精品解析：福建省厦门集美中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题

集美中学2025-2026学年第一学期高二年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：李华 审题人：张慧利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 直线在轴上截距为1 D. 与直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程的一般式求出其斜率为，可得倾斜角为锐角，因此A错误，再由方向向量的定义可得B正确；由截距定义计算可知直线在轴上截距为，可得C错误，易知两直线斜率乘积不为，因此两直线不垂直，可得D错误. 【详解】对于A，由，得直线，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角是锐角，故A错误； 对于B，易知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确； 对于C，令代入直线的方程可得，因此直线在轴上截距为，即C错误； 对于D，直线的斜率为，所以， 所以直线与直线不垂直，故D错误. 故选：B 2. 不论为何值，直线恒过定点 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值． 【详解】恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点. 【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键． 3. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【详解】因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 4. 已知实数满足，，则的最小值为（     ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，是直线上的点，是直线上的点，利用两直线关系即可求解. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：B 5. 由点向圆引切线，则切线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用切线长公式求出结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为. 故选：C. 6. 已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】C 【解析】 【分析】几何法判断两圆的位置关系，进而得到公切线的条数. 【详解】圆，可知圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 计算，因为， 所以，可知两圆相交， 则圆与圆公切线条数有2条. 故选：C. 7. 已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 8. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点， 则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于ABC，将代入结合椭圆、双曲线的方程和性质验证即可；对于D，由题意根据离心率列出方程，说明方程无解即可. 【详解】对于选项A：当时，曲线C的方程为，即曲线C为圆，故A正确； 对于选项B：当时，曲线C的方程为，其渐近线方程为，故B正确； 对于选项C：若，则， 且，可得，即， 所以曲线为焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于选项D：若曲线C为双曲线，且其离心率为， 则，即或， 当时，方程为，，令得，解得，无解； 当时，方程为，，令得，解得，无解， 综上，不存在满足条件的实数，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系标点，根据题意可得．对于A：利用向量可得，即可判断垂直；对于B：利用向量可得，进而判断线面平行；对于C：分别求平面与平面的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断；对于D：求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 则，即． 对于选项A：若，，即， ，， 则，故，即A正确； 对于选项B：若，，则，， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：设平面的法向量，则 令，则，可得， 又因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的大小与无关，故C错误； 对于选项D：设平面的法向量为， 因为，，可得，即， 取，可得，，可得是平面的一个法向量， 因为，则点到平面的距离为， 又因为，可得，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 13. 已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定，根据周长确定，得到答案. 【详解】直线l：经过椭圆的左焦点，则，， 的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为. 故答案为：. 14. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设条件求得，再将不等式转化为上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，结合图像，可得，由此可得的取值范围. 【详解】由题意可得，得， 则原不等式可转化为在上恒成立， 设直线，上半圆， 则表示上半圆弧上存在一点到直线的距离小于或等于， 即原点到直线的距离，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.需写出必要的解答步骤. 15. 已知点，，，的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将点的坐标代入方程求解方程组即可求得圆的方程； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 代入点，，可得，解得， 所以圆的方程为，即为. 【小问2详解】 圆：的圆心，半径， 圆即为，其圆心，半径， 因为，则，可知圆与圆相交， 两圆方程相减得，即直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 所以. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． （1）若，求； （2）求直线EF与AB所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求得的值； （2）利用空间向量夹角公式即可求得直线EF与AB所成角的余弦值． 【小问1详解】 ． ，，， 【小问2详解】 设，，， 由（1）知，， ． 又， 又． ． 直线EF与AB所成角的余弦值为． 17. 如图，平面，，，，，. （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出的坐标，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正弦值等于可求得结果；（2）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果. 【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： （1）由题意得：，，， ，， 设平面的法向量 ，令，则， 设直线与平面所成角为 即直线与平面所成角的正弦值为： （2）设，则 设平面的法向量 ，令，则， 由（1）知，平面的法向量 又二面角的余弦值为 ，解得： 线段的长为： 【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相切，求的值； （3）过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求弦的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率及长轴长列出等式即可求解； （2）直线方程与椭圆方程联立，由，即可求解； （3）设直线方程为，结合弦长公式及点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，解得，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 联立直线和椭圆方程：，消去得：， 由题意，解得. 【小问3详解】 由题意直线斜率存在，设直线方程为， 联立椭圆方程，消去得：， 则，解得， 设，可得， 则， 由到直线的距离， 则，解得， 所以. 19. 已知平面直角坐标系中动点到定点的距离和到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹； （2）已知点的坐标为，点为轨迹在第一象限的点，点关于原点的对称点为． （i）设点到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设轨迹在处的切线方程为，射线交于点T．求证：． 【答案】（1）以为两焦点的椭圆 （2）（i）； （ii）由题知的斜率存在，可设斜率为，则， 由，消得到， 所以， 整理得到，即， 又，所以， 整理得， 即，所以， 又设过点与垂直的直线交轴于点，则直线的方程为， 令，可得点的坐标为，则有， 又由（i）知，，同理可得， 则有， 又， 所以，又，则， 故平分，又，则， 又，则，故. 【解析】 【分析】（1）由题直接建立方程，化简得，即可求解； （2）（i）利用，得到，再利用两点间距离公式及点在椭圆上，得，结合，即可求解；（ii）利用直线与椭圆的位置关系，结合条件，得直线的斜率，进而求出与垂直的直线方程，再利用几何关系得，即可求解. 【小问1详解】 由题可得，整理得到，即， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆． 【小问2详解】 （i）由椭圆对称性知四边形为平行四边形， 故，即， 即有， 因为为轨迹在第一象限的点，则， 所以， 又，则，所以，即. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2025-2026学年第一学期高二年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：李华 审题人：张慧利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的倾斜角是钝角 B. 的一个方向向量为 C. 直线在轴上截距为1 D. 与直线垂直 2. 不论为何值，直线恒过定点 A. B. C. D. 3. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A. B. C. D. 4. 已知实数满足，，则的最小值为（     ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 5. 由点向圆引切线，则切线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 6. 已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 7. 已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 13. 已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为______． 14. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.需写出必要的解答步骤. 15. 已知点，，，的外接圆为圆. （1）求圆的方程； （2）若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，E，F分别在侧棱和上，且，． （1）若，求； （2）求直线EF与AB所成角的余弦值． 17. 如图，平面，，，，，. （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相切，求的值； （3）过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求弦的长. 19. 已知平面直角坐标系中动点到定点的距离和到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹； （2）已知点的坐标为，点为轨迹在第一象限的点，点关于原点的对称点为． （i）设点到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设轨迹在处的切线方程为，射线交于点T．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $