第一章 勾股定理 练习题 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 一、单选题 1．设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，且已知，，则为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（    ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．是钝角 3．若的三边分别为，，，下列给出的条件能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，中，，，，当时，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 5．如图，中，，，，点是线段上的动点，则长不可能是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 7．一个直角三角形的周长为48，一条直角边与斜边长度的比值是，则另一条直角边的长度为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 8．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 二、填空题 9．在中，，若，则的周长为 ． 10．在中，的对边分别是a，b，c，已知，，，则 ． 11．如图，在中，是边的中点，，分别是边，上的点，连接，，，使，若，，，则的长为 ． 12．如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ． 13．在中，，点是的中点，则的长 ． 三、解答题 14．如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求 的长． 15．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 16．如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 17．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求t的值； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 18．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 将化为，根据勾股定理逆定理即可判定． 【详解】由可得，， 是直角三角形，且是直角． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 4．A 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用，得出，，，即可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据垂线段最短分析得到长度在和之间，即可得出答案． 【详解】解：中，，，， ， 点是线段上的动点， ， 即， 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的周长，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设该直角三角形的斜边为，则其中一条直角边为，利用勾股定理求出另一条直角边长，再利用直角三角形的周长为48，列方程求解． 【详解】设该直角三角形的斜边为，则其中一条直角边为， 由勾股定理可求得另一条直角边长为， 由直角三角形的周长为48，可得，解得，， 另一条直角边的长度为16． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 9． 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理，列出方程求出的值，进而求出的值，进而利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，则． ∵， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 10．6 【分析】本题考查勾股定理，根据设，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵在中，的对边分别是a，b，c，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确地添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长到，使，连接，过点作，交的延长线于点，证明和全等得，再根据三角形内角和定理得，进而得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，则；在中，由勾股定理得，证明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线性质即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 是线段的垂直平分线， ． 故答案为：． 12． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，由，，，求得，，而，则，推导出，可证明，得，由，得，所以的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接， ∵，，， ∴，， ∵，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，过点A作于点E，过点D作于点F，连接，根据勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度． ()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可； ()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ 即：， ∴是直角三角形； （2）∵是直角三角形， ∴ ， ∵，平分，， ∴． 15．(1)见解析 (2)的最小值千米 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，掌握轴对称的性质：“对应点到对称轴的距离相等”是解题的关键． （1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，根据“两点之间线段最短”可知点即为到，距离之和最短的点； （2）作的延长线于点，然后根据勾股定理即可得结果． 【详解】（1）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 如图点P即为所求，    （2）解：如（1）图，作的延长线于点， 则， ∵千米，千米，千米， ∴千米， 千米， 在中，， 千米， 的最小值千米． 16． 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理计算出，由折叠的性质得出，，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 所以． 由折叠的性质可知，， 所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 17．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴． （2）解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． （3）解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 18．(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$