精品解析：天津市南开区2025-2026学年高三上学期期中质量调查数学试题

高三年级 数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·球的表面积公式，其中表示球的半径． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 3. 若 （为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. “为第二象限角”是“是第一象限角”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A. B. C. D. 8. 已知球的表面积为，，，，为球面上四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 3 9. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分． 10. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则______________． 11. 设集合，，若，则实数的取值范围是______________． 12. 若函数的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________． 13. 已知，且，则最小值为______________． 14. 在中，，，，为所在平面内的点，且，若，则___________；___________． 15. 已知方程有4个不同解，，，，则实数取值范围为___________；的取值范围为___________． 三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域． 18. 如图所示，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数． （1）当时，在区间上存在极值，求取值范围； （2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 20. 已知函数，曲线的一条切线的方程为． （1）求实数的值； （2）设，求函数的最小值； （3）若对任意，恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级 数学学科 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·球的表面积公式，其中表示球的半径． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集运算即可． 【详解】根据题意，， ． 故选：A． 2. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定直接求解即可 【详解】命题“，”的否定形式是，或. 故选：C. 3. 若 （为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法先求，然后可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 4. “为第二象限角”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值得出象限角结合充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性， 当时，，不满足必要性， 则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可先确定，，，又即可求解． 【详解】，，， 又， ． 故选：A． 6. 已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出各个选项中函数的定义域，再判断该函数是否同时满足两个条件作答． 【详解】对于Ａ，函数的定义域是R，在上单调递增，与题目要求单调递减不符，A不是； 对于Ｂ，函数的定义域是，，B不是； 对于C，函数的定义域是R，. ， ， 因，则， 有，即有， 因此，在上单调递减，C正确； 对于D，函数的定义域是，，D不是． 故选：C． 7. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的图像向右平移个单位得，所以 ，所以得最小值． 8. 已知球的表面积为，，，，为球面上四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，得到，进而求得四面体的体积. 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以， 设，即正的边长为， 取中点，连接，作， 根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则， 因为，， 所以， 在中，， 所以， 解得或，即，, 四面体的体积 故选：C. 9. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，所以，即求直线的纵截距的最小值，设，利用导数证明在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解. 【详解】因为，所以， 所以即求直线的纵截距的最小值， 设，所以， 所以在单调递增，所以在图象上凹， 所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小， 令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为 所以的直线方程为， 当时，， 即直线与相切时， 直线与无交点， 设，所以， 所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率， 所以可令直线在处与相交，在处与相交， 所以直线方程为， 所以截距. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，，即求直线的纵截距的最小值的分析. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分． 10. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 故答案为：2. 11. 设集合，，若，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的包含关系即可得解. 【详解】或， 又，， 所以. 故答案为：. 12. 若函数的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________． 【答案】[3，＋∞) 【解析】 【分析】根据值域为[0，＋∞)，分析可得，函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0，列出方程，即可得结果. 【详解】因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0显然a不为0，所以，解得a≥3. 故答案为：[3，＋∞)． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题. 13. 已知，且，则最小值______________． 【答案】 【解析】 【分析】转化为利用基本不等式求和的最小值问题解决. 【详解】因为， 又，所以. 则， 当且仅当即时取等号. 故答案为： 14. 在中，，，，为所在平面内的点，且，若，则___________；___________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】先求关于与的表达式，得到的值，进而计算；先求关于与的表达式，根据向量的数量积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 化简得，有， 因为，所以，可知. ， . 故答案为：. 15. 已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意作图，由图像结合方程有4个不同解，可得，且，，再根据对数的运算计算范围即可． 【详解】根据题意作图如下： 方程有4个不同解，，，， 所以，且，， ， ， 即的取值范围为． 故答案为：；． 三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，结合已知条件即可求； （2）根据余弦定理即可求解； （3）由（2）可得，利用二倍角公式可求的正、余弦值，再利用和差的正弦公式计算即可． 【小问1详解】 由及正弦定理得，， 所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理， 可得， 所以． 【小问3详解】 由（2）可得， 所以，． 所以 ． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域． 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解； （2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解． 【小问1详解】 所以的最小正周期． 令，，可得，， 所以的单调递减区间为，； 【小问2详解】 因为的图象关于点中心对称， 所以，，可得． 因为，所以． 所以． 因为，所以， 所以，． 18. 如图所示，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系应用空间向量数量积为0得出线线垂直，进而应用线面垂直判定定理得出线面垂直； （2） 先求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （3）先得出平面的一个法向量结合（2）应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 依题意，，，所以． 因为，则有，所以． 又，所以平面． 则以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，，， 所以，， 所以，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 ，，， 设平面的一个法向量为， 则即解得 令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知函数． （1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围； （2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. 【小问1详解】 当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需， 解得． 【小问2详解】 当时，，的图象与轴没有交点； 当时，令，解得或． 当时， 0 2 0 0 极大值 极小值 ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以； 当时， 0 2 0 0 极小值 极大值 ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以； 综上， 【小问3详解】 由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，， 又因为在上单调递增， 所以的值域为， 依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即， 解得的取值范围是． 20. 已知函数，曲线一条切线的方程为． （1）求实数的值； （2）设，求函数的最小值； （3）若对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，求出导数并利用导数的几何意义求出值. （2）由（1）求出，再利用导数求出最小值. （3）由（2）中信息，化简得，进而求出的最大值. 【小问1详解】 设直线与曲线相切的切点为， 由函数求导得， 则， 即，又， 因此. 【小问2详解】 由（1）知，，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值为． 【小问3详解】 ，由（2）知， 因此，依题意，， 解得，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $