精品解析：江苏省常州市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级期中质量调研数学试卷 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，4，3 B. 0，﹣4，﹣3 C. 1，﹣4，3 D. 1，﹣4，﹣3 2. 已知的半径为，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 8，12，6，9 B. 3，4，20，2 C. 0.5，9，0.6，6 D. 1，2，3，4 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 三点确定一个圆 C. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 D. 直径所对的圆周角是直角 6. 制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　） A. 360元 B. 720元 C. 1080元 D. 2160元 7. 如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 一元二次方程的根是_______． 10. 已知，则___________． 11. 小颖测得高的标杆在太阳下的影长为，同时又测得一棵树的影长为，请你帮助小颖计算出这棵树的高度为_______． 12. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______． 13. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程__________． 14. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________ 15. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝_____°． 16. 如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为______． 17. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为，的半径长为，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是________． 18. 如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 三、解答题（第19题20分，第20、21题每题6分，第22、23、24、25题每题8分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、、是的外接圆． （1）点的坐标为_____，并在图中标出； （2）轴与的位置关系是____； （3）把以原点为位似中心缩小到原来的得到，在图中画出． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大值时，求方程的根． 22. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 24. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，，，，求旗杆的高度． 25. “等弦”的探究． （1）如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中质量调研数学试卷 （时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，4，3 B. 0，﹣4，﹣3 C. 1，﹣4，3 D. 1，﹣4，﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-4，-3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项． 2. 已知的半径为，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵⊙O的半径为，，且， ∴点P在外， 故选：C． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 8，12，6，9 B. 3，4，20，2 C. 0.5，9，0.6，6 D. 1，2，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值． 由成比例线段知，证明线段a、b、c、d成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选A． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 5. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 三点确定一个圆 C. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 D. 直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件、圆的认识及圆周角定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，长度相等的弧不一定满足条件，故A错误； B．不在同一直线上的三点才能确定一个圆，任意三点不一定满足，故B错误； C．三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，但到各边的距离不一定相等，故C错误； D．直径所对的圆周角是直角，是圆周角定理的推论，故D正确． 故选：D． 6. 制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　） A. 360元 B. 720元 C. 1080元 D. 2160元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可． 【详解】3m×2m=6m2， ∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元， 故选C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7. 如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接，由垂径定理得到，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，于是得到的半径的长为． 【详解】解：连接， ∵直径于点E， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径的长为． 故选：D． 8. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 一元二次方程的根是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴方程的根为或． 故答案为：或． 10. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式求值，掌握运用设参数的方法解比例关系问题是解题的关键． 由已知比例关系，可设参数表示a和b，再代入所求式子计算． 【详解】解：设，则，（）， ∴． 故答案为． 11. 小颖测得高的标杆在太阳下的影长为，同时又测得一棵树的影长为，请你帮助小颖计算出这棵树的高度为_______． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【详解】解：如图，表示标杆，表示树， 根据题意可得：， ， ， ， ，即， 设这棵树的高度为米， ， 解得：， 故这棵树的高度为6米， 故答案为：． 12. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． 【详解】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，，掌握此性质是解题关键． 13. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为，列方程为， 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________ 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，平角的定义，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 15. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝_____°． 【答案】56 【解析】 【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝34°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝56°， ∴∠ADC＝∠ABC＝56°． 故答案为：56． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 16. 如图，是的中线，，的延长线交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作交于M，证明可得，则可推出；证明，可得，则可推出，进而得到，则． 【详解】解：如图所示，过点D作交于M， ∵是的中线， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为，的半径长为，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，连接，交于点D，根据垂径定理易得，，再根据勾股定理可得，最后根据即可求解． 【详解】解：连接，交于点D， ∵点C为运行轨道的最低点， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 三、解答题（第19题20分，第20、21题每题6分，第22、23、24、25题每题8分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：， ， 或， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、、是的外接圆． （1）点的坐标为_____，并在图中标出； （2）轴与的位置关系是____； （3）把以原点为位似中心缩小到原来的得到，在图中画出． 【答案】（1）， 如图，点M即为所作， （2）相交 （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换、垂径定理、直线与圆的位置关系，熟练掌握位似的性质、垂径定理、直线与圆的位置关系是解答本题的关键． （1）连接，，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出答案； （2）连接，利用勾股定理求出的值，与的半径作比较，即可得出结论;; （3）利用位似的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则, 所以，轴与相交， 故答案为：相交； 【小问3详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最大值时，求方程的根． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程． （1）根据题意，可得，即，解不等式，并根据一元二次方程的定义确定的取值范围即可； （2）结合的取值范围确定的最大值，然后利用配方法解该方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意，一元二次方程有实数根， 则， 解得， 又∵， ∴的取值范围是且； 【小问2详解】 由且得，n的最大值为1， 把代入原方程得， ∴， 解得． 22. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 24. 某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，，，，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点P作于点H，交于点K，利用矩形的判定与性质得到，，，则，，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； 【详解】解：过点P作于点H，交于点K，如图， 则四边形，四边形，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 答：旗杆的高度为． 25. “等弦”的探究． （1）如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】（1） ①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $