专题02 利用勾股定理解决折叠问题（专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 利用勾股定理解决折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、长方形中折痕过对角线模型 1 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 3 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 6 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 7 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 10 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 1．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 2．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 3．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 4．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，若，则 ． 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：’是直角三角形。 5．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 6．如图，有一个长方形纸片，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为 ． 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 8．有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合； （2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. （3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，. 9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 10．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ． 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结. （2）沿直线翻折使得点与边上的点重合； 11．如图，在中，，，已知． （1）的长为 ． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 12．如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接．将沿折叠，点的对应点为点．若为直角三角形，则的长为 ． 一、单选题 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．如图所示，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形，若=1，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，在中，，，．点、分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 5．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 6．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，若，则的面积＝ ． 7．如图，中，，将三角形沿折叠，使点落在上的点处，则的长为 ． 8．如图，在矩形中，，点为线段的中点，连接，点在边上，连接，将沿翻折得到，点在线段上，则的长为 ． 9．如图，在中，∠＝90°，＝4，＝6，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接′，当是直角三角形时，的长为 ． 10．如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 三、解答题 11．如图，长方形沿对折，点刚好落在边点上，如果，，求的长？ 12．在中，，，，点、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．如图，如果点和点重合，求的长． 13．如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 14．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 15．在四边形中，． (1)若为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点落在边上点处时，求的长； (2)如图②，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用勾股定理解决折叠问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、长方形中折痕过对角线模型 1 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 3 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 6 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 7 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 10 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形中，以对角线为折痕，折叠，点的对应点为’. 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 1．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 2．如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，． ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设则 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：是等腰三角形。 3．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 4．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，根据证明，，设，利用勾股定理得方程，求出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， 由翻折的性质可知，， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴， ，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕垂直平方’； 结论3：’是直角三角形。 5．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 6．如图，有一个长方形纸片，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为； （3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。 7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 8．有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合； （2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点. （3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，. 9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． 10．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ． 【答案】 【分析】在中，可求出的长度，根据折叠的性质可得出，在中，利用即可得出的长度．此题考查了翻折变换、勾股定理及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握翻折变换前后对应边相等、对应角相等． 【详解】解：∵，， ，， 由折叠的性质得，， 则， ． ． ． 故答案为：． 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结. （2）沿直线翻折使得点与边上的点重合； 11．如图，在中，，，已知． （1）的长为 ． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 【答案】 或 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，二次根式的混合运算； （1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理，即可求解； （2）分两种情况同理，当，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）在中，，则， ； 故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得， 则， ， ， ． 如图2，当，，则， ， ． 故答案为：或． 12．如图，在中，，，点为的中点，点为边上一动点，连接．将沿折叠，点的对应点为点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或7 【分析】分两种情形：和，分别就这两种情形求解即可． 【详解】①如图1，当时 根据折叠的性质得：，， ∵ ∴，，三点共线 ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ②如图2，当时， 根据折叠的性质得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ③的情形不存在 综上所述，的长为或7 故答案为或7． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，关键是分类讨论． 一、单选题 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 勾股定理求出的长，利用折叠得到，求出，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 根据勾股定理得，解得：． 故选：A． 2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 3．如图所示，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形，若=1，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由第一次折叠得：，， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，， 由第二次折叠可知，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 4．如图，在中，，，．点、分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 5．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 二、填空题 6．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，若，则的面积＝ ． 【答案】78 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故答案为：78． 7．如图，中，，将三角形沿折叠，使点落在上的点处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，进而求出的，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：3． 8．如图，在矩形中，，点为线段的中点，连接，点在边上，连接，将沿翻折得到，点在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，∠＝90°，＝4，＝6，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接′，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， 将沿折叠到△， ， ， 点、、三点共线， ，， 由勾股定理得， 设，则，， 在△中，由勾股定理得： ， 解得， ， 当时， ， ， ， 不可能为， 综上，或． 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为3或． 三、解答题 11．如图，长方形沿对折，点刚好落在边点上，如果，，求的长？ 【答案】3 【分析】本题考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理等．在中建立关于的方程是求解本题的关键．先根据翻折的性质求出的长度和关于的表达式，然后由勾股定理求出，进而得到的长度，在再次应用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质，，． 在中，． ． 在中，， 即． 则． 故的长度为3． 12．在中，，，，点、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．如图，如果点和点重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 13．如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)试说明； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 （2）设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 14．如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 15．在四边形中，． (1)若为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点落在边上点处时，求的长； (2)如图②，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$