精品解析：河南省郑州市“八校联盟”2025-2026学年高二上学期11月期中学业水平测试数学试题

2025~2026学年上学期期中学业水平测试 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，直线上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，且，则__________. 13. 已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为__________. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F满足，，记． （1）当平面平面时，求的值； （2）当时，求直线与平面所成角的大小． 16. 已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 18. 已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期期中学业水平测试 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用截距的概念进行求解即可. 【详解】令，解得，即直线在轴上的截距为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 3. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】由题意，得， 解得. 故选：D. 4. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过方程表示椭圆的等价条件：或，再根据充分性和必要性进行判断. 【详解】若方程表示椭圆，则， 解得或， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 6. 在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记的重心为，点是的中点，点是的中点，进而求得，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将化为，数形结合求最小值. 【详解】记的重心为，点是的中点，点是的中点， 在正三棱锥中，所以， 平面，又平面，所以，则. 又， 所以 ， 所以当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：C 7. 已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知, 故, 且, 又，所以当或时， 取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为． 故选:C． 8. 在平面直角坐标系中，点，直线上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设点，再应用两点间距离公式计算得出圆的方程，再结合圆心到直线距离列式计算求解. 【详解】设，又，所以， 整理得，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 10. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，且，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据空间向量平行公式计算求解. 【详解】因为，所以其对应坐标成比例，即，解得. 故答案为：6. 13. 已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故答案为：. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F满足，，记． （1）当平面平面时，求的值； （2）当时，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再由面面垂直得到法向量的数量积为零求解即可； （2）由空间线面角公式再结合特殊角的三角函数值计算即可； 【小问1详解】 在直三棱柱中，，， 又，故以A为坐标原点，直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，， 所以，，，． 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，所以， 因为平面平面，所以， 所以，即，， 所以． 【小问2详解】 当时，，结合（1），得，， 设直线与平面所成角为， 所以， 又，所以． 16. 已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 18. 已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 【答案】（1）直线与的方程为或. （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, 【小问1详解】 可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. 【小问2详解】 由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以. 【小问3详解】 的圆心，半径；的圆心，半径. 因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $