组成部分，并于世纪传入欧洲． 数学抽象 下面图是现代常见雨伞的结构图，图是横截面抽象示意图．已知是支撑整个雨伞的固定长伞柄，点，，，均在伞骨上通过开孔彼此连接以方便旋转，点与，点与分别关于伞柄对称，点是固定卡扣，，大小伞骨均是线段，大伞骨，小伞骨，点的上下滑动影响伞骨的受力从而决定雨伞的张开程度，是被动伸缩的弹簧滑动装置． 动态变化 当向上推动点，在小伞骨的作用下，大伞骨会随之向上同时伞面被撑开，当点到达点时整个雨伞完全打开，此时点三点共线，伞面形成抛物线，且． 雨伞完全打开后，请借助备用图进行辅助分析，解决如下三个数学问题 任务（1） 的长度为_____，的长度为_____． 任务（2） 过点作平行于的直线，交抛物线于，，请用适当的数学思想方法，求出的长度（结果保留根号）． 任务（3） 如图，为线段上方抛物线上一点，过点作交于点，过点作于点，请探索是否存在最大值，若存在，求此时点离伞柄的距离；若不存在，请说明理由． 25. 已知是等边三角形． （1）如图1，点是内一点，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转60°，请画出旋转后的图形； （2）在（1）条件下，若，，，请求出的度数与的边长； （3）若点为边上的动点（不与线段端点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接交于点． ①请探究线段与数量关系，说明理由： ②当线段长度最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $