第26章 反比例函数（单元测试·冲刺卷）数学人教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 2．（本题3分）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题3分）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 5．（本题3分）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．（本题3分）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 8．（本题3分）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 9．（本题3分）如图过点的两条直线分别交双曲线于点，交双曲线于点，现有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②四边形可能是菱形；③四边形可能是矩形；④四边形可能是正方形．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 12．（本题3分）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ． 13．（本题3分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 14．（本题3分）如图，的中心为平面直角坐标系的原点O，轴，交y轴于点E，交反比例函数的图象于点，且M是DE的中点；CD交x轴于点F，交反比例函数的图象于点N，且，则阴影部分的面积为 ． 15．（本题3分）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 18．（本题8分）已知一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)当时，比较与的大小； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，求点P的坐标． 19．（本题9分）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 20．（本题9分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 21．（本题9分）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 22．（本题11分）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 23．（本题14分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 2．（本题3分）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴、B两点在第四象限，C点在第二象限， ∴． 故选：D． 3．（本题3分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据题意可得，则，进而根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， 两点关于原点对称， ， ， ， ∵双曲线在一、三象限， ， 故选：B． 4．（本题3分）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 【答案】D 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：A.点在反比例函数的图象上， ， 解得 反比例函数的解析式是，正确，不符合题意； B. 当时，，正确，不符合题意； C. 当时，，当时，，根据反比例函数的性质，得I随R的增大而减小，由，故I的取值范围是，正确，不符合题意； D. 已知该取暖器的发热功率为，I是变量，R是变量，无法这样描述它们之间的关系，错误，符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意 故选：B． 6．（本题3分）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的解析式和自变量的取值范围，确定函数值的符号，进而分析选项． 先明确反比例函数的比例系数为负，可知其图象在第二、四象限；再根据，确定点A在第二象限，点B在第四象限，进而得出,；最后根据和的符号分析各选项． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数，所以其图象位于第二、四象限． ∵和均在该函数图象上，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限． ∴． A选项：的正负无法确定，因为不知道和的具体数值，此选项不符合题意； B选项：，并非，此选项不符合题意； C选项：，此选项符合题意； D选项：的正负无法确定，此选项不符合题意． 故选：C． 7．（本题3分）已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由，故该反比例函数图象位于第二、四象限，当时，函数的最大值为，可得出，再分析函数在上的极值即可得出答案． 【详解】解：∵，故该反比例函数图象位于第二、四象限． 当时，函数在第四象限，且，故随增大而递增． 因此，当时，取得最大值，即：， ∴， 当时，函数在第二象限，随增大而递增， ∴当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最大值，最大值为：， 故选：A． 8．（本题3分）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 9．（本题3分）如图过点的两条直线分别交双曲线于点，交双曲线于点，现有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②四边形可能是菱形；③四边形可能是矩形；④四边形可能是正方形．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，由反比例函数图象的对称性可得，，即得四边形一定是平行四边形，即可判断①；再根据菱形、矩形及正方形的判定可判断②③④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数图象的对称性可得，，， ∴四边形一定是平行四边形，故①正确； 当时，平行四边形是菱形，故②正确； 当时，平行四边形是矩形，故③正确； 当且时，平行四边形是正方形，故④正确； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：． 10．（本题3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，假设点B的坐标，先表示出点C的坐标，再利用几何性质表示出点A的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，如图： 设 是等腰直角三角形 轴 ，点C的纵坐标为 四边形是矩形 ，， 点G的横坐标为 点A是反比例函数的图象上一点 解得或（舍去） ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是联立方程，根据方程无实数解的条件确定的取值范围． 联立反比例函数与正比例函数的方程，得到关于的二次方程，根据方程无实数解的条件来确定的取值范围． 【详解】解：联立反比例函数和正比例函数，可得， 进一步变形为， 反比例函数与正比例函数的图象没有交点， 方程无实数解，且， ， 解得：． ∵，则， 综上所述：. 故答案为：． 12．（本题3分）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征、两点间距离公式、坐标与图形、三角形的面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式是解答的关键． 根据题意得到，，根据坐标与图形性质和两点坐标距离公式得到轴，，，最后根据三角形等面积法即可求解． 【详解】解：由条件可知，， ∴，， ∵过点A的一次函数的图象与y轴交于点， ∴轴，，， ∴， 设点C到线段的距离为h， 又∵， ∴， 解得， ∴点C到线段的距离为， 故答案为：． 13．（本题3分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，的中心为平面直角坐标系的原点O，轴，交y轴于点E，交反比例函数的图象于点，且M是DE的中点；CD交x轴于点F，交反比例函数的图象于点N，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质等知识点，灵活运用反比例函数的性质是关键． 依据题意，作轴于G，轴于H，由关于原点O对称，反比例函数的图象关于原点对称，则阴影部分的面积，又点，且M是的中点，则，又设，结合，则，进而可得，从而计算即可解答． 【详解】解：如图：作轴于G，轴于H， 由题意，∵关于原点O对称，反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积． ∵点，且M是的中点， ∴． 设． 又∵， ∴． ∴． ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 【答案】与之间的函数表达式为． 【分析】本题考查了求函数的解析式，设，，则，然后当时，；当时，代入得出方程组可得，最后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与之间的函数表达式为． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角坐标系中坐标的平移，熟练掌握坐标的平移特征和反比例函数解析式的特征是解决本题的关键． （1）先利用向右平移2个单位长度，即横坐标加2，得出点B的坐标，再根据将点B向下平移，对应点为点C，得点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求解； （2）根据点A与点C均在反比例函数图象上，代入列式可求解，可得a的值，进而可知点A的坐标，代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴． 18．（本题8分）已知一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)当时，比较与的大小； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，求点P的坐标． 【答案】(1)当或时，；当时，；当或时，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）分别待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，结合函数图象，即可求解； （2）作点关于y轴对称点，则，待定系数法求得直线的关系式为，令，得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数过， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为， ∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 两个函数的图象如图所示，由图象可知， 当或时，， 当或时，， 当时，； （2）如图，作点关于y轴对称点，则， 设直线的关系式为， 则，解得 ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点，此时的周长最小． 19．（本题9分）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式即可； （2）设点的坐标为，再根据的面积恰好等于正方形的面积的，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，四边形为正方形， ， ， 把代入得：， ， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：设点的坐标为， ， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或． 20．（本题9分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 【答案】(1)4，3， (2)①见解析；②不断减小； (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据反比例函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 21．（本题9分）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 22．（本题11分）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 【答案】（1）；；；（2）不能围出面积为 的矩形；图象和理由见解析；（3） 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为，解答即可； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可．． 【详解】解：将反比例函数与直线联立得， ， ， ，， 方程组的解为或， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；；； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线联立得， ， ， ， 无解， 故两个函数图象无交点； 的图象，如图中所示：   与函数图象没有交点， 不能围出面积为 的矩形． （3）如图中直线所示， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， 有唯一解，即：方程只有一个解， ， 解得：，（舍去）． 23．（本题14分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①4；②1，3 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用待定系数法进行求解即可； ②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可； （2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可； （3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ∴； 即的值为4； ②如图，过点D作轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴m，n的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点C作轴于点N， 同（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， 即当时，； （3）解：如图，过点E作轴于点H， 由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点G是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵点在上， ∴， 整理得，， 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 2．（本题3分）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题3分）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 5．（本题3分）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．（本题3分）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 8．（本题3分）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 9．（本题3分）如图过点的两条直线分别交双曲线于点，交双曲线于点，现有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②四边形可能是菱形；③四边形可能是矩形；④四边形可能是正方形．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 10．（本题3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 12．（本题3分）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点，则点C到线段的距离为 ． 13．（本题3分）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 14．（本题3分）如图，的中心为平面直角坐标系的原点O，轴，交y轴于点E，交反比例函数的图象于点，且M是DE的中点；CD交x轴于点F，交反比例函数的图象于点N，且，则阴影部分的面积为 ． 15．（本题3分）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题7分）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 18．（本题8分）已知一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)当时，比较与的大小； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，求点P的坐标． 19．（本题9分）如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 20．（本题9分）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 21．（本题9分）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 22．（本题11分）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．    【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． （1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和____________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数，当直线与反比例函数的图象恰好有唯一交点时，求的值． 23．（本题14分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第26章反比例函数 (参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 5 7 6 9 10 D B D B A A D A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.k←1 12.2V2 13.100m 14.8.25 15.(90,0 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题7分) 【详解】解：：y1与X+3成正比例，y2与x成反比例， 设y=x43,是 *y=y+y2=k(x+3-m ' 当x=1时，y=-2:当x=-3时，y=2, d,解得：， y与x之间的函数表达式为y=-5x-15+18 17.(本题8分) 【详解】(1)解：Aa,3向右平移2个单位长度，得到点B, 点B的坐标为a+2,3, :将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数y=kx>0的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， 点C的坐标为a+2,1, 119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：a+2,3,a+2,1: (2)解：：点Aa,3,Ca+2,1都在反比例函数y=kx>0的图象上， X 3a=a+2, 解得a=1, ÷A1,3, k=3 18.(本题8分) 【详解】(1)解：一次函数y1=ax+b过A(-1,6),B(-3,2), 心，解得a=2,b=8, 、一次函数的关系式为y1=2x+8, 反比例函数y,=k(x<0)的图象过A-1,6), X k=-1×6=-6, -6 “反比例函数的关系式为y2= X 两个函数的图象如图所示，由图象可知， 当x←3或-1<x<0时，y2>y1y 当x=-3或x=-1时，y2=y1, 当-3<x←1时，y1>y2: 2)如图，作点A(-1,6关于y轴对称点A则A1,6 219 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线BA的关系式为y=mx+n, 则，解得 :直线BA'的关系式为y=x+5, 当x=0时，y=5, ∴点P(0,5),此时△PAB的周长最小. 19.(本题9分) 【详解】(1)解：.A0,2,B0,-3,四边形ABCD为正方形， ∴.BC=AB=5, ∴.C(5,-3 把C5,-3)代入y=k得：-3= X ∴.k=-3×5=-15, ·反比例函数解析式为y=二15 X 把A0,2,C(5,-3)代入一次函数y=ax+b得： 6 解得乙， ∴.一次函数解析式为y=一x+2: (2)解：设P点的坐标为x,y, SAOAP= S方形ABcD 625x3 解得：x=±15， 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=15时，y=-1: 当x=-15时，y=1: ∴.P15,-1或-15,1. 20.(本题9分) 【详解】1)解：根据题意得：a=12=4,2.4=12 1+2 b+2 b=3, 故答案为：4,3， (2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数y= 12(x之0)的图象如图1： X+2 5 4 3 012345678 图1 ②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小， 故答案为：不断减小； (3)作函数y1=-x+6的图象，如图2， 3 2 012345678x 图2 由函数图象可知， 12 当x≥4或x=0时， ≥-x+6, X+2 12 即当x≥0时， X+2 ≥-x+6的解集为：x≥4或x=0, 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：x≥4或x=0. 21.(本题9分) 【详解】(1)解：如下图所示，连接AC交OD于H, VA D AOCD 四边形 是菱形， AC⊥OD,OH=OD=3. .0C=2, ∴.CH=AH=OC2-0H=1, .点A的坐标是(V3,1), 将A(3,1)代入到y=中， X 1=专 解得：k=3: (2)解：.OA=OC=2, .半径为2 AH=1, :AH=20A, ∴.∠AOH=30°， 由菱形的性质可知，∠AOH=∠COH=30°， ∴.∠AOC=60°， .AC的长 60n×2=2n 180-39 (3)解：如下图所示， .'OD=20H=23. 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S菱形A0CD一2 AC×OD=23, 小S附形0c=×π×r2=2卫 6 3 在菱形OBEF中，SAFNO=S△BO, -k3 SAFF2=2' 5a0=25a0=2×5-=3. 2 S阴影=S4F0+S菱形A0cD-S骑形Aoc=3+23-名I=33-2元 3 E 22.(本题11分) 【详解】解：将反比例函数y=8与直线1：y=-2x+10联立得， .8=-2x+10, .x2-5x+4=0, .X1=1,X2=4, ∴.方程组的解为就或就， .另一个交点坐标为4,2， AB为xm,BC为ym, ∴.AB=4,BC=2. 故答案为：4,2：4：2： (2)不能围出面积为8m2的矩形：理由如下： 8 将反比例函数y=二与直线l2:y=一2x+6联立得就， 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·8=-2x+6, X .x2-3x+4=0, .4=b2-4ac=(-32-4×1×4<0, ∴.X2-3x+4=0无解， 故两个函数图象无交点： y=-2x+6的图象，如图中l2所示： (x0) 8 ,y=-2x+6 y= 4 13 图2 与函数 图象没有交点， ∴.不能围出面积为8m的矩形. (3)如图中直线L3:y=一2x+a所示， 8 .'直线y=-2x+a与反比例函数y=(x>0)的图象有唯一交点， X :.8=-2x+a有唯一解，即：方程2X-x+8=0只有一个解， X .a2-4×2×8=0, 解得：a=8,a=-8(舍去). 23.(本题14分) 【详解】()解：①将点D4,1代入反比例函数解析式y=-k k2=4×1=4: 即k2的值为4： ②如图，过点D作DM⊥x轴于点M, 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB=∠AMD=90°， ∠BAD=90°， ·∠BAO+∠DAM=∠DAM+∠ADM=90°， ·∠BAO=∠ADM, AB=AD, ∴△AOB≌△DMAAAS, OB=AM=n,OA=DM=m, OM=m+n, ∴Dm+n,m, 就， 解得就. m,n的值为1,3： (2)解：当m<n时，k>k2,理由如下： 如图，过点C作CN⊥y轴于点N, B M 同(1)可得△AOB≌△BNC AAS,k2=n(m+n), ∴OB=CN=n,OA=NB=m, ON=m+n, ∴C(n,m+n), k1=n(m+n), 若k>k2,则n(m+n)>m(m+n), m>0,n>0, 819 6 学科网好课 单元速记：巧练 www.zxxk.com WWW ZXXKCOM 知识归纳梳理，测试巩固提升 m<n, 即当m<n时，k1>k2: (3)解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H, 由(2)得，当k1=k2时，m=n, OA=OB ·∠OAB=45°， ·∠EAF=45°， “△AEF是等腰直角三角形， :EH=AH=HF, 设EH=4,AH=HF=4, E(m+4,4),F(m+8,0), “点G是EF的中点， G(m+6,2); m=n, k1=k2=2m2, :点G(m+6,2)在y=2m上， 2m2=2m+6, 整理得，m2-m=6, 故答案为：6. 919