精品解析：河南省信阳市固始县两校（二高、三高）2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

固始县2025-2026学年二高三高上学期期中考试 高二数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ） A. B. 24 C. 32 D. 7. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（ ） A. 36 B. 50 C. 70 D. 91 8. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知圆，圆，直线，，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 11. 过抛物线x2＝my(m≠0)的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知实数满足，则的最大值为__________. 13. 直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为______． 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 16. 已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 17. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19. 已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固始县2025-2026学年二高三高上学期期中考试 高二数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果. 【详解】由对称关系可知，点关于平面对称的点为 故选 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点的对称问题，需明确点关于平面对称点的坐标为，属于基础题. 2. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 3. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】用向量，表示向量，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果. 【详解】显然向量与不平行，而，，共面， 则存在实数，使，即， 于是，解得，所以实数的值为5. 故选：B 4. 如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得为与平面所成角，再利用勾股定理即可得解. 【详解】取中点，连接，如图， 在正三棱柱中，是正三角形，， 底面底面，， 又平面，平面， 为与平面所成角， 平面平面，， 由题意，， 在中，. 故选：A. 5. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 6. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ） A. B. 24 C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径. 【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以. 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则， 所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为. 故选：D 7. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（ ） A. 36 B. 50 C. 70 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】根据前四项推出判断. 【详解】解：由已知得，， ，所以， 所以. 故选：C 8. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的性质判断A；利用空间向量平行的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 10. 已知圆，圆，直线，，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用两圆位置关系判断方法即得；对于B，将直线的方程按照进行整理，通过解方程组即得；对于C，结合图形，利用弦长公式，可知只需使点到直线的距离最大()，利用定点，可求得弦长的最小值为，但由时，可求得，而无解，排除C项；对于D，先求出四边形的外接圆方程，通过两圆方程求出交线即得的方程. 【详解】 对于A，由圆，圆，可得， 因，则圆与圆内含，则A错误； 对于B，由可得， 因，由，解得，即直线过定点，故B正确； 对于C，如图，因弦长，（其中是圆的半径，是点到直线的距离）， 因，要使取最小值，只需最大. 由垂径定理，结合图形可知，当且仅当时，， 此时圆被直线截得的弦长的最小值为， 但此时，直线的斜率为，则， 而由可得，因方程无解， 故取不到最小值，故C错误； 对于D，过点作圆的两条切线，切点分别为，则， 如图，四边形的外接圆的圆心为的中点，圆的半径为， 则该圆的方程为：， 依题可知直线为圆与的公共弦， 由与，两式相减，可得：，故D正确. 故选：BD. 11. 过抛物线x2＝my(m≠0)的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知及抛物线方程求，结合三角形ABO的面积列方程求参数m的值. 【详解】由题设，抛物线焦点为，则坐标为，故， 所以，可得. 故选：AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 13. 直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 【答案】（1）； （2）85； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1即可得解； （2）先判断第75百分位数所在区间，然后根据在区间内的矩形面积等于即可得解； （3）先根据分层抽样确定，内所抽取的人数，然后使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， ． 【小问2详解】 因为前3组的频率之和， 前4组的频率之和， 所以第75百分位数，则， 解得 所以，第75百分位数为85． 【小问3详解】 因为组的频率为，组的频率为， 所以由分层抽样可知，组抽取了人，设为A、B， 从组抽取了人，设为， 则从这6人中随机抽取2人的样本点有： 共15种， 满足来自同一组的有共7种， 所以所抽取的2人来自同一组的概率是. 16. 已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【小问1详解】 （方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 【小问2详解】 圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 17. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算点到平面的距离即可. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）,（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 19. 已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或； （ⅱ）证明：由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组， 消去x，整理得：， ，得， ，因为线段CD的中点为， 所以，化简得，因为，所以， 因为，所以，即得，解得或， 综上得出. 【解析】 【分析】（1）假设点，然后根据，可知，结合圆的方程可得结果； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程组结合韦达定理应用弦长公式得出长再应用点到直线距离得出面积化简后，换元应用基本不等式求解；（ⅱ）先设直线再联立方程组结合韦达定理得出，进而得出，再结合判别式得，换元解不等式即可证明. 【小问1详解】 设，则 由，所以， 又，所以， 故动点P的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组， 消去x，整理得：， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为：或； （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键是联立椭圆方程及点到直线距离得出面积后使用换元法结合基本不等式即可得出最大值并得出直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $