第一章探索勾股定理讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过知识清单系统梳理勾股定理、逆定理、证明方法及勾股数等核心内容，结合内弦图、外弦图等证明图示构建知识框架，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于12类题型的递进式设计，涵盖已知两边求第三边、折叠问题及实际应用等，通过典例与变式题培养学生运算能力与推理意识，发展几何直观和应用意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第01讲 探索勾股定理 知识清单 知识点01勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么． 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． ，所以． 知识点03勾股定理逆定理 1．定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形． 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形． （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形． 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）． （2）验证与是否具有相等关系．若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形． 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边． 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理   ②三个正整数 题型精讲 题型一 已知直角三角形的两边，求第三边长 【典例1】1．一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【变式1】2．若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例2】3．如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 【变式1】4．如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 题型三 利用等面积法求直接斜边上的高问题 【典例3】5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则点到直线的距离是 ． 【变式1】6．如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 题型四 勾股定理与折叠问题 【典例4】7．如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．   【变式1】8．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 第10题图 【变式2】9．如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 题型五利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例5】10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 第11题图 第12题图 【变式1】 11．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．   题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例6】12．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【变式1】13．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接   (1)求证：； (2)若，，求的周长. 题型七 勾股数的判断 【典例7】14．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【变式1】15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 题型八 判断能否构成直角三角形 【典例8】16．在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【变式1】17．满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 题型九 在网格中判断直角三角形 【典例9】18．如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 B． C． D．点到的距离为 【变式1】19．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型十 利用勾股定理的逆定理求解 【典例10】 20．在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【变式1】21．如图，在中，，垂足为．   (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 题型十一 勾股定理逆定理的实际应用 【典例11】22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【变式1】23．如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【变式2】24．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 题型十二 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例12】25．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式1】26．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 课后作业： 一、单选题 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．18 2. 以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D． 第2题图 第3题图 3. 如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（    ）   A． B． C． D． 4．下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 5．在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 6．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题 7．如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 8．如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为 ． 9．在中，、、的对边分别为、、，且，若，则的大小是 ． 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则 ． 第9题图 三、解答题 11．如图，在中选一点D，连接，使．已知，，，． (1)求的度数． (2)求阴影部分的面积． 12.有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．   (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 13．综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 第1讲 勾股定理参考答案 1. 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 2. 12或15 【详解】解：当9和12都是直角边时， 斜边； 当9是直角边，12是斜边时， 斜边为12． 故答案为：12或15． 3. 15 【分析】设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c，根据题意，得，，，计算即可． 本题考查了勾股定理，正确理解定理是解题的关键． 【详解】解：设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c， 根据题意，得，，， ． 解得． 故答案为：15． 4. 48 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 5. 2 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， 为直角三角形，， 设点到直线的距离是为， ， ， ， 点到直线的距离是为， 故答案为：． 6. 【详解】解：由勾股定理可得，， 由网格可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7. 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 8. A 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 9. ##3厘米 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：． 10. 73 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 11. 21 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 12. (1)证明见解析； (2)； 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 13. (1)见解析 (2)14 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 14. A 【详解】解：A． ，能构成勾股数，故该选项正确； B． ，不能构成勾股数，故该选项错误； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D． ，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选A． 15. B 【详解】解：A、，不是“勾股数”，不符合题意； B、，是“勾股数”，符合题意； C、，不是“勾股数”，不符合题意； D、，不是“勾股数”，不符合题意； 故选：B． 16. D 【详解】A、， ， ， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； B、设，则，， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故此选项错误，符合题意． 故选D． 17. B 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 18. D 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 19. A 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 20. (1)为等边三角形，理由见解析. (2)． 【详解】（1）解：是等边三角形． ，， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ，， 在中，，， ， ， ． 21. (1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 22. 是，理由见解析 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵， 即， ∴为直角三角形，且， ∴， 由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 23. 11400元 【详解】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 24. (1)见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 25. (1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 26. (1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 课后作业答案 1. C 故选：C． 2. A 【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14， 且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A的面积． 故选A． 3. A 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中， ， 故选：A． 4. C 【详解】解：A、三边长，，不都是正整数，不是勾股数，不合题意； B、，则11，12，23不是勾股数，不合题意； C、，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，则6，7，8不是勾股数，不合题意； 故选：C． 5. C 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 6. D 【详解】解：连接， ， ∴， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 用同样的方法证明其它点不符合要求， 故选：D 7. 4 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，即， ， 点到直线的距离是是线段的长， 即点到直线的距离是是4． 故答案为：4． 8. ##45度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的运用．根据勾股定理，求出，，，再根据勾股定理的逆定理，即可求出是等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 故答案为： 9. ##20度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且， ∴． ∴a、c是两直角边，b是斜边， ∴． ∴； 故答案为：． 10. 15 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：15． 11. (1) (2)96 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先在中由勾股定理求得，由，，可以得到，故根据勾股定理逆定理得到； （2）利用，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由得， ∵， ∴． 12. (1)直角三角形，见解析 (2)120米 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 米，米，米， ， ， ， 即是直角三角形． （2）， ， （米）， 故洞穴到点D的距离是120米． 13. (1)，理由见解析 (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2）解：在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $