精品解析：广东省东莞市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

初二年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）： 1. 下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，13，6 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断时只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边．对于每组数，只需检查两条较短边的和是否大于最长边． 【详解】解：对于选项A：∵，∴能组成三角形； 对于选项B：∵，∴能组成三角形； 对于选项C：∵，∴不能组成三角形； 对于选项D：∵，∴能组成三角形． 故选：C． 3. 点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点关于x轴对称的点，掌握知识点是解题的关键． 关于x轴对称的点，x坐标不变，y坐标取相反数． 【详解】解：点对关于x轴对称的点是． 故选C． 4. 等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 故不能组成三角形； ②是底边长时，三角形的三边分别为、、， ， 故能组成三角形，其周长为：； 综上所述，这个等腰三角形的周长是， 故选：B． 5. 三角形的高、中线和角平分线都是（　　） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【详解】根据三角形的高、中线和角平分线的定义可知，都是线段.故选C. 6. 如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解． 【详解】解：∵， ，， ， 即， ， ． 故选B． 7. 如图，在中，，，平分，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离，角平分线的性质．过点D作于点E，则的长就是点D到直线的距离，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴点D到直线的距离为． 故选：B． 8. 如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键． 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解： ， ∴． 故选B． 9. 如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图在的下方作等边，作射线． ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值）， 当时，的值最小，而D为的中点， 最小值为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）： 11. 正六边形的每一个外角是___________度 【答案】60 【解析】 【详解】∵正六边形的每个外角都相等，并且外角和是360°， ∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°， 故答案为60． 12. 已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为_________． 【答案】40度## 【解析】 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 13. 在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=5，则AC的长为__． 【答案】5 【解析】 【分析】首先利用等角对等边判定等腰三角形，即可得到AC边的长． 【详解】∵△ABC中，∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵AB=5， ∴AC=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意：等角对等边，理解定理是关键． 14. 如图，的度数相同，，，则的度数为______； 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，外角，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 在图①中，用的式子表示出，进而用含有的式子表示出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解：设， 如图① ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； ∴ ∵是的外角， ∴， ∴， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则___°． 【答案】100 【解析】 【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解． 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， 此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″， ∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°， ∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°， 由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）： 16. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数是10 【解析】 【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是，则内角和是．n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ， 解得：． 答：这个多边形的边数是10． 17. 如图，点A，B，C，D同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据“”证明． 【详解】略 18. 如图，在中，点是边上一点，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键．先由得出，再由三角形外角性质求得，然后由得到，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）： 19. 如图，在中，D是上任意一点，连接． （1）在线段上作点E，使为等腰三角形． （2）在（1）条件下，连接，，，求的周长． 【答案】（1） 即为所求． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形判定． （1）作的垂直平分线，交于点，点即为所求； （2）根据（1）可得，则，根据三角形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 20. 如图，于点，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ ∴． （2） 证明：∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明． （2）根据，根据全等三角形的性质即可得解． 此题考查了全等三角形的判定与性质，对顶角性质，垂直的定义，利用证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是： ，请说明理由． 【答案】（1） 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中 ， ， ，故甲同学的方案可行． （2） 使； 理由：当时，， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质可得甲同学的方案可行； （2）使，利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13人，第23题14分）： 22. 【模型启迪】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 【答案】(1)，； (2) (3) 证明：延长至点，使，连接， 由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； (3)延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【小问1详解】 解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； (2) ∵，，， ∴，， ∴， 解得． (3)略 23. 妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形． 【答案】 问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：点P的坐标为或或或或或． 问题3：证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：略 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ①过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）： 1. 下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，13，6 D. 5，12，13 3. 点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 三角形的高、中线和角平分线都是（　　） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 以上答案都不对 6. 如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，平分，则点D到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）： 11. 正六边形的每一个外角是___________度 12. 已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为_________． 13. 在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=5，则AC的长为__． 14. 如图，的度数相同，，，则的度数为______； 15. 如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则___°． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）： 16. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 17. 如图，点A，B，C，D同一直线上，，，．求证：． 18. 如图，在中，点是边上一点，且，，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）： 19. 如图，在中，D是上任意一点，连接． （1）在线段上作点E，使为等腰三角形． （2）在（1）条件下，连接，，，求的周长． 20. 如图，于点，求证： （1）； （2）． 21. 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是： ，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13人，第23题14分）： 22. 【模型启迪】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 23. 妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $