4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2 等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 （25-26高二同步练习） 姓名： 班级： 姓名： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn＝ （　　） A．－n2＋ B．－n2－ C．n2＋ D．n2－ 2．在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点（n，Sn）所在的曲线可能是 （　　） 3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有 （　　） A．10项　　　B．11项　　　C．12项　　　D．13项 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1＝1；②a4＝4；③S3＝9；④S5＝25.若只有1个条件不成立，则该条件为 （　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则以下选项中错误的是 （　　） A．d<0 B．a16<0 C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn<0时，n≥32 二、多项选择题 6．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则 （　　） A．an＝n＋3 B．an＝2n－4 C．Sn＝n2＋n D．Sn＝n2－n 7．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则 （　　） A．a204>0 B．d<0 C．S405<0 D．S406>0 三、填空题 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＋a14＝6，则S13＝________． 9．在等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d<0，则使得前n项和Sn取得最大值时的正整数n的值是________；使得前n项和Sn>0的正整数n的最大值是________． 四、解答题 10．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10. （1）求{an}的通项公式； （2）求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值． 11．数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2（n∈N*）. （1）判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； （2）设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 能力提升练 12．在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法，该方法基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列{an}满足an＝（n，m∈N*），则a1＋a2＋…＋am＋2020＝ （　　） A．＋505 B．＋505 C．m＋505 D．2m＋505 13．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n（n∈N*），则an＝________，＋＋…＋＝________． 14．从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________． （1）判断2024是不是数列{an}中的项，并说明理由； （2）求Sn的最小值． 4.2 等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 （25-26高二同步练习） 姓名： 班级： 姓名： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn＝ （　　） A．－n2＋ B．－n2－ C．n2＋ D．n2－ 解析：∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，且{an}为等差数列，∴Sn＝＝－n2＋.故选A. 答案：A　 2．在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点（n，Sn）所在的曲线可能是 （　　） 解析：由Sn＝na1＋n（n－1）d＝n2＋（a1－）n，且d<0，a1>0，得<0，a1－>0，所以点（n，Sn）所在的曲线开口向下，且对称轴为直线x＝－，且－>0，故排除A、B、D.故选C. 答案：C　 3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有 （　　） A．10项　　　B．11项　　　C．12项　　　D．13项 解析：设这个数列{an}共有n项，则a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，因此3（a1＋an）＝34＋146＝180，即a1＋an＝60，则Sn＝＝＝390，故n＝13.故选D. 答案：D　 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1＝1；②a4＝4；③S3＝9；④S5＝25.若只有1个条件不成立，则该条件为 （　　） A．① B．② C．③ D．④ 解析：设等差数列{an}的公差为d.若①②同时成立，则d＝1，此时S3＝3a1＋d＝6，S5＝5a1＋d＝15，③④均不成立，与题设矛盾，所以①②不同时成立，③④一定成立．由得①成立，②不成立．故选B. 答案：B　 5．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则以下选项中错误的是 （　　） A．d<0 B．a16<0 C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn<0时，n≥32 解析：设等差数列{an}的公差为d，由S10＝S20，得10a1＋45d＝20a1＋190d，即2a1＋29d＝0，又a1>0，所以d<0，A正确．a16＝a1＋15d＝－d＋15d＝d<0，B正确．Sn＝na1＋d＝－d·n＋d＝·d，∴当n＝15时，Sn有最大值，即Sn≤S15，C正确．令Sn<0，得·d<0，即n2－30n>0，解得n<0（舍去）或n>30，∵n∈N*，∴n≥31，D错误．故选D. 答案：D　 二、多项选择题 6．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则 （　　） A．an＝n＋3 B．an＝2n－4 C．Sn＝n2＋n D．Sn＝n2－n 解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S9＝72，a7＝10，所以解得所以an＝4＋（n－1）×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选AC. 答案：AC　 7．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则 （　　） A．a204>0 B．d<0 C．S405<0 D．S406>0 解析：由a203＋a204>0⇒a1＋a406>0⇒S406>0，又由a1<0，且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0.故选ACD. 答案：ACD　 三、填空题 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＋a14＝6，则S13＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＋a14＝3a1＋18d＝3（a1＋6d）＝3a7＝6，则a7＝2，所以S13＝＝13a7＝26. 答案：26 9．在等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d<0，则使得前n项和Sn取得最大值时的正整数n的值是________；使得前n项和Sn>0的正整数n的最大值是________． 解析：因为|a5|＝|a9|，d<0，所以a5>0>a9，且a5＝－a9，所以a5＋a9＝0，所以a7＝0，所以当1≤n≤7时，an≥0；当n≥8时，an<0.所以使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是6或7. 因为S13＝＝13a7＝0，且S13＝S12＋a13＝0，所以S12＝－a13>0，所以使前n项和Sn>0的正整数n的最大值是12. 答案：6或7　12 四、解答题 10．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10. （1）求{an}的通项公式； （2）求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值． [解]　（1）设等差数列{an}的公差为d. 因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，得d＝－3，所以a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n. （2）因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20也是等差数列，公差为2d，所以a2，a4，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×（－6）＝－50. 11．数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2（n∈N*）. （1）判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； （2）设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（100n－n2）－[100（n－1）－（n－1）2]＝101－2n. ∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴an＝101－2n（n∈N*）. 又an＋1－an＝－2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列． （2）令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N*，∴n≤50（n∈N*）. ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－（a51＋a52＋…＋an） ＝－（Sn－S50）＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn＝a1＋a2＋…＋a50－（a51＋a52＋…＋an）＝S50＋（S50－Sn） ＝2S50－Sn＝2×2500－（100n－n2）＝5000－100n＋n2. 由①②得数列{bn}的前n项和为 Tn＝ 能力提升练 12．在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法，该方法基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列{an}满足an＝（n，m∈N*），则a1＋a2＋…＋am＋2020＝ （　　） A．＋505 B．＋505 C．m＋505 D．2m＋505 解析：依题意，记S＝a1＋a2＋…＋am＋2020，则S＝＋＋…＋＋.又S＝＋＋…＋＋，两式相加可得2S＝＋＋…＋＋＝×（m＋2020），则S＝＝＋505.故选B. 答案：B　 13．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n（n∈N*），则an＝________，＋＋…＋＝________． 解析：令n＝1，得＝4，故a1＝16. 当n≥2时，＋＋…＋ ＝（n－1）2＋3（n－1）. 与已知式相减，得＝n2＋3n－（n－1）2－3（n－1）＝2n＋2，∴an＝4（n＋1）2. 又∵n＝1时，a1＝16满足上式， ∴an＝4（n＋1）2（n∈N*）， ∴＝4n＋4， ∴＋＋…＋＝4（1＋2＋3＋…＋n）＋4n＝4×＋4n＝2n2＋6n. 答案：4（n＋1）2（n∈N*）　2n2＋6n 14．从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________． （1）判断2024是不是数列{an}中的项，并说明理由； （2）求Sn的最小值． [解]　若选①， （1）设公差为d， 则解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝3n－20. 令3n－20＝2024，得n＝，因为∉N*，所以2024不是数列{an}中的项． （2）解法一：令an＝3n－20≤0，解得n≤，又n∈N*，所以当n≤6时，an<0. 故当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57. 解法二：由（1）得Sn＝＝（n－）2－， 所以当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝－57. 若选②， （1）设公差为d， 则 解得所以an＝2n－12. 令2n－12＝2024，解得n＝1018， 所以2024是数列{an}的第1018项． （2）解法一：令an＝2n－12≤0，解得n≤6. 故当n＝5或n＝6时，Sn取到最小值，为S5＝S6＝－30. 解法二：由（1）得Sn＝n2－11n＝（n－）2－， 所以当n＝5或n＝6时，Sn取到最小值，为S5＝S6＝－30. 学科网（北京）股份有限公司 $