精品解析：重庆市长寿中学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025年秋期长寿中学高二年级半期考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而求出直线的倾斜角． 【详解】由直线的方向向量可知直线的斜率， 设直线的倾斜角为，且， 可知，可得， 即． 故选：D． 2. 已知，为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点．若恰好被轴平分，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得垂直于轴，在中，由，且，即可求出，，再根据，从而求出双曲线的渐近线方程； 【详解】解：由恰好被轴平分，得垂直于轴， 在中，，， 又，得到， ，即， 得，故渐近线方程为． 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题． 3. 已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（    ） A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径； 将圆化为标准方程，得圆心，半径， 则，所以圆与圆相交. 故选：D 4. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 5. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 6. 已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线经过定点已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 7. 若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）． A. 5 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 8. 在长方体中，，，点E，F分别是线段上的动点（不包括端点），且线段EF始终平行于平面，则四面体的体积的最大值是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的性质及线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式列式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】在长方体中，连接，由平面平面， 平面，平面，得，连接，过作交于， 由平面，得平面，设，则， 由，得，四面体的体积 ，当且仅当时取等号， 所以四面体的体积的最大值是。 故选：B 二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 10. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点运动轨迹长度 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，把正方形、正方形展开在同一平面内计算判断A；对B，过作与垂直的正方体的截面计算判断B；对C，求出点的轨迹计算判断C；对D，作出平面截正方体所得截面计算判断D作答. 【详解】对于A，在棱长为4的正方体中，将正方形、正方形展开置于同一平面，如图，      连接，则，A错误； 对于B，在棱上分别取点，使，连接，如图，    由，得平行四边形，即，由，得，同理， 于是，而平面，平面，，又， ，平面 ，则平面 ，平面 ，有， 同理，从而，又平面， 因此平面，而平面平面，则的运动轨迹为线段， 此时与始终垂直，，B正确； 对于C，在棱上取点，使，连接，则，如图，    而平面，则有平面，平面，则， 而，于是，点在以为圆心，2为半径的圆弧上， 此时圆心角为，点的运动轨迹长度，C正确； 对于D，在棱上取点，使，连接，如图，    由，得，正方体的对角面为矩形， 则，于是平面截正方体所得截面为梯形. 又，，从而为等腰梯形.故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 13. 已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，若l1⊥l2，则a=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据l1⊥l2求解. 【详解】因为直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，且l1⊥l2， 所以， 解得， 故答案为： 14. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，列出关于，，的齐次式，从而求双曲线的离心率. 【详解】如图： 因为轴，且在双曲线上，所以， 又，所以为中点. 因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为， 圆心， 由 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）． 【答案】（1）4x－3y－3＝0 （2）30 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案； （2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，求得，可得直线和的交点为P（－3，－5）． 由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为， 即4x－3y－3＝0． 【小问2详解】 由题知：设直线m的斜率为k，则直线m的方程为， 故，，且，且，求得， 故、． 故△OAB的面积为． 16. 如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． （1）记用表示； （2）求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； 【小问2详解】 因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 17. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【小问1详解】 设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 18. 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）证明平面，从而求出，再由，得出点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取中点，连接，由为中点，则且. 由已知有，又由于为中点，从而，故四边形为平行四边形，所以. 又平面，而平面，则平面 （2）. ，同理， 又平面 平面. 连接为中点， 又. 设点到平面的距离为 由，解得 ∴点到平面的距离为. 【点睛】 关键点睛：在求点到平面的距离时，关键是利用等体积法建立等量关系，从而得出点到平面的距离. 19. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得出的值，利用椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，由结合可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）列出韦达定理，根据直线、、的斜率成等比数列，可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 解：因为焦距为2，所以，由椭圆的对称性得. 又因为，所以， 则，所以，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：联立得，① 所以，所以. 又，所以，即，解得或. 所以实数取值范围为. 【小问3详解】 解：设、，由①式得，， 设直线、的斜率分别为、， 因为直线、、的斜率成等比数列， 所以，即， 整理可得，即， 因为 ， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以的面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期长寿中学高二年级半期考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点．若恰好被轴平分，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两圆分别为圆和圆，这两圆位置关系是（    ） A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交 4. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）． A. 5 B. C. D. 10 8. 在长方体中，，，点E，F分别是线段上的动点（不包括端点），且线段EF始终平行于平面，则四面体的体积的最大值是（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角余弦值为 C. 若直线l方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点的运动轨迹长度 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 13. 已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a-2）x+3y+2a=0，若l1⊥l2，则a=_____． 14. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程； （2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）． 16. 如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． （1）记用表示； （2）求异面直线AF和CE所成角余弦值． 17. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 18. 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且.直线，设直线与椭圆交于、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若直线、、的斜率成等比数列（其中为坐标原点），求△的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $