第二十四章一元二次方程随堂练习 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

第二十四章一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用公式法解方程，其中根的判别式的值是（   ） A． B． C．12 D．8 2．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 3．已知是关于的方程的根，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 4．方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实根 5．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 6．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 8．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 9．用因式分解法解下列方程，正确的是（    ） A．，所以或 B．，所以或 C．，所以或 D．，所以 10．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 11．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 12．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在中，，cm，cm，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为 ． 14．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为 ；若输入，则输出的x的值为 ． 15．某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ． 16．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ． 17．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 三、解答题 18．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．解方程： (1)； (2)． 20．如图，在中，，动点从点沿边向以的速度移动（不与点重合）；动点从点沿边向以的速度移动（不与点C重合） (1)设时间为，则________，________； (2)如果、分别从、同时出发，出发多少秒后，四边形的面积为？ 21．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 22．解下列方程： (1) (配方法) (2) (公式法) 23．石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 24．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 《第二十四章一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A B D D B A C 题号 11 12 答案 B A 1．B 【分析】本题考查了根的判别式的确定．代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，掌握方程的解的意义是解题的关键．把代入求得． 【详解】解：把代入得 ， 故 故选D． 4．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 求出的值即可判断． 【详解】∵， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3． 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 6．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合； B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合； C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合； D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义； 故选：D． 7．D 【分析】根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】解：①适合直接开平方法； ②适合公式法； ③适合因式分解法； ④适合因式分解法； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 9．A 【分析】根据因式分解法解方程的基本步骤去判断即可． 【详解】A. ，所以或，符合题意； B. ，所以或，错误，不符合题意； C. ，所以或，错误，不符合题意； D. ，所以，错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法解方程的基本步骤是解题的关键． 10．C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 11．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式． 根据根的情况利用根的判别式列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∵， ∴， 综上，且， 故选：B． 12．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 13．2 【分析】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键在于根据三角形面积公式分别表示出和的面积，然后根据面积关系列出方程求解． 根据运动速度，可得，，则可表示与，再表示出和的面积，列式求解即可． 【详解】解：∵点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动， 且其速度均为，运动时间为， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 整理可得， 解得，， ∵当时，点P运动路程为，不满足题意， ∴当的面积是的面积的一半时，的值为2． 故答案为：2 ． 14． 或 无解 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意分别列出一元二次方程，求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：若输入，则， ∴， 解得或，即此时输出的x的值为或； 若输入，则， 此时，故此时输出的x的值为无解， 故答案为：或；无解． 15．10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解决问题的关键． 由列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：由题意，得， 即， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去． 故答案为：． 16．， 【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 17． 【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 根据判别式等于0，可知一元二次方程有两个相等的实数根，从而求得答案. 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴一元二次方程有两个相等的实数根. ∴. 故答案为：． 18．(1) (2)无实数根 (3) (4) 【分析】（1）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解； （2）移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，等式右边小于0，故方程无实数根； （3）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解； （4）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， ∴． （2）解：， ， ， ∴方程无实数根． （3）解：， ， ， ， ∴或． ∴． （4）解：， ， ， ， ∴或． ∴ 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）， 方程左边分解因式，得 所以或， 解得，； （2）， 开平方，得，或， 解得，． 20．(1)； (2)秒后，四边形的面积为． 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据建立方程即可求解． 【详解】（1）解：设时间为，依题意，，， 故答案为：；． （2）解：设秒后，四边形的面积为， ∴， ∴， 即， 解得： 当时，， ∵不与点重合， ∴不合题意舍去， 答：秒后，四边形的面积为． 【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 21．(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 22．(1)， (2) 【分析】（1）采用配方法解一元二次方程即可； （2）采用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 23．(1)； (2)9元 (3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，待定系数法求得； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解； ②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 设 当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， 解得：， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元 （3）解：①∵，即 设米线和凉面销售总量为，则 ∵ 随的增大而增大 又∵ ∴当取得最大值时，最大值为 ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗； ②依题意， 解得：或（舍去） 故答案为：． 24．(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 学科网（北京）股份有限公司 $