精品解析：湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷

高二数学试卷 考试时间：2025年11月12日 14：30-16：30 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，即可求解三角形的周长. 【详解】由椭圆的定义可得：， 的周长为：． 故选：B． 2. 已知直线与平行，那么k的值为（ ） A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】讨论k的取值，结合两直线平行列式求解，即得答案；也可采用排除法. 【详解】当时，两直线为，满足题意； 当时，因已知两条直线平行，所以，解得. 另解：把代入已知两条直线方程，得与， 此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以，排除A，B，D. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】由，得． 故选：B 4. 在空间直角坐标系中，若，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 5. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角. 【详解】已知直线的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率. 因为直线的斜率，且，所以. 故选：A. 6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，写出事件包含情况，得到，A错误；B选项，写出事件包含的情况，结合A选项，得到，B错误；C选项，写出事件包含的情况，故，C错误；D选项，写出事件和包含的情况，得到，D正确. 【详解】A选项，事件包含的情况有， 事件：至少有一颗点数为6包含的情况有 ， 故，事件与事件不为互斥事件，A错误； B选项，事件包含的情况有 ， 故，事件与事件不为互斥事件，B错误； C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况， 故， 事件包含的情况为，故， 故，故事件与事件不相互独立，C错误； D选项，事件包含的情况有 ， ，共18种情况， 故， 事件包含的情况有：， 故， 因为，所以事件与事件相互独立，D正确. 故选：D 7. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且， 由圆的圆心为， 圆心到的距离为， 圆心到：距离为， 所以，整理得到， 由，所以． 故选：D． 8. 已知点及圆，点 ，在圆上，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 如图所示，当四边形为正方形且时，取得最小值或最大值，求出的坐标即可得出答案． 【详解】如图所示， 当四边形为正方形且时，取得最小值或最大值． 由图可知所在直线斜率，则方程为， 则与圆的两个交点分别为、，， 解得，， 所以，，，， 则的最小值为：，最大值为：， 所以的取值范围为，． 故选：A． 【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM的方程，进而可求得M点坐标，即可求得答案，考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 短轴长是3 B. 的周长为15 C. 离心率 D. 若，则的面积为9 【答案】CD 【解析】 【分析】根据短轴长的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D. 【详解】A，由，可得，，所以椭圆的短轴长为，故A不正确； B，的周长为，故B不正确. C，离心率，故C正确； D，，， 又因为，所以， 即，解得, 所以，故D正确. 故选：CD 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. P，G，E，F四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证. 【详解】因为，，点满足， 设点，则 ， 化简得：，即 ，故A正确； 因为，所以，则 ，解得 ，故B正确； 易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误； 假设存在异于，的两点，，则， 化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 13. 柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解. 【详解】设表示三只左鞋，表示三只右鞋， 则从中有放回取出2只的所有可能为： ，共计36种， 其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种， . 故答案为：. 14. 棱长为的正四面体中，点为所在平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因平面，所以， 因为正四面体，所以是等边三角形， 由题意得，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以， 即直线与直线所成的角的余弦值的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． （1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率. 【小问2详解】 甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙， 所以恰好有两个人通过复检的概率. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）， ， （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解； （2）应用空间向量数量积公式计算，再应用异面直线所成角的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 因为，， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则 17. 已知圆过两点、，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出原的标准方程； （2）分析可知，点在圆外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率的存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值. 【小问1详解】 解：因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点、在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径，所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：由（1）可得圆，则圆心，半径， 因为，则点在圆外， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在， 可设直线方程，即， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 可得，解得， 此时，直线方程为，即， 综上，切线的方程为或. 【小问3详解】 解：直线被圆截的弦长为， 所以，圆心到直线的距离为， 又直线的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，整理可得， 由，得，即， 解得或， 因为，，则，则，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【小问1详解】 由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 19. 已知圆 与圆 相外切. （1）求圆的标准方程； （2）若，求 的最小值； （3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在定点B，B的坐标为. 【解析】 【分析】（1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可 （2）将转化点到圆心 与圆心 的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可； （3）设，用式子表示， 分析得到取得定值即可. 【小问1详解】 圆心 圆心 因为圆 与圆 相外切， 所以 即 解得 或 因为，所以 舍去，故 故圆的标准方程为 【小问2详解】 若，则点在直线上， 则 表示点到圆心 与圆心 的距离之和， 设如图关于直线对称点， 则 得 ，则点 数形结合易知，到圆心 与圆心 的距离之和的最小值等于 即 【小问3详解】 假设存在定点B，设， 则 当 即时， 为定值，且定值 ， 故存在定点B，且B的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：2025年11月12日 14：30-16：30 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，那么k的值为（ ） A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，若，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 7. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 已知点及圆，点 ，在圆上，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 短轴长是3 B. 的周长为15 C. 离心率 D. 若，则面积为9 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A 平面 B. 平面 C. D. P，G，E，F四点共面 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 13. 柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是____________． 14. 棱长为的正四面体中，点为所在平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． （1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知圆过两点、，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知圆 与圆 相外切. （1）求圆的标准方程； （2）若，求 的最小值； （3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $