精品解析：上海市浦东新区2025-2026学年高一上学期期中考试六校联考数学试卷

2025学年第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 考试时间：90分钟 一、填空题（共36分，每题3分） 1. 已知集合，且，则实数的值为______________． 2. 若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 _____． 3. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________. 4. 设且关于与的二元一次方程组有无穷多组解集，则的值为__________. 5. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 6. 设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 7. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 8. 关于的不等式的解集为__________. 9. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 10. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 11. 已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 12. 若直角坐标平面内两点，满足条件：①，都在函数的图像上；②，关于原点对称.则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：__________.（填写所有正确的序号） ①②③④ 二、单选题（共12分，每题3分） 13. 已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②都假 D. ①②都真 16. 对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（ ）成立． A. B. C. D. 三、解答题（共52分，17-20每题10分，21题12分） 17. 已知集合，，，. （1）求； （2）求. 18. （1）设、均为正实数，试比较和的大小. （2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 19. 上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数． （1）设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时，的取值； （2）若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？ 20. 已知函数的图象经过点和，幂函数过点. （1）求和的值及的解析式； （2）解关于的方程. 21. 对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合. （1）若，直接写出集合和； （2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用表示）； （3）若，和都是正整数，集合，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 考试时间：90分钟 一、填空题（共36分，每题3分） 1. 已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 2. 若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 _____． 【答案】且成立 【解析】 【分析】假设结论的反面成立，即可求解． 【详解】解：假设结论的反面成立，即且成立． 故答案为：且成立． 3. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据指数函数的性质得答案. 【详解】由指数函数的性质可得 解得 故答案为： 4. 设且关于与的二元一次方程组有无穷多组解集，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知有无穷多组解集，进而求解. 【详解】由可得， 由题意可知有无穷多组解集，即，所以 故答案为：. 5. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分为，根据补集运算求出，再根据交集运算，即可求出结果. 【详解】由图可知，阴影部分为， ∵或，∴ ∴．. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，以及图得应用，属于基础题. 6. 设，，则可用含有，的代数式表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质及指数和对数的互换即可求解. 【详解】因为，得， 所以， 所以， 故答案为：. 7. 已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根、函数的定义域与不等式的解集区间端点间的关系，可得满足的方程，代入求解新不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且. 由可得，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8. 关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值分类讨论即可解出不等式. 【详解】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 9. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 10. 已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式和韦达定理并结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 11. 已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 【答案】24 【解析】 【分析】结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 12. 若直角坐标平面内两点，满足条件：①，都在函数的图像上；②，关于原点对称.则称是关于函数的一个“伙伴点组”（点组和点组看作同一个“伙伴点组”），则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是：__________.（填写所有正确的序号） ①②③④ 【答案】② 【解析】 【分析】根据“伙伴点组”的定义可知，只需要利用图象，作出函数在时关于原点对称的图象，利用对称图象与时图象的交点个数，即为“伙伴点组”的个数，根据条件进行判断即可. 【详解】①函数 关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数只有一个，所以函数的“伙伴点组”有 1 个，不满足条件； ②函数关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数恰有两个，所以函数的“伙伴点组”有 2个，满足条件； ③函数关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数有 0 个，所以函数的“伙伴点组”有 0 个，不满足条件； ④函数关于原点对称的函数为，即， 在上作出两个函数的图象如图， 由图象可知两个函数在上的交点个数有 0 个，所以函数的“伙伴点组”有 0 个，不满足条件； 故答案为：② 二、单选题（共12分，每题3分） 13. 已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得出是成立的充分条件，再根据充分条件与集合的包含关系可得出合适的选项. 【详解】由命题“若，则”是真命题，则是成立的充分条件，，必有， 所以，所以， 故选：C. 14. 已知，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先判断由能否推出，结合充分条件的定义判断是否为的充分条件，再判断由能否推出，结合必要条件的定义判断是否为的必要条件，由此可得结论. 【详解】取，，此时，但， 所以由不能推出， 所以不是的充分条件， 由，且，由不等式性质可得， 所以可推出， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 15. 根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①②都假 D. ①②都真 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】对于①，当时，函数在上单调递增， 若，则，故①错误； ②当时，函数在上单调递减， 若，则，故②正确. 故选：B. 16. 对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（ ）成立． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【详解】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 三、解答题（共52分，17-20每题10分，21题12分） 17. 已知集合，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，利用交集的定义运算； （2）化简集合，根据并集、交集、补集的定义运算. 【小问1详解】 ，或， 则； 【小问2详解】 ，则， 得或，得或，则或， 则， 则. 18. （1）设、均为正实数，试比较和的大小. （2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 【答案】（1）当时，， 当时，， 当时，则. （2）由三角不等式有：， 当且仅当取等号， 同理， 当且仅当取等号， 两式相加， 当且仅当取等号， 即：，当且仅当取等号. 【解析】 【分析】（1）利用作差法再分类讨论即可. （2）利用绝对值三角不等式可得，，由此可证. 【详解】（1）， 当时，，则， 当时，， 当时，，则. （2）略 19. 上海市某非遗剪纸传承人传承海派剪纸技艺，主打款“传统福字剪纸”和款“外滩建筑剪纸”．已知制作1幅款剪纸的材料成本为12元，制作1幅款剪纸的材料成本为18元，每天用于两款剪纸的材料总成本固定为144元，且制作每款剪纸的数量均为正整数． （1）设每天制作款剪纸幅、款剪纸幅，求的最大值，并说明此时，的取值； （2）若款剪纸每幅可获利润20元，款剪纸每幅可获利润28元，在（1）的成本约束下，每天如何安排制作数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）每天制作款9幅，款2幅时总利润最大，最大总利润为236元 【解析】 【分析】（1）根据题意得，即，再根据基本不等式求解即可； （2）根据题意，结合分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 根据题意，即， ， 即，当且仅当，即时取等， 所以的最大值为，此时； 【小问2详解】 设利润为，则， 又， 则，此时； ，此时； ，此时； 所以每天制作款9幅，款2幅时总利润最大，最大总利润为236元． 20. 已知函数的图象经过点和，幂函数过点. （1）求和的值及的解析式； （2）解关于的方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将坐标代入解析式中求和，设，代点求值； （2）将解析式代入化简，结合对数的运算法则和对数函数的单调性得出即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，，得， 设幂函数，则，得，，故； 【小问2详解】 由（1）知，，， 则化为， 则， 因在上单调递增，则，即， 得或（舍），得. 21. 对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的正整数，定义集合. （1）若，直接写出集合和； （2）若，其中（为正整数集），，直接写出使得集合中元素个数最少的一个（用表示）； （3）若，和都是正整数，集合，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，即可求出； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分和两种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，又， 所以， ； 【小问2详解】 由，， 对于， 所以当时，中的元素个数最少， 所以，中的元素个数最少； 【小问3详解】 若时，得，要使得且，则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $