精品解析：广东省茂名市多校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

茂名市龙岭教育共同体2025-2026学年第一学期期中考试初三数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一 、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知，则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的基本性质，由已知比例式可得等式，再验证各选项是否一致． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 选项A： ⇒ ，与 不符，故不成立； 选项B： ⇒ ，与 不符，故不成立； 选项C：，与已知一致，故成立； 选项D：，与 不符，故不成立． 故选：C． 2. 南阳，一个值得“三顾”的地方．甲、乙两人相约来南阳旅游，两人分别从武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择“武侯祠”景点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 根据画树状图法求概率即可． 【详解】解：将武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点命为A、B、C景点， 画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点A的情况有1种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故选：D． 3. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：菱形的面积为； 故选C． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程移项后，两边加上4变形即可得到结果． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5. 如图，，若，则的长度是（　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键． 根据表格中的数据即可解答． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是． 故选C． 7. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 8. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得·：， 故选：C． 9. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，E，F是边上的三等分点，连接相交于点G，连接，过点G 作，若，，则的值是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，先判定 都是等腰直角三角形，得到，进而根据等腰直角三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：∵E，F是边上的三等分点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题：本大题共有5小题，每小题3分，共15分 11. 一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 13. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：熟悉增长率模型列方程是解决问题的关键．利用增长率模型列出一元二次方程即可． 【详解】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x， 根据题意得： 故答案为： 14. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】 【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12-x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形， 则△GED不是等腰三角形， △GDE与△BEF不相似， ③错误； S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确. 故答案为：①②④ 三 、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 16. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】略 17. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，F是边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质和勾股定理． （1）根据平行四边形的性质可得，结合，可知 ，即，再根据即可求证； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和， 因此，即，从而可得，在中，由勾股定理得的值，进而利用即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 四边形是矩形， ， ． 四 、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1），， 补全图形如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数； （3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：， 抽查的总人数为：； 喜欢乒乓球的人数为：(人)． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ ∴该校约有名学生喜爱打篮球． 故答案为：． 【小问3详解】 列表如下： 女1 女2 女3 男 女1 女2，女1 女3，女1 男，女1 女2 女1，女2 女3，女2 男，女2 女3 女1，女3 女2，女3 男，女3 男 女1，男 女2，男 女3，男 ∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴抽到一男一女学生的概率是． 19. 如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成 一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为，宽为． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元? 【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为 （2）该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框（空白部分）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元，根据总利润单件利润销售量列出一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设画框（空白部分）的宽度为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合实际，舍去， ∴， ∴画框（空白部分）的宽度为； 【小问2详解】 解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 故该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为12000元． 20. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 21. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【小问1详解】 解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 设． ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 22. （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，通过角的和差得到，即可通过证得； （2）过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，由矩形的性质可得，，从而得出，，证明，从而可得，再由相似三角形的性质求解即可； （3）由平行四边形的性质可得，，由是直角三角形，，得出或；当时，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则，从而可得，设，则，设，则，证明，再证明，得出，再结合勾股定理可得，从而得出，设，则，由相似三角形的性质求出，再根据，计算得出，进而得出，最后由勾股定理计算；当时，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，设，由题意可得，，求出，，证明，求出，进而可得；再根据，求出，进而可得，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ， ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又∵是直角三角形，， ∴或 当时，如图，过点作的垂线交于点，则， ， ∴， 设，则， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，四边形和四边形都是矩形， 此时， 过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ∵四边形和四边形都是矩形，，，设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， 解得， ∴，即点Q与点O重叠， 此时； 综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市龙岭教育共同体2025-2026学年第一学期期中考试初三数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 一 、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分． 1. 已知，则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 南阳，一个值得“三顾”的地方．甲、乙两人相约来南阳旅游，两人分别从武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择“武侯祠”景点的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的长度是（　） A. 3 B. 4 C. D. 6. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在矩形中，E，F是边上的三等分点，连接相交于点G，连接，过点G 作，若，，则的值是（　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共有5小题，每小题3分，共15分 11. 一元二次方程的一次项系数是______． 12. 若，则的值为________． 13. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 14. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三 、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 解下列方程： （1）； （2）． 16. 如图，．求证：． 17. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，F是边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，求的长． 四 、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 19. 如图，某公司将手工绘画的风景画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成 一个矩形工艺品后，进行销售，该工艺品的长为，宽为． （1）若该工艺品中间的风景画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．为了让顾客得到优惠，该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为12000元? 20. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 21. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 22. （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $