4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时 等差数列的前n项和公式）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2　等差数列的前n项和公式　第1课时　等差数列的前n项和公式 基础巩固 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于（ ） A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 2.若等差数列{an}满足a5＝11，a12＝－3，则{an}的前n项和Sn为（ ） A.n2－20n B.20n－n2 C.n2－20 D.20n＋n2 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝1，则数列{an}的公差为（ ） A. B.－ C. D.－ 4.（全国甲卷）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于（ ） A. B. C.－ D.－ 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则Sn的最小值等于（ ） A.－32 B.－35 C.－36 D.－38 6.（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论正确的是（ ） A.数列{an}是递增数列 B.a13＞0 C.当Sn取得最大值时，n＝12 D.｜a13｜＞｜a12｜ 7.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和S9等于 . 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若{}也是等差数列，S2＝4，则a6＝ . 9.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，a3＝6. （1）求Sn的表达式； （2）判断{an}是否为等差数列，并说明理由. 10.（全国乙卷（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 综合运用 11.设{an}是公差大于零的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，则“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.（新高考Ⅰ卷）将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 . 13.设{an}是公差不为零的等差数列，Sn是{an}的前n项和，＋＝＋，S9＝－18. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 拔高拓展 14.设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式为an＝ . 15.已知等差数列{an}满足a2 024＋a2 025＜0，a2 024·a2 025＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，则当Sn取最小正值时，n等于 . 基础巩固 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于（　A　） A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ 解析：∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，∴Sn＝＝－n2＋. 2.若等差数列{an}满足a5＝11，a12＝－3，则{an}的前n项和Sn为（　B　） A.n2－20n B.20n－n2 C.n2－20 D.20n＋n2 解析：设等差数列{an}的公差为d，则7d＝a12－a5＝－3－11＝－14，故d＝－2，所以an＝a12＋（n－12）d＝－3－2（n－12）＝21－2n，故a1＝21－2×1＝19，所以Sn＝＝20n－n2. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝1，则数列{an}的公差为（　D　） A. B.－ C. D.－ 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝16，a6＝1，∴解得a1＝，d＝－，故等差数列{an}的公差为－. 4.（全国甲卷）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1等于（　B　） A. B. C.－ D.－ 解析：由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，得a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝＝－， 故a1＝a5－4d＝1－4×（－）＝. 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则Sn的最小值等于（　C　） A.－32 B.－35 C.－36 D.－38 解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝－11，所以a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，解得d＝2. 因此Sn＝na1＋×d＝－11n＋n（n－1）＝n2－12n＝（n－6）2－36， 故当n＝6时，Sn取得最小值－36. 6.（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论正确的是（　CD　） A.数列{an}是递增数列 B.a13＞0 C.当Sn取得最大值时，n＝12 D.｜a13｜＞｜a12｜ 解析：设{an}的公差为d，S23＝＝＝23a12＞0，故a12＞0， S24＝＝＝12（a12＋a13）＜0，故a12＋a13＜0， 所以a13＜0，且｜a13｜＞｜a12｜，d＝a13－a12＜0，即{an}是递减数列，A，B错误，D正确. 由于{an}是递减数列，a12＞0，a13＜0，故当Sn取得最大值时，n＝12，C正确. 7.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和S9等于　27　. 解析：由a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27. 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若{}也是等差数列，S2＝4，则a6＝　11　. 解析：设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2＋（a1－）n， 又{}是等差数列，所以Sn≥0，d＞0，且a1－＝0， 所以S2＝×4＝4，可得d＝2，故a1＝S1＝＝1， 所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，则a6＝11. 9.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，a3＝6. （1）求Sn的表达式； 解：（1）设Sn＝an2＋bn＋c（a≠0）. ∵a1＝－2，a2＝2，a3＝6， ∴解得 ∴Sn＝2n2－4n. （2）判断{an}是否为等差数列，并说明理由. 解：（2）{an}是等差数列，理由如下： 方法一：∵等差数列的前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋（a1－）n，当d≠0时，其是不含常数项的二次函数， ∴Sn＝2n2－4n符合等差数列前n项和的形式， ∴{an}是等差数列. 方法二：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2（n－1）2－4（n－1）]＝4n－6， 当n＝1时，a1＝－2也符合上式， ∴an＝4n－6（n∈N*），∴an＋1－an＝4，∴{an}是等差数列. 10.（全国乙卷（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. （1）求{an}的通项公式； 解：（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得 即解得 所以an＝13－2（n－1）＝15－2n. （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：（2）易知Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n＞0，解得n＜，且n∈N*， 故当n≤7时，an＞0，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，an＜0，可得Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝（a1＋a2＋…＋a7）－（a8＋…＋an）＝S7－（Sn－S7）＝2S7－Sn＝2×（14×7－72）－（14n－n2）＝n2－14n＋98. 综上所述，Tn＝ 综合运用 11.设{an}是公差大于零的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，则“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”的（　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由{an}是公差大于零的等差数列，且a2＞0，可得an＋1＞0，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＞0，即Sn＋1＞Sn；反之，若Sn＋1＞Sn，则当n＝1时，S2＞S1，即S2－S1＝a2＞0.所以“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”的充要条件，故选C. 12.（新高考Ⅰ卷）将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为　3n2－2n　. 解析：由题意知数列{2n－1}为1，3，5，7，9，11，13，…，{3n－2}为1，4，7，10，13，16，19，…，所以数列{an}为1，7，13，19，…，即an＝1＋6（n－1）＝6n－5，所以数列{an}的前n项和为＝3n2－2n. 13.设{an}是公差不为零的等差数列，Sn是{an}的前n项和，＋＝＋，S9＝－18. （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）由S9＝－18可得9a5＝－18，故a5＝－2，设公差为d，d≠0， 由＋＝＋可得－＋－＝0⇒（a9－a1）（a9＋a1）＋（a11－a3）（a11＋a3）＝0， 故8d（a9＋a1）＋8d（a11＋a3）＝0， 又d≠0，所以a5＋a7＝0，因此a6＝0，因此d＝a6－a5＝2， 故an＝a6＋（n－6）d＝2n－12. （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：（2）由an＝2n－12可得当n≤6且n∈N*时，an≤0，当n＞6且n∈N*时，an＞0， 所以当n≤6且n∈N*时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋an）＝－＝11n－n2， 当n＞6且n∈N*时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋a6）＋a7＋a8＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an－2（a1＋a2＋…＋a6）＝n2－11n－2×＝n2－11n＋60， 故Tn＝ 拔高拓展 14.设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式为an＝　6n－5（n∈N*）　. 解析：依题意得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5， 当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式， 所以an＝6n－5（n∈N*）. 15.已知等差数列{an}满足a2 024＋a2 025＜0，a2 024·a2 025＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，则当Sn取最小正值时，n等于　4 047　. 解析：因为等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列. 又a2 024＋a2 025＜0，a2 024·a2 025＜0， 所以a2 024＞0＞a2 025， 即数列的前2 024项为正数，从第2 025项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知， S4 047＝（a1＋a4047）＝4 047a2 024＞0， S4 048＝（a1＋a4 048）＝2 024（a2 024＋a2 025）＜0，所以当Sn取最小正值时，n＝4 047. 学科网（北京）股份有限公司 $