第二十四章 一元二次方程 自我测评卷-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

第二十四章自我测评卷 14.某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪， (3)(3x-1)2+3(3.x-1)-4=0. 优计学案 它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方 (九年级上册数学J刀) L课时强] 程为 (时间：120分钟满分：120分) 15.某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共：8.一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位 时间，绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积 36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是： 数字比十位数字大3，则这个两位数为() 的增长率为 符合题目要求的) A.25 B.36 16.如图所示，将边长为12的正方形纸片沿两边各剪去一 1.若关于x的一元二次方程x2一m=0的一个根是 C.25或36 D.-25或-36 个一边长为x的长方形，剩余的部分而积为64，则根 3,则m的值是() 9.关于x的一元二次方程x2一m.x十2m一1=0的 据题意可列出形式为一般式的方程为 x的 A.3 B.-3C.9 D.-9 两个实数根分别是工1，x:,且xi十x=7,则 值是 2.某中学组织九年级学生进行篮球比赛，以班为单 (x1一x:)2的值是() 18.(8分)(2024·邢台月考)嘉淇在解方程x(x 位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛， A.1 B.12 C.13 D.25 3)=3一x时出现了错误，解答过程如下： 则共有多少个班级参赛？() 10.定义：如果一元二次方程ax2+bx+e=0(a≠ 原方程可化为r(x一3)=一(x一3)，（第一步） A.6 B.5 C.4 D.3 0)满足a十b十c=0,那么我们称这个方程为 方程两边同时除以(x一3)，得x=一1.（第 3.抽象能力)已知实数a,b分别满足a一6a十4 “和谐”方程.已知ax2十bx十c=0(a≠0)是 二步) 0,b一6b+4=0,且a≠b,则a+b2的值 “和谐”方程，且有两个相等的实数根，则下列 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说 (1)嘉淇的解答过程是从第 步开始出 为() 结论正确的是() 明，证明过程或演算步骤) 错的. A.36 B.50 A.a-c B.a-b 17,(12分)运算能力》解方程： (2)请写出此题正确的解答过程 C.28 D.25 C.b=c D.a=b=c (1)x2+4x-2=0: 4.关于x的方程x2一2cx十a十b=0有两个相等11.某公司向银行贷款20万元，约定两年到期时 的实数根，若a,b,c是△ABC的三边长，则这个 一次性还本付息，利息为本金的12%，该公司 三角形一定是() 用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本 A.等边三角形 B.直角三角形 金、利息外，还盈利6.4万元，若经营期间每年 C,钝角三角形 D.等腰直角三角形 的资金增长率相同，则这个增长率是() 5.若直线y=x十a不经过第四象限，则关于x的方 A.22%B.10%C.20%D.15% 程ax2-2x一1=0的实数解的个数是() 12.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC A.0个 B.1个 于点E,AE=EB-EC=a,且a是一元二次 C.2个 D.1个或2个 方程x2+2x一3=0的根，则平行四边形 2)(2-x)(4-x)=5: 6.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm ABCD的周长为() 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容 积为300cm3,则原铁皮的边长为() 优计学案 A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.16 cm A.4+22 B.12+6√2 课时通 7.若方程x一(m+6)x+m=0有两个相等的实数 C.2+22 D.2+2√2或12+62 根，且满足x1十x2=x1x2,则m的值是() 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） A.-2或3 B.3 13.若关于x的一元二次方程kx+(k一1)x C.-2 D.-3或2 3=0有一个根为3，则另一个根为 一3 19.(8分)推理能力已知关于x的一元二次方程21.(9分)如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡 23.(9分)某公司3月新推出A型和B型两款智能手环，：24.(9分)如图所示，在长方形ABCD中，AB=5cm, (a+c)x2+2hr+a-c=0,其中a,b,c分别为 名的一边利用长为12m的住房墙，另外三边 A型手环每只售价是B型手环的1.5倍.3月份A,B BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B △ABC三边的长. 用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂 两种手环总计销售650只，A型手环销售额为108000元， 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的 直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围 B型手环销售额为84000元. 开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动， 形状。 矩形鸡舍的长、宽分别为多少时，鸡舍的面积 (1)求A,B型手环的售价各是多少 如果P,Q同时出发，当点Q运动到点C时，两 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 为80m2? (2)由于更多的公司研发手环投人市场，竞争加剧，公 点停止运动.设运动时间为t(>0)s. △ABC的形状. 住房墙 司决定对两种手环进行降价促销，对A型手环直降 (1)填空：BQ= PB= (用 2a元，销量比原来提高了a%:对B型手环在原价基 含t的代数式表示) 础上降价号%，销量比原来提高了20%，4月份总计销 (2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面 售额为208320元，求a的值 积等于26cm°？若存在，请求出此时t的值：若 不存在，请说明理由， 20.(8分)阅读理解)定义新运算：对于任意实22.(9分)推理能力)某童装专卖店在销售中发 数m,n,都有m☆n=m'n十n,等式右边是常用的 现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元 加法，乘法及乘方运算 时，每天可售出20件.为了迎接“五一”国际劳 例如：-3☆2=(-3)2×2+2=20. 动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大 根据以上知识解决问题： 销售量，尽快减少库存，增加利润.经市场调查 (1)若x☆4=20，求x。 发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多 (2)若2☆a的值小于0，请判断方程2x2-x十 售出2件. a=0的根的情况. (1)设每件童装降价x元时，每天可销售 件，（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利 1200元？ (3)平均每天盈利有可能达到1600元吗？请 说明理由 优计学案 课时通 一41 (4)s元e=5×[(70-85)2+(100-85)2+ (3)因式分解，得(3x-1十4)(3x-1-1)=0, (3x+3)(3x-2)=0,3x+3=0,或3x-2=0. (100-85)2+(75-85)2+(80-85)2]=160(分2)， 2 .160>70,∴.九(1)班成绩稳定. 解得x1=-1x2=3 22.解：(1)7分7分 18.解：(1)二 1 (2).x(x-3)=3-x, (2):z▣-10×(7+6+8+7+7+5+8+7+8+ ∴.x(x-3)=-(x-3), 7)=7(分)， 则x(x-3)十(x-3)=0, s2=0.4分2， .(x-3)(x+1)=0, x两=10×(5×2+6×4+7X3+8×1)=6.3(分)， 1 则x-3=0或x+1=0, 解得x1=3,x2=一1. x甲=x乙>x丙，s>S吃， 19.解：(1)x=一1是方程的根， 乙运动员更合适， .(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0, 23.解：(1)填表如下： .a+c-2b+a-c=0, 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分方差/分2 .a-b=0,∴.a=b, ∴.△ABC是等腰三角形 初中部 85 85 的 70 (2)方程有两个相等的实数根， 高中部 85 80 100 160 .(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, (2)我觉得初中部的成绩更好，因为初中部和高中 .4b2-4a2+4c2=0, 部的成绩平均数一样，但是初中部的方差比高中部 .a2=b2+c2,∴.△ABC是直角三角形 小，成绩更整齐.（合理即可） 20.解：(1)x☆4=20， 24.解：(1)2536 .4x2+4=20,即4x2=16, (2)观察条形统计图， 解得x1=2,x2=-2. z-2X6+0X7+9X8+4X9-7.6, (2)2☆a的值小于0， 2+10+9+4 ∴.4a+a=5a<0, ∴.这组数据的平均数是7.6. 解得a<0. ,在这组数据中，7出现了10次，出现的次数 在方程2x2-bx十a=0中， 最多， (-b)2-8a≥-8a>0, 这组数据的众数为7. .方程2x2一bx十a=0有两个不相等的实数根， 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间21.解：设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为xm.可 的数是8， 以得出平行于墙的一边的长为(25一2x+1)m.由 ∴.这组数据的中位数为8. 题意，得x(25-2x+1)=80,化简，得x2-13x十 3)800×9+4=416(人)， 40=0,解得x1=5,x2=8.当x=5时，26-2x= 25 16>12(舍去).当x=8时，26-2x=10<12,符合 ∴.估算本年级学生平均每天睡眠时间不低于8h 题意. 的人数约为416人. 答：所围矩形鸡舍的长为10m,宽为8m. 第二十四章自我测评卷 22.解：(1)(20+2x) 1.C2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.C (2)设每件童装降价y元，则每件的销售利润为 10.A11.C12.A (120-y一80)元，每天可售出(20+2y)件， 13.-214.(10+x)x=20015.20% 依题意，得(120-y-80)(20十2y)=1200. 16.x2-24x+80=04 整理，得y2-30y十200=0. 17.解：(1)移项，配方，得x2+4x十4=2十4，即(x十 解得y1=10,y2=20. 2)2=6,解得x1=-2十√6，x2=-2-6. 又要尽快减少库存，∴y=20. 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元， (2)方程可化为x2-6x十3=0.a=1,b=-6,c= (3)平均每天盈利不可能达到1600元.理由如下： 3.△=b2-4ac=(-6)2-4X1X3=24>0. 设每件童装降价m元，则每件的销售利润为 x=-b±B=4c_6±25=3±6， (120一m一80)元，每天可售出(20十2m)件， 2a 2 依题意，得(120一m-80)(20十2m)=1600. 即x1=3+√6，x2=3-√6， 整理，得m2-30m+400=0. 47 .b2-4ac=(-30)2-4×1×400=-700<0, .AF:FD=2:1. 原方程无实数根， ∴.AF=2FD. ∴.平均每天盈利不可能达到1600元. ,AF+FD=10, 23.解：(1)设A型手环的售价为x元，B型手环的售 ∴.2FD+FD=10. 价为y元.依题意，得 x=1.5y, D-9 108000,84000 解得=360， 19.解：(1)证明：AB=AD,AC平分∠BAD, y=240. x y 650 ∴.AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°. 经检验， x=360, y=240 是原方程的解.故A型手环的售 .AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC ∴.∠ADC+∠BDC=90. 价为360元/只，B型手环的售价为240元/只. ,PD⊥AD,∠ADC+∠PDC=90°， (2)依题意，得108000 1+a%)(360-2a)+ .∠BDC=∠PDC. 360 (2)过点C作CM⊥PD于点M,如图所示. 84001+20%)×240·(1-号%）-=208320.解 240 得a1=一2（舍去），a2=40.故a的值为40. 24.解：(1)2tcm(5-t)cm (2)由题意，得(5-t)2+(2t)2=52, 解得t1=0(不合题意，舍去)，t2=2. .当t=2时，PQ的长度等于5cm. ∠BDC=∠PDC,.CE=CM (3)存在. .∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P, 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm), 使得五边形APQCD的面积等于26cm2,则 △CPMn△APD,0 △PBQ的面积为30-26=4(cm2). 设CM=CE=x. (5-0X2z×号-4，整理，得：-1+4-0， CE CP=2:3,PC=3 解得t1=4(不合题意，舍去)，t2=1. 3 即当t=1时，五边形APQCD的面积等于26cm2, 第二十五章自我测评卷 :AB=AD=AC=1,- 2x+1 1.B2.C3.D4.D5.A6.B7.B8.D9.B 12 10.B11.B12.D 、1 解得x=30舍去)，故AE=1一33 13.414.7515.(1)W2(2)1:1116.1016 20.解：如图所示，假设此时镜长最短且符合要求，过C 17.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH, 点作CD⊥MM',垂足为D,并延长CD交A'B'于 所以∠H=∠D=95°， 点E. 则a=360°-95°-118°-67°=80° ,ABMM'∥A'B', 再由x:7=12:6, .CE⊥AB', 解得x=14. .△CMM'∽△CA'B', 18解：证明EF/cD,小部能。 浴是 DE∥BC, 又，CE=5米， 品能6-品 A'B'=AB=0.8米，CD=CE-DE=5-3= 2(米)， 即AF:FD=AD:DB. (2)AD:BD=2:1, BD-2AD. ∴.MM'=0.32米， 故镜长至少为0.32米。 AD+2AD=15.AD=10. M C- 由(1)得AF:FD=AD:DB, E 48